Nabitá kruhová deska

Úloha číslo: 2007

Přímou integrací určete elektrickou intenzitu a potenciál na ose kruhového disku o poloměru R, který je homogenně nabitý plošnou hustotou \(\sigma\). Ověřte vztah mezi elektrickou intenzitou a potenciálem.
  • Nápověda – elektrická intenzita

    Kladný bodový náboj Q vytváří ve vzdálenosti r pole o velikosti intenzity

    \[E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}.\]

    Vektor intenzity \(\vec{E}\) míří směrem od náboje, pokud je Q kladný. V opačném případě míří k náboji.

    Zamyslete se nad tím, jak bychom tohoto poznatku mohli využít v této úloze.

  • Rozbor – elektrická intenzita

    Pro lepší představu si celou situaci nakreslíme do kartézských souřadnic. Do obrázku si vyznačíme také cylindrické souřadnice \(\rho, \alpha, z\).

    Pozn. pro cylindrické souřadnice se standartně používá písmen r, \(\varphi\), z. Jelikož se písmenem \(\varphi\) označuje elektrický potenciál, s kterým budeme počítat, bylo nutné úhel označit jinak.

    Rozbor

    Dle nápovědy rozdělíme disk na malé (infinitezimální) plošky, které se budou chovat jako bodové náboje.

  • Řešení – elektrická intenzita

    Bodový náboj Q vytváří ve vzdálenosti r pole o velikosti intenzity

    \[{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}.\]

    Velikost elektrické intenzity od nekonečné malé plošky dS

    \[\textrm{d}{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathrm{d}Q}{r^2}.\]

    Je-li disk nabit s plošnou hustotou \(\sigma\), potom náboj na nekonečně malém kousku disku \(\textrm{d}S\) je:

    \[\textrm{d}Q = {\sigma} {\textrm{d}S},\]

    kde \(\textrm{d}S=\rho\,\textrm{d}\alpha\,\textrm{d}\rho\) viz předchozí oddíl.

    Potom dostáváme

    \[\textrm{d}Q=\sigma \rho \textrm{d}\alpha\textrm{d}\rho\]

    a tudíž

    \[\textrm{d}{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sigma \rho\textrm{d}\alpha\textrm{d}\rho}{r^2}.\tag{1}\]

    Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že disk je nabit kladně. Nyní se zaměříme na směr intenzity. Stejně jako v úloze Nabitá obruč využijeme souměrnosti disku.

    Výsledný směr intenzity

    Z obrázku je patrné, že směr celkové intenzity elektrického pole bude mít směr osy z, jelikož x-ová složka elektrické intenzity od plošky disku se odečte s x-ovou složkou elektrické intenzity plošky, která je symetrická (středově souměrná) s touto ploškou podle středu disku. Stejně tak bude y-ová složka celkové intenzity také nulová.

    Nyní se vrátíme k rovnici (1).

    V obrázku si označíme úhel \(\omega\) a elektrickou intenzitu od jedné malé plošky promítneme do směru z, neboli vyjádříme její z-ovou složku:

    \[E_z=E \cos \omega.\tag{2}\]
    Promítnutí do osy z

    Z pravoúhlosti spodního šedého trojúhelníku dostaneme

    \[\cos \omega = \frac {z}{r}\]

    a Pythagorova věta nám k tomu přidá

    \[r=\sqrt{\rho^2 + z^2},\]

    což dává

    \[\cos \omega = \frac {z}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}.\tag{3}\]

    Spojením (1),(2) a (3) dostaneme

    \[\textrm{d}{E_z}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sigma\rho \textrm{d}\alpha\textrm{d}\rho}{\rho^2 + z^2}\frac {z}{\sqrt{\rho^2 + z^2}},\] \[\textrm{d}E_z = \frac {\sigma z}{4\pi\epsilon_0} \frac {\rho} {(\rho^2 + z^2)^{3/2}} \textrm{d}\alpha \textrm{d}\rho\]

    což zintegrujeme přes obsah celého disku, tj. budeme integrovat přes \(\rho\) a \(\alpha\)

    \[E_z = \int_0^R \int_0^{2\pi} \frac {\sigma z}{4\pi\epsilon_0} \frac {\rho} {(\rho^2 + z^2)^{3/2}} \textrm{d}\alpha \textrm{d}\rho.\]

    Veličiny \(\sigma\) a z jsou nezávislé na integračních proměnných \( \rho \) a \( \alpha, \)tudíž je můžeme vytknout před integrál

    \[E_z = \frac {\sigma z}{4\pi\epsilon_0} \int_0^R \int_0^{2\pi} \frac {\rho} {(\rho^2 + z^2)^{3/2}}\textrm{d}\alpha \textrm{d}\rho .\]

    Nyní výraz zintegrujeme přes proměnou \(\alpha\), jelikož se ve výrazu \(\alpha\) nevyskytuje, integrujeme vlastně konstantu

    \[E_z =\frac {\sigma z}{4\pi\epsilon_0} 2\pi \int_0^R \frac {\rho} {(\rho^2 + z^2)^{3/2}}\textrm{d}\rho,\] \[E_z = \frac {\sigma z}{2\epsilon_0} \int_0^R \frac {\rho} {(\rho^2 + z^2)^{3/2}}\textrm{d}\rho.\]

    Tento integrál budeme řešit substitucí:

    \[a = \rho^2 + z^2,\] \[\textrm{d}a = 2\rho\textrm{d}\rho, \]

    přepočítáme meze:

    \[\rho = 0 \Rightarrow a = z^2;\qquad  \rho = R \Rightarrow a = z^2 + R^2, \]

    a dosadíme do původního integrálu

    \[E_z = \frac {\sigma z}{2\epsilon_0} \int_{z^2}^{z^2 + R^2} \frac {1} {2a^{3/2}}\textrm{d}a,\] \[E_z = \frac {\sigma z}{4\epsilon_0} \int_{z^2}^{z^2 + R^2} {a^{-3/2}}\textrm{d}a,\] \[E_z = \frac {\sigma z}{4\epsilon_0} \left[-2a^{-1/2}\right]_{z^2}^{z^2 + R^2}, \] \[E_z = - \frac {\sigma}{2\epsilon_0} \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} + \frac {\sigma}{2\epsilon_0}. \]

    Po úpravě dostáváme:

    \[E_z = \frac {\sigma} {2\epsilon_0} \left(1-\frac {z} {\sqrt{R^2 + z^2}}\right). \]
  • Nápověda – potenciál

    Analogicky jako v části a) využijeme vztah pro potenciál bodového náboje. Potenciál bodového náboje ve vzdálenosti r je

    \[φ = \frac {1}{4\pi\epsilon_0} \frac {Q}{r}.\]

    Vymyslete, jak vztah využít pro výpočet potenciálu na ose nabitého disku.

  • Rozbor – potenciál

    Podobně jako v a) si celou situaci nakreslíme a použijeme kartézské souřadnice. Osa disku bude splývat s osou z a disk bude ležet v rovině xy.

    Disk rozdělíme na (nekonečné) malé plošky, které se budou chovat jako bodové náboje. Pak využijeme poznatku z nápovědy a potenciál získáme integrací příspěvků všech plošek.

    Rozbor
  • Řešení – potenciál

    Bodový náboj Q vytváří ve vzdálenosti r potenciál

    \[\varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}.\]

    Zaměříme-li se na malou plošku disku dS s nábojem dQ, pak potenciál d\(\varphi\) od této plošky je

    \[\textrm{d}\varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac {\textrm{d}Q}{r}. \tag{4}\]

    Jelikož je disk nabit plošnou hustotou \(\sigma\), můžeme napsat

    \[\textrm{d}Q=\sigma\textrm{d}S.\]

    Díky poznatku \(\textrm{d}S = \rho\,\textrm{d}\alpha\thinspace\textrm{d}\rho\) (viz Rozbor – elektrická intenzita – obsah nekonečně malé plošky), dostaneme

    \[\textrm{d}Q = \sigma \rho\,\textrm{d}\alpha\thinspace\textrm{d}\rho.\tag{5}\]

    Spojením (4) a (5) získáme

    \[\textrm{d}\varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac {\sigma \rho}{r}\textrm{d}\alpha\thinspace\textrm{d}\rho.\tag{6}\]

    Nyní se zaměříme na vyjádření vzdálenosti r pomocí parametrů disku a vzdálenosti z.

    Vzdálenost r

    Aplikujeme Pythagorovu větu na pravoúhlý trojúhelník na obrázku a vyjádříme r,

    \[r=\sqrt{\rho^2 + z^2}.\tag{7}\]

    Spojením (6) a (7) získáme rovnici

    \[\textrm{d}\varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac {\sigma \rho}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}\textrm{d}\alpha\thinspace\textrm{d}\rho,\]

    což zintegrujeme přes celý obsah disku, tj. budeme integrovat přes \(\rho\) a \(\alpha\).

    \[\varphi =\int_0^{2\pi}\int_0^R \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac {\sigma \rho}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}\textrm{d}\rho\,\textrm{d}\alpha,\]

    k a \(\sigma\) jsou konstanty, tudíž je můžeme vytknout před integrál.

    \[\varphi =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sigma\int_0^{2\pi}\int_0^R \frac {\rho}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}\textrm{d}\rho\,\textrm{d}\alpha,\]

    integrovaná funkce není závislá na \(\alpha\), proto můžeme přes \(\alpha\) jednoduše vyintegrovat:

    \[\varphi =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}2\pi\sigma\int_0^R \frac {\rho}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}\textrm{d}\rho,\] \[\varphi =\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\int_0^R \frac {\rho}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}\textrm{d}\rho.\]

    Na vyřešení tohoto integrálu použijeme stejnou substituci jako v části a)

    \[a = \rho^2 + z^2.\]

    Dosadíme

    \[ \textrm{d}a = 2\rho\textrm{d}\rho, \] \[\rho = 0 \Rightarrow a = z^2 \qquad; \qquad   \rho = R \Rightarrow a = R^2 + z ^2.\] \[\varphi =\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\int_{z^2}^{R^2+z^2} \frac {1}{2}\frac {1}{\sqrt{a}}\textrm{d}a,\] \[\varphi =\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\int_{z^2}^{R^2+z^2} \frac {1}{2}a^{-\frac {1}{2}}\textrm{d}a\]

    a spočteme

    \[\varphi =\frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left[a^{\frac{1}{2}}\right]_{z^2}^{z^2 + R^2},\] \[\varphi =\frac {\sigma} {2\epsilon_0} \left(\sqrt{z^2 + R^2} - z\right).\]
  • Nápověda – ověření vztahu mezi potenciálem a elektrickou intenzitou

    Potenciál a elektrickou intenzitu nám dává do vztahu jedna z rovností, ve které vystupuje matematický operátor gradient.

    Zkuste si vzpomenout, popřípadě najít o jaký vztah se jedná. Připomeňte si, co gradient znamená a jak se počítá (v kartézských souřadnicích).

  • Řešení – ověření vztahu mezi potenciálem a elektrickou intenzitou

    Máme ověřit, zda platí vztah zmíněný v řešení nápovědy c)

    \[\vec{E}=-\thinspace\text{grad}\thinspace\varphi.\]

    Ověření můžeme provést jen pro body na ose obruče a jen pro z–ovou složku, protože v části b) jsme určili pouze potenciál na ose z.

    \[\frac{\partial{\varphi}}{\partial{z}}=-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(\frac{1}{2}(z^2+R^2)^{-\frac{1}{2}}2z - 1 \right).\]

    Tedy

    \[E_z=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}} \right)\]

    což souhlasí s výpočtem.

     

    Nyní ještě ověříme, zda platí obrácený vztah

    \[\varphi=-\int_\infty^{\hat {z}}{E_z}\textrm{d}z,\]

    kde integrujeme z „nekonečna“, kde je potenciál roven nule, do místa se souřadnicí \(\hat {z}\) podél osy z, proto můžeme použít \(\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r} = E_z\,\mathrm{d}z\). Dosadíme-li vztah pro \(E_z\) z části a), dostaneme

    \[\varphi=-\int_\infty^{\hat {z}}\frac {\sigma} {2\epsilon_0} \left(1-\frac {z} {\sqrt{R^2 + z^2}}\right)\textrm{d}z,\] \[\varphi=-\frac {\sigma} {2\epsilon_0}\int_\infty^{\hat {z}} \left(1-\frac {z} {\sqrt{R^2 + z^2}}\right)\textrm{d}z,\] \[\varphi=-\frac {\sigma} {2\epsilon_0} \left(\left[\frac {z}{1}\right]_\infty^{\hat {z}}-\int_\infty^{\hat {z}}\frac {z} {\sqrt{R^2 + z^2}}\textrm{d}z\right),\]

    Integrál budeme řešit pomocí stejné substituce jako v předchozích částech:

    \[R^2 + z^2 = a\] \[2z \textrm{d}z = \textrm{d}a\] \[z \rightarrow \infty \Rightarrow a \rightarrow \infty \qquad; \qquad   z = \hat {z} \Rightarrow a = \hat {z}^2 + R^2. \] \[\varphi=-\frac {\sigma} {2\epsilon_0} \left(\left[\frac {z}{1}\right]_\infty^{\hat {z}}-\int_\infty^{\hat {z}^2 + R^2}\frac {1} {2a^{1/2}}\textrm{d}a\right),\] \[\varphi=-\frac {\sigma} {2\epsilon_0} \left(\left[\frac {z}{1}\right]_\infty^{\hat {z}}-\int_\infty^{\hat {z}^2 + R^2}\frac {1} {2}a^{-1/2}\textrm{d}a\right),\] \[\varphi=-\frac {\sigma} {2\epsilon_0}\left(\left[\frac {z}{1}\right]_\infty^{\hat {z}}-\left[\frac {a^{1/2}}{1}\right]_\infty^{\hat {z}^2 + R^2}\right).\tag{8}\]

    Integrál nemůžeme dopočítat, jelikož dostáváme neurčitý výraz \(\infty - \infty\). Příčinou potíží bylo rozdělení původního integrálu na dva. Z toho důvodu spočítáme původní integrál nejprve jako neurčitý a teprve potom dosadíme meze do výsledného výrazu.

    Abychom nemuseli integrál počítat celý znovu, využijeme toho, co jsme již spočítali. Odstraníme-li z výrazu (8) meze a dosadíme-li \(a = R^2 + z^2\) (substituce), dostaneme

    \[-\int\frac {\sigma} {2\epsilon_0} \left(1-\frac {z} {\sqrt{R^2 + z^2}}\right)\textrm{d}z=-\frac {\sigma} {2\epsilon_0}(z-(R^2 + z^2)^{1/2})\thinspace+\thinspace\mathrm{konstanta}\]

    a teď doplníme meze

    \[\varphi = -\int_\infty^{\hat {z}}\frac {\sigma} {2\epsilon_0} \left(1-\frac {z} {\sqrt{R^2 + z^2}}\right)\textrm{d}z= -\frac {\sigma} {2\epsilon_0}\Big[z-\sqrt{(R^2 + z^2)}\Big]_\infty^{\hat {z}}.\]

    Horní mez lze dosadit bez potíží, dosazení spodní (nevlastní) meze znamená spočítat limitu

    \[\lim_{z\rightarrow \infty} z-\sqrt{(R^2 + z^2)} = \]

    kterou rozšíříme výrazem \(z + \sqrt{R^2 + z^2} \) dostaneme

    \[= \lim_{z\rightarrow \infty} \frac {z^2 -(R^2 + z^2)}{z + \sqrt{R^2 + z^2}}= \lim_{z\rightarrow \infty} \frac {-R^2}{z + \sqrt{R^2 + z^2}} = 0.\]

    Výsledkem dosazení mezí je výraz

    \[\varphi = -\frac {\sigma} {2\epsilon_0} (\hat {z} - \sqrt{R^2 + z^2}) = \frac {\sigma} {2\epsilon_0} (\sqrt{R^2 + \hat {z}^2} - \hat {z}).\]

    Jelikož \(\hat {z}\) je libovolný bod na ose z, můžeme napsat

    \[\varphi= \frac {\sigma} {2\epsilon_0} (\sqrt{R^2 + {z}^2} - {z}),\]

    čímž dostaneme očekávaný výraz.

  • Grafy průběhu elektrické intenzity a potenciálu

    Na následujících obrázcích si můžeme prohlédnout závislosti elektrické intenzity a potenciálu na vzdálenosti z od středu disku.

    Průběh elektrické intenzity
    Průběh potenciálu

    Pro \(z = 0\) procházíme nabitou plochou. Potenciál je spojitý, kdežto elektrická intenzita má v tomto bodě skok, který odpovídá \(\frac {\sigma}{\varepsilon_0} \), což je v souladu s teorií.

  • Komentář – alternativní řešení s využitím úlohy o obruči

    Elektrickou intenzitu a potenciál na ose z homogenně nabitého disku, můžeme také řešit s využitím výsledků z úlohy Nabitá obruč.

    Na ose homogenně nabité obruče o poloměru R je ve vzdálenosti z potenciál (viz Nabitá obruč, Řešení b))

    \[\varphi=\frac {1}{2\epsilon_0} \frac {\lambda R}{\sqrt{R^2 + z^2}}\]

    a elektrická intenzita (viz Nabitá obruč, Řešení a))

    \[E_z =\frac{\lambda R}{2\epsilon_0} \frac {z} {\sqrt{(z^2 + R^2)^3}}. \]

     

    Začněme potenciálem \(\varphi\). Představíme-li si disk jako mnoho nekonečně tenkých obručí naskládaných do sebe, můžeme napsat, že příspěvek k potenciálu \(\textrm{d}\varphi\) od jedné nekonečně tenké obruče o poloměru \rho je

    \[\textrm{d}\varphi=\frac {1}{2\epsilon_0} \frac {\lambda\rho}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}\textrm{d}\rho.\]

