Změna proudu potenciometrem

Úloha číslo: 184

Přestože se o potenciometru uvažuje zejména v souvislosti s regulací napětí na spotřebiči, vidíme, že jím zároveň měníme i proud procházející tímto spotřebičem.

V jakém intervalu můžeme regulovat proud tekoucí rezistorem R3 v zapojení podle obrázku? Jaké je napětí na rezistoru R3 v krajních bodech tohoto intervalu? Jezdec potenciometru můžeme nastavit do libovolné polohy.

U = 30 V, R1 = 100 Ω, R2 = 20 Ω, R3 = 1200 Ω, Rp = 105 Ω.

Obrázek k zadání úlohy
  • Nápověda

    K určení intervalu nám stačí zjistit hodnoty jeho krajních bodů.

    Spočítejme tedy hodnoty proudu v případech, kdy jezdec bude v levé a pravé poloze potenciometru.

  • Rozbor

    Abychom zjistili, v jakém intervalu lze regulovat proud procházející rezistorem R3, určíme si hodnoty proudu v krajních bodech tohoto intervalu. Jezdec potenciometru posuneme do jeho krajních poloh A a B.

    Obrázek k řešení úlohy

    Proud procházející rezistorem R3 a napětí na tomto rezistoru budeme tedy počítat pro dvě různá zapojení.

    Při výpočtu využijeme vlastností sériového a paralelního zapojení rezistorů.

  • Řešení – Jezdec v poloze A

    Jezdec potenciometru posuneme do polohy A a obvod si překreslíme tak, aby se nám s ním dobře pracovalo:

    Jezdec v poloze A

    Abychom mohli určit proud I3A procházející rezistorem R3, vypočítáme si nejprve celkový odpor paralelní části obvodu Rx:

    \[\frac{1}{R_x}\,=\,\frac{1}{R_3}\,+\frac{1}{R_P+R_2}\,=\,\frac{R_P+R_2+R_3}{R_3\left(R_P+R_2\right)}\] \[R_x\,=\,\frac{R_3\left(R_P+R_2\right)}{R_P+R_2+R_3}\,.\tag{1}\]

    Celkové napětí při sériovém zapojení se rovná součtu napětí na jednotlivých prvcích. Pro celkové napětí tedy platí:

    \[U\,=\,U_1\,+\,U_x\,,\]

    kde U1 je napětí na rezistoru R1 a Ux je napětí paralelní části obvodu.

    Velikost proudu, který protéká sériově zapojenými spotřebiči, je stejná:

    \[I_1\,=\,I_x\hspace{10px}\Rightarrow\hspace{10px}\frac{U_1}{R_1}\,=\,\frac{U_x}{R_x}\,.\]

    A tedy:

    \[R_1U_x\,=\,R_xU_1\,.\]

    Z rovnice pro celkové napětí si vyjádříme napětí U1 = U - Ux a dosadíme:

    \[R_1U_x\,=\,R_x\left(U\,-\,U_x\right)\,.\]

    Nyní si vyjádříme napětí Ux:

    \[R_1U_x\,+\,R_xU_x\,=\,R_xU\] \[U_x\left(R_1+R_x\right)\,=\,R_xU\] \[U_x\,=\,\frac{R_xU}{R_1+R_x}\,.\]

    Napětí Ux je napětí na paralelní části obvodu a tedy i napětí na rezistoru R3 (při paralelním zapojení je napětí na všech větvích stejné). Proto platí:

    \[I_\mathrm{3A}\,=\,\frac{U_x}{R_3}\,.\]

    Dosazením za Ux získáme vztah pro výpočet hledaného proudu I3A:

    \[I_\mathrm{3A}\,=\,\frac{R_xU}{R_3\left(R_1+R_x\right)}\,.\]

    Nyní ještě dosadíme vzorec (1) pro výpočet odporu paralelní části obvodu Rx:

    \[I_\mathrm{3A}\,=\,\frac{\frac{R_3\left(R_P+R_2\right)}{R_P+R_2+R_3}\,U}{R_3\left(R_1+\frac{R_3\left(R_P+R_2\right)}{R_P+R_2+R_3}\right)}\,.\]

    Po převedení na společného jmenovatele a úpravě složeného zlomku získáme konečný vztah pro výpočet proudu I3A:

    \[I_\mathrm{3A}\,=\,\frac{\left(R_P+R_2\right)\,U}{R_1R_3+\left(R_1+R_3\right)\left(R_P+R_2\right)}\,.\]
  • Řešení – Jezdec v poloze B

    Jezdec potenciometru posuneme do polohy B a obvod si překreslíme:

    Jezdec v poloze B

    Protože napětí ve větvích paralelní části obvodu je stejné (Uy = U3), pro proud I3 procházející rezistorem R3B platí:

    \[I_\mathrm{3B}\,=\,\frac{U_y}{R_3}\,,\tag{2}\]

    kde Uy je napětí na paralelní části obvodu.

    Celkové napětí v obvodu se sériově řazenými prvky se rovná součtu napětí na jednotlivých prvcích. Tedy:

    \[U\,=\,U_1\,+\,U_P\,+\,U_y\hspace{10px}\Rightarrow\hspace{10px}U_y\,=\,U\,-\,U_1\,-\,U_P\,.\]

    Při sériovém zapojení je celkový proud stejný jako proudy procházející jednotlivými prvky:

    \[I\,=\,I_1\,=\,I_P\,.\]

    Podle Ohmova zákona se proud procházející spotřebičem rovná podílu napětí na spotřebiči a jeho odporu:

    \[I\,=\,I_1\,=\,\frac{U_1}{R_1}\hspace{50px}I\,=\,I_P\,=\,\frac{U_P}{R_P}\,.\]

    Vzorec pro napětí v paralelní části obvodu si tedy můžeme přepsat:

    \[U_y\,=\,U\,-\,R_1I\,-\,R_PI\] \[U_y\,=\,U\,-\,\left(R_1\,+\,R_P\right)I\,.\tag{3}\]

    Z Ohmova zákona víme, že celkový proud I procházející obvodem se rovná podílu celkového napětí U a celkového odporu obvodu R:

    \[I\,=\,\frac{U}{R}\,.\]

    Abychom mohli určit celkový proud I, vypočítáme si nejprve celkový odpor soustavy R.

    Pro paralelní část obvodu platí:

    \[\frac{1}{R_y}\,=\,\frac{1}{R_2}\,+\,\frac{1}{R_3}\,=\,\frac{R_2+R_3}{R_2R_3}\] \[R_y\,=\,\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}\,.\]

    Celkový odpor R:

    \[R\,=\,R_1\,+\,R_P\,+\,R_y\,=\,R_1\,+\,R_P\,+\,\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}=\,\frac{\left(R_1+R_P\right)\left(R_2+R_3\right)+R_2R_3}{R_2+R_3}\,.\]

    Dosadíme do vztahu pro celkový proud:

    \[I\,=\,\frac{U}{R}\,=\,\frac{U}{\frac{\left(R_1+R_P\right)\left(R_2+R_3\right)+R_2R_3}{R_2+R_3}}\,.\]

    A upravíme:

    \[I\,=\,\frac{U\left(R_2+R_3\right)}{\left(R_1+R_P\right)\left(R_2+R_3\right)+R_2R_3}\,.\]

    Tento výsledek dosadíme do vzorce (3) pro napětí v paralelní části obvodu:

    \[U_y\,=\,U\,-\,\left(R_1\,+\,R_P\right)\frac{U\left(R_2+R_3\right)}{\left(R_1+R_P\right)\left(R_2+R_3\right)+R_2R_3}\,.\]

    Po převedení pravé strany vzorce na společného jmenovatele získáme:

    \[U_y\,=\,\frac{R_2R_3U}{\left(R_1+R_P\right)\left(R_2+R_3\right)+R_2R_3}\,.\]

    Tento vztah dosadíme do vzorce (2) a získáme tak hledaný proud I3B:

    \[I_\mathrm{3B}\,=\,\frac{U_y}{R_3}\,=\,\frac{\frac{R_2R_3U}{\left(R_1+R_P\right)\left(R_2+R_3\right)+R_2R_3}}{R_3}\,=\,\frac{R_2U}{\left(R_1+R_P\right)\left(R_2+R_3\right)+R_2R_3}\,.\]
  • Řešení – Jezdec v poloze B (jednodušeji)

    Porovnáme zapojení obvodu s jezdcem potenciometru v poloze B, se zapojením, kdy je jezdec v poloze A:

    Porovnání zapojení s jezdcem potenciometru v poloze A a B

    Z obrázku je patrné, že:

    a) Místo sériově zapojeného potenciometru RP a rezistoru R2 máme nyní v paralelní větvi jen rezistor R2. Celkový odpor této větve je tedy R2.
    b) Potenciometr RP se přesunul za rezistor R1. Je s ním tedy spojen sériově a celkový odpor této sériové části obvodu je R1 + RP.

    Vzorec pro výpočet proudu I3B procházejícího rezistorem R3 při posunutí jezdce potenciometru do polohy B získáme úpravou konečného výsledku oddílu Řešení 1.

    \[I_\mathrm{3A}\,=\,\frac{\left(R_P+R_2\right)\,U}{R_1R_3+\left(R_1+R_3\right)\left(R_P+R_2\right)}\]

    Místo RP + R2 dosadíme do vzorce jen R2 (viz a)) a R1 nahradíme vztahem R1 + RP (viz b)). Tedy:

    \[I_\mathrm{3B}\,=\,\frac{R_2\,U}{\left(R_1+R_P\right)R_3+\left[\left(R_1+R_P\right)+R_3\right]R_2}\,.\]

    Jmenovatel zlomku ještě upravíme (vytkneme výraz (R1 + RP)) a získáme stejný výsledek jako v předchozí části:

    \[I_\mathrm{3B}\,=\,\frac{R_2\,U}{\left(R_1+R_P\right)\left(R_2+R_3\right)+R_2R_3}\,.\]
  • Číselné dosazení

    Do výsledných vzorců, které jsme získali řešením úlohy

    \[I_{3A}\,=\,\frac{\left(R_P+R_2\right)\,U}{R_1R_3+\left(R_1+R_3\right)\left(R_P+R_2\right)}\] \[U_{3A}\,=\,I_{3A}R_3\] \[I_{3B}\,=\,\frac{R_2U}{\left(R_1+R_P\right)\left(R_2+R_3\right)+R_2R_3}\] \[U_{3B}\,=\,I_{3B}R_3,\]

    dosadíme hodnoty ze zadání úlohy

    U = 30 V, R1 = 100 Ω, R2 = 20 Ω, R3 = 1200 Ω, Rp = 105 Ω:

    \[I_\mathrm{3A}\,=\,\frac{125{\cdot} 30}{120000+1300{\cdot} 125}\,\mathrm{A}\,=\,13{,}3{\cdot} 10^{-3}\,\mathrm{A}\,=\,13{,}3\,\mathrm{mA}\] \[U_\mathrm{3A}\,=\,13{,}3{\cdot} 10^{-3}\cdot 1200\,\mathrm{V}\,=\,16\,\mathrm{V}\] \[I_\mathrm{3B}\,=\,\frac{20{\cdot} 30}{205{\cdot} 1220+20{\cdot} 1200}\,\mathrm{A}\,=\,2{,}2{\cdot} 10^{-3}\,\mathrm{A}\,=\,2{,}2\,\mathrm{mA}\] \[U_\mathrm{3B}\,=\,2{,}2{\cdot} 10^{-3}\cdot 1200\,\mathrm{V}\,=\,2{,}6\,\mathrm{V}\,.\]
  • Odpověď

    Proud tekoucí rezistorem R3 můžeme regulovat v intervalu od 2,2 mA do 13,3 mA. Hodnoty napětí na rezistoru R3 v krajních bodech intervalu jsou 16 V a 2,6 V, přičemž vyšší hodnota napětí odpovídá nižší hodnotě proudu.

  • Hodnota proudu v obecné poloze jezdce

    Řekli jsme, že proud I3 bude minimální a maximální hodnoty dosahovat v krajních polohách jezdce potenciometru. Nyní by bylo vhodné si ověřit, že toto naše tvrzení je pravdivé.

    Překreslíme si obvod tak, abychom znázornili, že je jezdec potenciometru v obecné poloze:

    Jezdec v obecné poloze

    Součet odporů rezistorů RP - Rz a Rz se rovná odporu potenciometru RP. Odpor rezistoru Rz může nabývat hodnot od 0 Ω do 105 Ω (odpor potenciometru RP).

    Stejným způsobem jako ve třetí části řešení si vzorec pro proud I3A

    \[ I_\mathrm{3A}\,=\,\frac{\left(R_P+R_2\right)\,U}{R_1R_3+\left(R_1+R_3\right)\left(R_P+R_2\right)} \]

    upravíme tak, aby vyhovoval poloze jezdce v obecné poloze. Výraz (RP+R2) nahradíme vztahem (Rz+R2) a R1 ve vzorci nahradíme výrazem (RP-Rz)+R1. Tedy:

    \[I_3\,=\,\frac{\left(R_z+R_2\right)\,U}{\left[\left(R_P-R_z\right)+R_1\right]R_3+\left[\left(R_P-R_z\right)+R_1+R_3\right]\left(R_z+R_2\right)}\,.\]

    Jmenovatel zlomku upravíme vytýkáním před závorku a získáme tak konečnou rovnici pro výpočet proudu I3 pro jezdce potenciometru v obecné poloze:

    \[I_3\,=\,\frac{\left(R_z+R_2\right)U}{\left(R_P-R_z+R_1\right)\left(R_3+R_z+R_2\right)+R_3\left(R_z+R_2\right)}\,.\]

    Nyní si vytýkáním před závorku a roznásobováním závorek upravíme zlomek tak, abychom si v čitateli i jmenovateli zvlášť vyjádřili členy s Rz a Rz2:

    \[ I_3\,=\,\frac{R_zU+R_2U}{-R_z^2+R_z\left(R_P+R_1-R_2\right)+\left[\left(R_P+R_1\right)\left(R_3+R_2\right)+R_3R_2\right]}\,. \]

    Abychom zjistili minimální a maximální hodnotu proudu I3, zderivujeme tento vzorec podle Rz. Pro derivaci podílu dvou funkcí f, g, kde g ≠ 0 platí:

    \[ \left(\frac{f}{g}\right)^,\,=\,\frac{f^,g-fg^,}{g^2}\,. \]

    Pozn.: přehled základních vzorců pro derivování najdete v úloze Paúhoř elektrický.

    Za předpokladu, že jmenovatel zlomku I3 je nenulový, můžeme tento vzorec pro derivaci podílu použít. Platí:

    \[ f\,=\,U\left(R_z\,+\,R_2\right) \] \[ g\,=\,-R_z^2+R_z\left(R_P+R_1-R_2\right)+\left(R_P+R_1\right)\left(R_3+R_2\right)+R_3R_2\,. \]

    A tedy:

    \[f^,\,=\,U\] \[g^,\,=\,-2R_z\,+\,\left(R_P\,+\,R_1\,-\,R_2\right)\,,\]

    kde \(f^,\), \(g^,\) jsou funkce \(f\), \(g\) zderivované podle \(R_z\).

    Protože funkce g je nenulová, pak pro její druhou mocninu platí:

    \[g^2\,>\,0\,.\]

    Nyní se podíváme, jak je to s velikostí funkce \(f^,g-fg^,\):

    \[f^,g=U\left(-R_z^2+R_z\left(R_P+R_1-R_2\right)+\left(R_P+R_1\right)\left(R_3+R_2\right)+R_3R_2\right)\] \[fg^,=U\left(R_z\,+\,R_2\right)\left[-2R_z\,+\,\left(R_P\,+\,R_1\,-\,R_2\right)\right]\,.\]

    Pokud od sebe tyto dvě funkce odečteme, získáme výsledek:

    \[f^,g-fg^,\,=\,U\left(R_z^2+2R_2R_z+R_PR_3+R_1R_3+R_2^2\right)\,.\]

    Díky tomu, že odpory R1, R2, RP a napětí U nabývají kladných hodnot a odpor rezistoru Rz se pohybuje od 0 Ω do velikosti odporu RP, pak pro funkci \(f^,g-fg^,\) platí:

    \[f^,g-fg^,\,>\,0\,.\]

    První derivace \(\frac{dI_3}{dR_z}\) je tedy kladná, a proto funkce I3 v závislosti na Rz je rostoucí.

    Náš přístup pro výpočet krajních hodnot proudu I3 byl tedy správný. Minimální hodnoty proud I3 nabývá pro Rz = 0 Ω. To odpovídá poloze jezdce potenciometru v bodě B. Maximální hodnotu má proud I3, pokud Rz = RP, tedy pro jezdec potenciometru v poloze A.

  • Odkaz na úlohu

    Vyzkoušejte si také vyřešit úlohu Potenciometr.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Hubeňák, J. (1997). Řešené úlohy z elektřiny a magnetismu –
Proseminář z fyziky na střední škole a studující učitelství fyziky
v I. Ročníku. MAFY, Hradec Králové.
Zpracováno v diplomové práci Marie Snětinové (2010).
×Původní zdroj: Hubeňák, J. (1997). Řešené úlohy z elektřiny a magnetismu – Proseminář z fyziky na střední škole a studující učitelství fyziky v I. Ročníku. MAFY, Hradec Králové.
Zpracováno v diplomové práci Marie Snětinové (2010).
Zaslat komentář k úloze