Obvod s přepínačem

Úloha číslo: 78

Generátor na obrázku dodává střídavé napětí 230 V o frekvenci 50 Hz. V obvodu je zapojena cívka, dva stejné kondenzátory a rezistor o neznámých hodnotách impedancí. Při rozpojení přepínačů (jako na obrázku) je napětí zpožděno za proudem generátoru o 20°. S přepínačem v poloze 1 napětí předbíhá proud generátoru o 10°. Když je přepínač v poloze 2, teče obvodem proud 2 A.

Určete odpor rezistoru, indukčnost cívky a kapacitu kondenzátoru.

schéma zapojení
  • Zápis

    Ze zadání známe:  

    Napětí na zdroji:Um = 230 V
    Frekvence napětí zdroje:  f = 50 Hz
    Rozpojený přepínač:napětí se za proudem zpožďuje o φ1 = -20°.
    Přepínač v poloze jedna:  napětí předbíhá proud o φ2 = 10°.
    Přepínač v poloze dva:obvodem protéká proud I = 2 A.

    Chceme určit:

    Odpor rezistoru:R = ? (Ω)
    Indukčnost cívky:L = ? (H)
    Kapacitu kondenzátoru:C = ? (F)

  • Nápověda

    Prohlédněte si schéma zapojení. Zaměřte se zejména na to, jak v jednostlivých polohách přepínače teče proud obvodem. Jednotlivé případy si překreslete tak, že vynecháte ty části obvodu, kterými proud neprotéká.

  • Rozbor

    Ze zadání víme o obvodu tři vlastnosti pro tři různé polohy přepínače. Máme také určit tři neznámé veličiny. To znamená, že každý zadaný údaj o obvodu převedeme na rovnici, a tím získáme soustavu rovnic, kde jako neznámé budou vystupovat odpor rezistoru, kapacita kondenzátoru a indukčnost cívky.

    Původní obvod si rozkreslíme do jednotlivých zapojení podle polohy přepínače. U těchto obvodů zakreslíme pouze prvky, kterými poteče proud. Ty části obvodu, kterými proud neprotéká, vynecháme.

    ...rozpojený přepínač...
    ...přepínač v poloze 1...
    ...přepínač v poloze 2...

    Pomocí Ohmova zákona vyjádříme fázové posuny mezi napětím a proudem pro rozpojený přepínač a přepínač v poloze 1. Dále si vyjádříme velikost impedance, která se v zapojení s přepínačem v poloze 2 sestává jen z induktance a kapacitance.

    Dostaneme opravdu tři rovnice (z každého obvodu jednu) pro tři neznámé hodnoty, tj. kapacitanci, induktanci a rezistanci. Soustavu vyřešíme a ze získaných hodnot vypočteme hodnotu kapacity, indukčnosti a odporu.

  • Řešení soustavy rovnic

    Z rozkreslených obvodů jsme v předchozím oddíle získali soustavu tří rovnic o třech neznámých. Impedance budeme uvažovat v ohmech a pro přehlednost je nebudeme psát do rovnic.

    Z obvodu s rozpojeným přepínačem:

    \[ \frac{X_L-X_C}{R}=\mathrm{tg\,} {\varphi}_1 =\mathrm{tg\,} (-20^{\circ}) \,\dot{=}\,-0{,}364\tag{1}\]

    Z obvodu s polohou přepínače 1:

    \[\frac{X_L-\frac{1}{2}X_C}{R}=\mathrm{tg\,} {\varphi}_2 =\mathrm{tg\,} (10^{\circ}) \,\dot{=}\,0{,}18\tag{2}\]

    Z obvodu s polohou přepínače 2:

    \[|X_L-X_C|=\frac{U_m}{I}=\frac{230}{2} = 115 \tag{3}\]

    Do rovnice (1) dosadíme rovnici (3) a vyjádříme velikost rezistance. Zároveň můžeme „odstranit“ absolutní hodnotu u rozdílu |XL - XC|, protože rezistance R je kladná, platí:

    \[X_L-X_C=-115\]

    Dosadíme do rovnice (1):

    \[ \frac{X_L-X_C}{R}=\mathrm{tg\,} {\varphi}_2 \] \[\frac{-115}{R}\,\dot{=}\,-0{,}364\] \[R\,\dot{=}\, 316\]

    Nyní jsme úlohu upravili na řešení dvou rovnic o dvou neznámých. Jsou to upravené rovnice (1) a (2), do kterých jsme dosadili vypočtenou hodnotu rezistance R.

    \[X_L-X_C=-115\tag{1}\]

    \[X_L-\frac{1}{2}X_C=0{,}18R\,\dot{=}\,56{,}88\tag{2}\]

    Z první z nich vyjádříme:

    \[X_L=-115+X_C\]

    a dosadíme do druhé:

    \[-115+X_C-\frac{1}{2}X_C\,\dot{=}\,56{,}88\]

    a dostaneme:

    \[X_C\,\dot{=}\,2(56{,}88+115)\,\dot{=}\,344\] \[X_L\,\dot{=}\,-115+344\,\dot{=}\,229\]

     


    Hodnoty odporu rezistoru, kapacity kondenzátoru a indukčnosti cívky (s jednotkami):

    • Odpor rezistoru: \[R\,\dot{=}\, 316\,\mathrm \Omega\]
    • Kapacita kondenzátoru: \[X_C=\frac{1}{2 \pi f C}\] \[C=\frac{1}{2 \pi f X_C}\,\dot{=}\,\frac{1}{ 2 \pi \cdot 50 {\cdot} 344}\,\mathrm F\] \[C\,\dot{=}\,9{,}3 \,\mathrm{\mu F}\]
    • Indukčnost cívky: \[X_L= 2 \pi f L\] \[L=\frac{X_L}{2 \pi f}\,\dot{=}\,\frac{229}{2 \pi \cdot 50}\,\mathrm H\] \[L\,\dot{=}\,0{,}73\,\mathrm H\]
  • Odpověď

    Odporu rezistoru v obvodu je přibližně:  R = 316 Ω.

    Indukčnost cívky v obvodu má hodnotu asi: L = 0,73 H.

    Kapacity kondenzátorů v obvodu mají hodnotu přibližně: C = 9,3 μF.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na syntézu
Úloha na překlad, transformaci
Zaslat komentář k úloze