Zapojování reálných zdrojů

Úloha číslo: 2051

Určete elektromotorické napětí \(U_e\) a vnitřní odpor \(R_i\) zdroje, kterým bychom ekvivalentně nahradili zapojení dvou sériově, resp. paralelně zapojených baterií s parametry \(U_{e1} = 1, 4\ \mathrm{V},\ R_{i1} = 0{,}6 \ \Omega\) a \(U_{e2} = 1, 2 \ \mathrm{V}, \ R_{i2} = 0, 4 \ \Omega\).

Jaký proud poteče rezistorem o odporu \(R = 4, 2 \ \Omega\) připojíme-li ho na tento zdroj?

  • Nápověda

    Uvědomte si, co je elektromotorické napětí, svorkové napětí a co je vnitřní odpor baterie.

  • Rozbor – sériově

    Zapojení rezistoru

    Pozn. červený rámeček ohraničuje „vnitřek“ zdroje.

    Naším úkolem je nalézt parametry zdroje (elektromotorické napětí a vnitřní odpor), kterým bychom ekvivalentně nahradili tyto dvě sériově zapojené baterie. To znamená najít zdroj, který vykazuje stejné vlastnosti.

    Napětí na sériově zapojených zdrojích, které mají stejnou orientaci, se sčítá. Podobně celkový odpor dvou sériově zapojených rezistorů je dán jejich součtem. Obojí je důsledkem 2. Kirchhoffova zákona. Proud procházející rezistorem spočteme pomocí Ohmova zákona.

  • Řešení – sériově

    Jak bylo řečeno v rozboru, napětí na dvou sériově zapojených zdrojích spočteme jako jejich součet. Jedná se o důsledek 2. Kirchhoffova zákona, více je to rozebráno v oddílu níže, viz Výpočet pomocí Kirchhoffových zákonů .

    \[U_e = U_{e1} + U_{e2}.\]

    Obdobně je to s vnitřním odporem. Jelikož jsou zdroje zapojeny sériově, jsou i vnitřní odpory zapojeny sériově. Celkový odpor dvou sériově zapojených rezistorů spočítáme jako jejich součet.

    \[R_{i} = R_{i1} + R_{i2}.\]

    Proud procházející připojeným rezistorem o odporu \(R\) spočítáme podle Ohmova zákona pro uzavřený obvod

    \[I = \frac {U_e}{R+R_i},\]

    kde \(U_e\) je celkové elektromotorické napětí a \(R_i\) je celkový vnitřní odpor zdroje.

    Celkový odpor zapojení spočítáme obdobně jako při výpočtu celkového vnitřního odporu, jelikož celkový vnitřní rezistor a připojený rezistor jsou v sérii.

    Proud procházející připojeným rezistorem a tedy i celým obvodem

    \[I =\frac {U_{e1} + U_{e2}} {R_{i1} + R_{i2} + R}.\]
  • Zápis a číselné dosazení – sériově

    \(U_{e1} = 1{,}4\ \mathrm{V}\) elektromotorické napětí první baterie
    \(R_{i1}=0{,}6\ \Omega\) vnitřní odpor první baterie
    \(U_{e2}=1{,}2\ \mathrm{V}\) elektromotorické napětí druhé baterie
    \(R_{i1}=0{,}4\ \Omega\) vnitřní odpor druhé baterie
    \(R=4{,}2 \ \Omega\) odpor připojeného rezistoru
    \(I=\mathrm{?}\ \mathrm{(A)}\) proud procházející rezistorem
    \(U_e=\mathrm{?}\ \mathrm{(V)} \) celkové elektromotorické napětí zdroje
    \(R_{ic}=\mathrm{?}\ (\Omega) \) celkový vnitřní odpor zdroje

    \[U_e =U_{e1} + U_{e2} =1{,}4 + 1{,}2\ \mathrm{V} = 2{,}6\ \mathrm{V}.\] \[R_{ic} = R_{i1}+R_{i2}=0{,}6 + 0{,}4 \ \Omega = 1\ \Omega.\] \[I=\frac{U_{e1} + U_{e2}}{R_{i1} + R_{i2} + R}=\frac{1{,}4+1{,}2}{0{,}6+0{,}4+4{,}2}\ \mathrm{A}=0{,}5 \ \mathrm{A}.\]
  • Nápověda – paralelně

    Nakreslete si obrázek vystihující zadání. Připomeňte si, jak zní a jak se používají Kirchhoffovy zákony. Jak by se daly Kirchhoffovy zákony použít v této úloze?

  • Rozbor – paralelně

    Situaci si nakreslíme.

    Rozbor

    V obvodu máme zapojeno více zdrojů, proto použijeme k řešení Kirchhoffovy zákony. S jejich pomocí nalezneme vztah pro proud I procházející připojeným spotřebičem. Porovnáním získaného vztahu a Ohmova zákona pro uzavřený obvod určíme elektromotorické napětí a vnitřní odpor zdroje, který by ekvivalentně nahradil paralelně zapojené baterie.

  • Řešení – paralelně

    Řešení

    Dle prvního Kirchhoffova zákona si zapíšeme rovnice pro uzly A a B (jsou stejné, proto ji stačí napsat jen jednou)

    \[I = I_1 + I_2.\tag{1}\]

    Dle druhého Kirchhoffova zákona si zapíšeme rovnice pro jednotlivé smyčky.

    Pozn. pozor na znaménkovou konvenci viz Kuchařka.

    \[U_{e1} - U_{e2} = R_{i1}I_1 - R_{i2}I_2,\] \[U_{e2} = R_{i2}I_2 + RI.\]

    Z rovnice (1) si vyjádříme \(I_1\) a dosadíme do soustavy

    \[U_{e1} - U_{e2} = R_{i1}(I - I_2) - R_{i2}I_2\] \[U_{e2} = R_{i2}I_2 + RI\]

    Protože naším cílem je najít vztah pro I, vyjádříme z druhé rovnice \(I_2\)

    \[U_{e2} = R_{i2}I_2 + RI\quad \rightarrow\quad I_2 = \frac{U_{e2}-RI}{R_{i2}}\]

    a dosadíme do první rovnice

    \[U_{e1} - U_{e2} = R_{i1}I - R_{i1}\frac{U_{e2}-RI}{R_{i2}} - R_{i2}\frac{U_{e2}-RI}{R_{i2}}.\]

    Rovnici rozšíříme výrazem \(R_{i2}\)

    \[R_{i2}(U_{e1} - U_{e2}) = R_{i2}R_{i1}I - R_{i1}({U_{e2}}-RI)- R_{i2}(U_{e2}-RI),\]

    a vyjádříme \(I\)

    \[I = \frac{R_{i1}U_{e2} + R_{i2}U_{e1} }{R_{i1}R_{i2} + R_{i1}R + R_{i2}R}.\]

    Výsledek upravíme tak, aby byl podobný tvaru Ohmova zákona pro uzavřený obvod \(I=\frac{U_e}{R+R_i}\) (tj. chceme, aby jmenovatel zlomku měl tvar R + něco)

    \[I = \frac{R_{i1}U_{e2} + R_{i2}U_{e1} }{R_{i1}R_{i2} + (R_{i1} + R_{i2})R} = \frac{R_{i1}U_{e2} + R_{i2}U_{e1}}{(R_{i1} + R_{i2})\left(\frac{R_{i1}R_{i2}}{R_{i1} + R_{i2}} + R\right)} = \frac{\frac{R_{i1}U_{e2} + R_{i2}U_{e1}}{R_{i1} + R_{i2}}}{R+\frac{R_{i1}R_{i2}}{R_{i1} + R_{i2}}}.\]

    Porovnáním získáme

    \[U_e = \frac{R_{i1}U_{e2} + R_{i2}U_{e1}}{R_{i1} + R_{i2}}. \] \[R_i=\frac{R_{i1}R_{i2}}{R_{i1} + R_{i2}}.\]
  • Zápis a číselné dosazení – paralelně

    \(U_{e1} = 1{,}4\ \mathrm{V}\) elektromotorické napětí první baterie
    \(R_{i1}=0{,}6\ \Omega\) vnitřní odpor první baterie
    \(U_{e2}=1{,}2\ \mathrm{V}\) elektromotorické napětí druhé baterie
    \(R_{i1}=0{,}4\ \Omega\) vnitřní odpor druhé baterie
    \(R=4{,}2 \ \Omega\) odpor připojeného rezistoru
    \(I=\mathrm{?}\ \mathrm{(A)}\) proud procházející rezistorem
    \(U_e=\mathrm{?}\ \mathrm{(V)} \) celkové elektromotorické napětí zdroje
    \(R_{ic}=\mathrm{?}\ (\Omega) \) celkový vnitřní odpor zdroje

    \[R_{ic}=\frac{R_{i1}R_{i2}}{R_{i1}+R_{i2}}=\frac {0{,}6{\cdot} 0{,}4}{0{,}6+0{,}4} \ \Omega = 0{,}24\ \Omega.\] \[I=\frac{R_{i1}U_{e2}+R_{i2}U_{e1}}{R_{i1}R_{i2}+R_{i1}R+R_{i2}R}=\frac{0{,}6{\cdot}1{,}2+ 0{,}4{\cdot} 1{,}4}{0{,}6{\cdot} 0{,}4+0{,}6{\cdot} 4{,}2 + 0{,}4{\cdot} 4{,}2}\ \mathrm{A}\doteq 0{,}29 \ \mathrm{A}.\] \[U_e =\frac{R_{i1}U_{e2} + R_{i2}U_{e1}}{R_{i1}+R_{i2}} =\frac{1{,}4{\cdot} 0{,}4 + 1{,}2{\cdot} 0{,}6}{0{,}4 + 0{,}6}\ \mathrm{V} = 1{,}28\ \mathrm{V}.\]
  • Odpověď

    Při sériovém zapojení má zdroj elektromotorické napětí \(U_e = 2{,}6\ \mathrm{V}\) a vnitřní odpor \(R_i = 1\ \Omega\). Připojeným rezistorem prochází proud \(I= 0{,}5\ \mathrm{A}.\)

    Při paralelním zapojení má zdroj elektromotorické napětí \(U_e = 1{,}28\ \mathrm{V}\) a vnitřní odpor \(R_i =0{,}24\ \Omega.\) Připojeným rezistorem prochází proud \(I \doteq0{,}29\ \mathrm{A}.\)

  • Shrnutí a něco navíc

    Celkový vnitřní odpor spočítáme z vnitřních odporů jednotlivých zdrojů. Můžeme si to představit tak, že v náhradním zapojení vynecháme ideální zdroje a spočítáme celkový odpor zapojení vnitřních odporů jednotlivých zdrojů.

    Určit celkové elektromotorické napětí už tak jednoduché ale není. Při sériovém zapojení se elektromotorická napětí sčítají. Ale u paralelního zapojení nepočítáme pouze z elektromotorických napětí jednotlivých zdrojů, ale ve výpočtu vystupuje také vnitřní odpor těchto zdrojů, protože je třeba započítat úbytky napětí na jednotlivých vnitřních odporech.

  • Odkaz – n paralelních zdrojů metodou lineární superpozice

    Na tuto úlohu navazuje úloha Paralelní zapojení reálných zdrojů.
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze