Indukčnost cívky

Úloha číslo: 64

Indukčnost hustě navinuté cívky je taková, že při změně proudu o 5 A za sekundu se v ní indukuje elektromotorické napětí 3 mV. Dále víme, že stálý proud 8 A vytváří v každém závitu této cívky magnetický indukční tok 40 μWb.

a) Vypočtěte indukčnost cívky.

b) Určete kolik závitů má cívka.

  • Nápověda

    Vyhledejte si, jak vypadá vztah pro elektromotorické napětí indukované v cívce.

    Indukčnost cívky je konstanta úměrnosti mezi proudem protékajícím cívkou a magnetickým indukčním tokem v cívce.

  • Rozbor

    a) Proud tekoucí jedním závitem cívky vytváří uvnitř tohoto závitu magnetický indukční tok Φ, který je přímo úměrný velikosti proudu. Všech N závitů cívky vytváří celkový tok . Elektromotorické napětí, které se v cívce indukuje, se rovná podílu změny celkového toku a změny času. Celkový tok můžeme také určit pomocí indukčnosti cívky a proudu.

    b) Pro výpočet počtu závitů cívky využijeme vztah mezi indukčností cívky a celkovým magnetickým tokem.

  • Řešení

    a) Velikost elektromotorického napětí Ui indukovaného v cívce je úměrná časové změně celkového magnetického toku

    \[|U_i| =\left| \frac {\Delta(N\Phi)}{\Delta t}\right|.\]

    Pro indukčnost cívky L platí vztah (viz Nápověda)

    \[N \Phi = L I.\]

    Oba vzorce zkombinujeme a dostaneme

    \[|U_i| = \frac {\Delta L I}{\Delta t}.\]

    Indukčnost cívky L je konstantní, a proto se ve vzorci objeví změna proudu za čas, kterou známe ze zadání

    \[|U_i| =L \frac {\Delta I}{\Delta t}.\]

    Z posledního vztahu si vyjádříme neznámou indukčnost L.

    \[L=\dfrac{|U_i|}{\frac {\Delta I}{\Delta t}}\]

    b) Ze vztahu pro indukčnost cívky

    \[N \Phi = L I,\]

    vyjádříme počet závitů N

    \[N=\frac{LI}{\Phi}.\]
  • Zápis a číselné dosazení

    \(\frac{\Delta I}{\Delta t}= 5 \,\mathrm{As^{-1}}\) změna proudu
    \(|U_i| = 3\,\mathrm{mV}= 3 {\cdot} 10^{-3} \,\mathrm{V}\) velikost indukovaného elektromotorického napětí
    \(I=8\,\mathrm{A}\) proud tekoucí jedním závitem
    \(\Phi = 40\,\mathrm{\mu Wb}=40 {\cdot} 10^{-6}\,\mathrm{Wb}\) magnetický indukční tok jednoho závitu
    \(L= \mathrm{?}\,\mathrm{(H)}\) indukčnost cívky
    \(N=\mathrm{?}\) počet závitů cívky

    \[L=\frac{|U_i|}{\frac{\Delta I}{\Delta t}}=\frac{3{\cdot} 10^{-3}}{5}\,\mathrm{H}= 6{\cdot} 10^{-4}\,\mathrm{H}=0{,}6\,\mathrm{mH}\] \[N=\frac{LI}{\Phi}=\frac{6{\cdot} 10^{-4}\cdot 8}{40 {\cdot} 10^{-6}}= 120\]
  • Odpověď

    Cívka má 120 závitů a její indukčnost je L = 0,6 mH.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze