Prošlý náboj při růstu napětí

Určete náboj, který prošel vodičem o odporu 3 Ω při rovnoměrném růstu napětí mezi konci vodiče ze 2 V na 4 V po dobu 20 s.

Nápověda
Projděte si úlohu Elektrický náboj procházející vodičem, kde je postup podrobně popsán.
Řešení nápovědy
V této úloze budeme postupovat obdobně jako v úloze Elektrický náboj procházející vodičem. Při rovnoměrném růstu napětí U a stálém odporu R bude v souladu s Ohmovým zákonem \[R=\frac{U}{I}\qquad \Rightarrow \qquad I=\frac{U}{R}\] rovnoměrně růst i proud I procházející vodičem. Při rovnoměrném růstu proudu můžeme celkový prošlý náboj Q spočítat pomocí průměrného proudu I_p:
\[ Q = I_\mathrm{p} t = \frac{I_1+I_2}{2}t, \]
kde I₁ je počáteční proud, I₂ koncový proud a t doba, kterou rovnoměrně rostoucí proud procházel vodičem.

Vzhledem k tomu, že máme zadané napětí a odpor R je konstantní, platí podle Ohmova zákona pro napětí to samé co pro proud. Tudíž můžeme pro napětí provést stejnou úvahu o nahrazení lineárního růstu v čase průměrnou hodnotou a napsat \[Q=\frac{\frac{U_1+U_2}{2}}{R}t,\]
kde U₁ je počáteční a U₂ koncové napětí na vodiči.

Řešení
Uvědomíme si, že rovnoměrný růst napětí znamená lineární závislost napětí na čase, kterou můžeme nahradit průměrnou hodnotou napětí (viz nápověda). Potom už podle Ohmova zákona (I = U/R) a vztahu, který platí pro celkový náboj Q při konstantním proudu (Q = It), píšeme \[Q=I_\mathrm{p} t =\frac{U_\mathrm{p}}{R}t=\frac{\frac{U_1+U_2}{2}}{R}t= \frac {U_1+U_2}{2R}t=\frac {2+4}{2{\cdot} 3}\cdot 20\,\mathrm C= 20\,\mathrm C. \]
Odpověď
Vodičem projde celkový náboj 20 C.
Odkaz na podobnou úlohu
Elektrický náboj procházející vodičem

Sbírka řešených úloh