Indukčnost cívky
Úloha číslo: 64
Indukčnost hustě navinuté cívky je taková, že při změně proudu o 5 A za sekundu se v ní indukuje elektromotorické napětí 3 mV. Dále víme, že stálý proud 8 A vytváří v každém závitu této cívky magnetický indukční tok 40 μWb.
a) Vypočtěte indukčnost cívky.
b) Určete kolik závitů má cívka.
Nápověda
Vyhledejte si, jak vypadá vztah pro elektromotorické napětí indukované v cívce.
Indukčnost cívky je konstanta úměrnosti mezi proudem protékajícím cívkou a magnetickým indukčním tokem v cívce.
Rozbor
a) Proud tekoucí jedním závitem cívky vytváří uvnitř tohoto závitu magnetický indukční tok Φ, který je přímo úměrný velikosti proudu. Všech N závitů cívky vytváří celkový tok NΦ. Elektromotorické napětí, které se v cívce indukuje, se rovná podílu změny celkového toku a změny času. Celkový tok můžeme také určit pomocí indukčnosti cívky a proudu.
b) Pro výpočet počtu závitů cívky využijeme vztah mezi indukčností cívky a celkovým magnetickým tokem.
Řešení
a) Velikost elektromotorického napětí Ui indukovaného v cívce je úměrná časové změně celkového magnetického toku NΦ:
\[|U_\mathrm{i}| =\left| \frac {\Delta(N\Phi)}{\Delta t}\right|.\]Pro indukčnost cívky L platí vztah (viz Nápověda):
\[N \Phi = L I.\]Oba vzorce zkombinujeme a dostaneme:
\[|U_\mathrm{i}| = \frac {\Delta L I}{\Delta t}.\]Indukčnost cívky L je konstantní, a proto se ve vzorci objeví změna proudu za čas, kterou známe ze zadání:
\[|U_\mathrm{i}| =L \frac {\Delta I}{\Delta t}.\]Z posledního vztahu si vyjádříme neznámou indukčnost L:
\[L=\dfrac{|U_\mathrm{i}|}{\frac {\Delta I}{\Delta t}}.\]b) Ze vztahu pro indukčnost cívky
\[N \Phi = L I\]vyjádříme počet závitů N:
\[N=\frac{LI}{\Phi}.\]Zápis a číselné dosazení
\(\frac{\Delta I}{\Delta t}= 5 \,\mathrm{As^{-1}}\) změna proudu \(|U_\mathrm{i}| = 3\,\mathrm{mV}= 3 {\cdot} 10^{-3} \,\mathrm{V}\) velikost indukovaného elektromotorického napětí \(I=8\,\mathrm{A}\) proud tekoucí jedním závitem \(\Phi = 40\,\mathrm{\mu Wb}=40 {\cdot} 10^{-6}\,\mathrm{Wb}\) magnetický indukční tok jednoho závitu \(L= \mathrm{?}\,\mathrm{(H)}\) indukčnost cívky \(N=\mathrm{?}\) počet závitů cívky
\[L=\frac{|U_\mathrm{i}|}{\frac{\Delta I}{\Delta t}}=\frac{3{\cdot} 10^{-3}}{5}\,\mathrm{H}= 6{\cdot} 10^{-4}\,\mathrm{H}=0{,}6\,\mathrm{mH}\] \[N=\frac{LI}{\Phi}=\frac{6{\cdot} 10^{-4}\cdot 8}{40 {\cdot} 10^{-6}}= 120\]Odpověď
Cívka má 120 závitů a její indukčnost je L = 0,6 mH.
