Kulička na vlákně

Úloha číslo: 714

obrázek k zadání úlohy

Tenké vlákno vydrží maximální sílu napnutí 10 mN. Na tomto vlákně je zavěšena kulička o hmotnosti 0,6 g s kladným nábojem 11 nC. Zdola k ní ve směru závěsu přibližujeme kuličku se záporným nábojem 13 nC.

Při jaké vzdálenosti mezi oběma kuličkami se vlákno přetrhne?

  • Nápověda

    Nakreslete si obrázek sil působících na nabitou kuličku.

    Co musí platit pro velikost výslednice těchto sil?

  • Rozbor

    Na zavěšenou kuličku působí tíhová a elektrická síla. Obě tyto síly namáhají vlákno, na kterém je kulička zavěšena. Velikost tíhové síly se nemění. Elektrická síla se při přibližování druhé kuličky v souladu s Coulombovým zákonem zvětšuje.

    Druhou kuličku můžeme přibližovat do té doby, dokud velikost výslednice tíhové a elektrické síly nepřekročí maximální sílu napnutí, kterou vlákno závěsu vydrží.

  • Řešení

    obrázek působících sil

    Vlákno je namáháno tíhovou silou působící na kuličku a silou elektrickou, která se při přibližování druhé kuličky v souladu s Coulombovým zákonem zvětšuje.

    Velikost tíhové síly vypočítáme ze vzorce F = mg a velikost elektrické síly z Coulombova zákona \(F_e\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q_1 Q_2}{r^2}\).

    K přetržení vlákna dojde v okamžiku, kdy součet obou uvedených sil dosáhne maximální síly napnutí FN.

    Platí tedy: \(F_N\,=\,F_G\,+\,F_e\).

    Po dosazení ze vztahu pro tíhovou sílu a Coulombova zákona dostáváme:

    \[F_N\,=\,mg\,+\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q_1 Q_2}{r^2}\]

    Nyní již vyjádříme vzdálenost r, při níž dojde k přetržení vlákna.

    \[F_N\,=\,mg\,+\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q_1 Q_2}{r^2} \hspace{40px}|\,-mg\] \[F_N\,-mg\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q_1 Q_2}{r^2} \hspace{40px}|\,\cdot r^2\] \[r^2 \left(F_N\,-mg\right)\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q_1 Q_2}{1} \hspace{40px}|\,: \left(F_N\,-mg\right)\] \[r^2 \,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q_1 Q_2}{\left(F_N\,-mg\right)}\] \[r\,=\,\sqrt{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q_1 Q_2}{\left(F_N\,-mg\right)}}\]
  • Zápis a číselný výpočet

    Q1 = 11 nC = 11·10−9 C

    Q2 = 13 nC = 13·10−9 C

    FN = 10 mN = 10·10−3 N

    m = 0,6 g = 6·10−4 kg

    Z tabulek

    ε0 = 8,85·10−12 C2N−1m−2

    g = 9,81 m s−2


    \[\begin{eqnarray} r\,&=&\,\sqrt{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q_1 Q_2}{\left(F_N\,-mg\right)}}\\ r\,&=&\,\sqrt{\frac{1}{4 \pi \cdot 8{,}85{\cdot} 10^{-12}}\,\frac{11{\cdot} 10^{-9}\cdot13{\cdot} 10^{-9}}{\left(10^{-2}\,-6{\cdot} 10^{-4}\cdot 9{,}81\right)}}\,\mathrm{m}\\ r\,&\dot=&\,0{,}018\,\mathrm{m}\,\dot=\,1{,}8\,\mathrm{cm} \end{eqnarray}\]
  • Odpověď

    K přetržení vlákna dojde při vzdálenosti

    \[r\,=\,\sqrt{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q_1 Q_2}{\left(F_N\,-mg\right)}}\dot=\,1{,}8\,\mathrm{cm}\,.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na zjišťování vztahu mezi fakty
Zaslat komentář k úloze