    Zintegrujeme-li tento výraz přes celý disk (nasčítáme příspěvky od každé z obručí, což můžeme, jelikož je potenciál skalární veličina), dostaneme vztah pro potenciál homogenně nabitého disku

    \[\varphi= \int_0^{R}\frac {1}{2\epsilon_0} \frac {\lambda\rho}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}\textrm{d}\rho.\]

    Po zintegrování (využijeme stejnou substituci jako v předešlých oddílech) dostaneme

    \[\varphi = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(\sqrt{R^2 + z^2} - z \Big).\]

     

    Nyní se zaměříme na velikost elektrické intenzity E. Již víme, že výsledný směr elektrické intenzity na ose obruče míří ve směru její osy. Stejně jako při výpočtu potenciálu si pomyslně „rozřežeme“ disk na jednotlivé obruče. Jednotlivé příspěvky k elektrické intenzitě od každé obruče můžeme nasčítat (naintegrovat), jelikož mají všechny stejný směr (směr osy obruče).

    Příspěvek k elektrické intenzitě \(\textrm{d}E_z\) od jedné nekonečně tenké obruče o poloměru \(\rho\) bude

    \[\textrm{d}E_z =\frac{\lambda \rho}{2\epsilon_0} \frac {z} {\sqrt{(z^2 + \rho^2)^3}}\textrm{d}\rho. \]

    Zintegrujeme-li (opět stejná substituce) tento výraz přes celý disk, dostaneme vztah pro elektrickou intenzitu homogenně nabitého disku

    \[E_z =\int_0^{R}\frac{\lambda \rho}{2\epsilon_0} \frac {z} {\sqrt{(z^2 + \rho^2)^3}}\textrm{d}\rho =\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big( 1 - \frac {z} {\sqrt{(z^2 + R^2)}} \Big). \]
  • Odpověď

    Elektrická intenzita na ose homogenně nabitého disku \[\vec{E} = \frac {\sigma} {2\epsilon_0} \left(1-\frac {z} {\sqrt{\rho^2 + z^2}}\right). \] Potenciál na ose homogenně nabitého disku \[\varphi =\frac {\sigma} {2\epsilon_0} \left(\sqrt{z^2 + R^2} - z\right).\]

    Dále jsme ověřili pro body na ose obruče platnost vztahu mezi \(\vec {E}\) a \(\varphi\).

  • Limitní přechod k nabité ploše

    Nyní zkusme uvažovat nekonečný poloměr disku. Vznikne homogeně nabitá rovina. Využijme dosavadních výpočtů, pro určení intenzity a potenciálu ve vzdálenost z, nad touto plochou.

    Intenzita homogenně nabité roviny

    Z předchozích výpočtů využijeme

    \[E_z = \frac {\sigma z}{4\epsilon_0} \left[-2a^{-1/2}\right]_{z^2}^{z^2 + R^2}. \]

    Pokud \(R \rightarrow \infty \), pak

    \[E_z = \frac {\sigma z}{4\epsilon_0} \left[-2a^{-1/2}\right]_{z^2}^{\infty}. \]

    Dosazení horní meze, znamená spočítat limitu

    \[\lim_{a \rightarrow \infty} -2a^{-1/2} = \lim_{a \rightarrow \infty} \frac {-2}{\sqrt{a}} = 0.\]

    Výsledkem dosazení mezí je výraz

    \[E_z = \frac {\sigma}{\epsilon_0}. \] Potenciál homogenně nabité roviny

    Z předchozích výpočtů využijeme

    \[\varphi =\frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left[a^{\frac{1}{2}}\right]_{z^2}^{z^2 + R^2},\]

    Pokud \(R \rightarrow \infty \), pak

    \[\varphi =\frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left[a^{\frac{1}{2}}\right]_{z^2}^{\infty}.\]

    Dosazení horní meze, znamená spočítat limitu

    \[\lim_{a \rightarrow \infty} \sqrt{a} = \infty. \]

    Po dosazení mezí by nám vycházel potenciál nekonečný, protože výpočet potenciálu předpokládá nulový potenciál v nekonečnu, ale nám do nekonečna zasahuje nabitá plocha, proto je třeba nulový potenciál zvolit jinde a potenciál spočítat jinak.

    Můžeme se inspirovat úlohou Pole rovnoměrně nabité roviny a nulový potenciál zvolit na nabité rovině. Tedy \(\varphi = 0\) pro \(z = 0\). V integrálu se změní pouze horní mez.

    \[\varphi =\frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left[a^{\frac{1}{2}}\right]_{z^2}^{0},\]

    a po dosazení

    \[\varphi = - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} z. \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze