Sbírka řešených úloh

Obvod s přepínačem

Úloha číslo: 78

Generátor na obrázku dodává střídavé napětí 230 V o frekvenci 50 Hz. V obvodu je zapojena cívka, dva stejné kondenzátory a rezistor o neznámých hodnotách impedancí. Při rozpojení přepínačů (jako na obrázku) je napětí zpožděno za proudem generátoru o 20°. S přepínačem v poloze 1 napětí předbíhá proud generátoru o 10°. Když je přepínač v poloze 2, teče obvodem proud 2 A.

Určete odpor rezistoru, indukčnost cívky a kapacitu kondenzátoru.

• Zápis

  Ze zadání známe:  

  Napětí na zdroji:	Um = 230 V
  Frekvence napětí zdroje:	f = 50 Hz
  Rozpojený přepínač:	napětí se za proudem zpožďuje o φ1 = −20°
  Přepínač v poloze jedna:	napětí předbíhá proud o φ2 = 10°
  Přepínač v poloze dva:	obvodem protéká proud I = 2 A

  Chceme určit:

  Odpor rezistoru:	R = ? (Ω)
  Indukčnost cívky:	L = ? (H)
  Kapacitu kondenzátoru:	C = ? (F)

• Nápověda

  Prohlédněte si schéma zapojení. Zaměřte se zejména na to, jak v jednotlivých polohách přepínače teče obvodem proud. Jednotlivé případy si překreslete tak, že vynecháte ty části obvodu, kterými proud neprotéká.

• Rozbor

  Ze zadání známe tři vlastnosti obvodu pro tři různé polohy přepínače. Máme také určit tři neznámé veličiny. To znamená, že každý zadaný údaj o obvodu převedeme na rovnici, a tím získáme soustavu rovnic, kde jako neznámé budou vystupovat odpor rezistoru, kapacita kondenzátoru a indukčnost cívky.

  Původní obvod si rozkreslíme do jednotlivých zapojení podle polohy přepínače. U těchto obvodů zakreslíme pouze prvky, kterými poteče proud. Ty části obvodu, kterými proud neprotéká, vynecháme.

  

  

  

  Pomocí Ohmova zákona vyjádříme fázové posuny mezi napětím a proudem pro rozpojený přepínač a přepínač v poloze 1. Dále si vyjádříme velikost impedance, která v zapojení s přepínačem v poloze 2 sestává jen z induktance a kapacitance.

  Dostaneme opravdu tři rovnice (z každého obvodu jednu) pro tři neznámé hodnoty, tj. kapacitanci, induktanci a rezistanci. Soustavu vyřešíme a ze získaných hodnot vypočteme hodnotu kapacity, indukčnosti a odporu.

• Řešení pomocí rozkreslených obvodů

  Obvod s rozpojeným přepínačem:

  

  Pro fázový posun v takovémto obvodu platí:

  $$\mathrm{tg\,} {\varphi}_1 = \frac{X_\mathrm{L}-X_\mathrm{C}}{R}.\tag{1}$$

  Fázový posun mezi napětím a proudem bude záporný, protože napětí je za proudem zpožďováno.

   

  Obvod s přepínačem v poloze 1:

  

  Celková kapacita v tomto zapojení je:

  $$C_\mathrm{p}=C+C$$ .

  Celková kapacitance má potom tvar:

  $$X_\mathrm{C_{p}}=\frac{1}{4\pi f C}=\frac{1}{2}X_\mathrm{C}.$$

  Hodnota kapacitance v tomto zapojení je poloviční než v případě s rozpojeným přepínačem, protože jsou připojeny dva paralelní kondenzátory o stejné kapacitě.

  Pro fázový posun v tomto obvodu platí:

  $$\mathrm{tg\,} {\varphi}_2 =\frac{X_\mathrm{L}-\frac{1}{2}X_\mathrm{C}}{R}.\tag{2}$$

  Fázový posun mezi napětím a proudem bude kladný, protože napětí předbíhá proud.

   

  Obvod s přepínačem v poloze 2:

  

  Proud přes rezistor nepoteče. Známe proud protékající ampérmetrem. V tomto obvodu můžeme tedy vypočítat velikost celkové impedance Z, která je složena z induktance a kapacitance:

  $$Z=|X_\mathrm{L}-X_\mathrm{C}|=\frac{U_\mathrm{m}}{I}.\tag{3}$$

• Řešení soustavy rovnic

  Z rozkreslených obvodů jsme v předchozím oddíle získali soustavu tří rovnic o třech neznámých. Impedance budeme uvažovat v ohmech a pro přehlednost je nebudeme psát do rovnic.

  Z obvodu s rozpojeným přepínačem:

  $$\frac{X_\mathrm{L}-X_\mathrm{C}}{R}=\mathrm{tg\,} {\varphi}_1 =\mathrm{tg\,} (-20^{\circ}) \,\dot{=}\,-0{,}364.\tag{1}$$

  Z obvodu s polohou přepínače 1:

  $$\frac{X_\mathrm{L}-\frac{1}{2}X_\mathrm{C}}{R}=\mathrm{tg\,} {\varphi}_2 =\mathrm{tg\,} (10^{\circ}) \,\dot{=}\,0{,}18.\tag{2}$$

  Z obvodu s polohou přepínače 2:

  $$|X_\mathrm{L}-X_\mathrm{C}|=\frac{U_\mathrm{m}}{I}=\frac{230}{2} = 115. \tag{3}$$

  Do rovnice (1) dosadíme rovnici (3) a vyjádříme velikost rezistance. Zároveň můžeme „odstranit“ absolutní hodnotu u rozdílu |X_L - X_C|, protože rezistance R je kladná, platí:

  $$X_\mathrm{L}-X_\mathrm{C}=-115.$$

  Dosadíme do rovnice (1):

  $$\frac{X_\mathrm{L}-X_\mathrm{C}}{R}=\mathrm{tg\,} {\varphi}_2$$ $$\frac{-115}{R}\,\dot{=}\,-0{,}364$$ $$R\,\dot{=}\, 316.$$

  Nyní jsme úlohu upravili na řešení dvou rovnic o dvou neznámých. Jsou to upravené rovnice (1) a (2), do kterých jsme dosadili vypočtenou hodnotu rezistance R:

  $$X_\mathrm{L}-X_\mathrm{C}=-115\tag{1}$$

  $$X_\mathrm{L}-\frac{1}{2}X_\mathrm{C}=0{,}18R\,\dot{=}\,56{,}88.\tag{2}$$

  Z první z nich vyjádříme:

  $$X_\mathrm{L}=-115+X_\mathrm{C}$$

  a dosadíme do druhé:

  $$-115+X_\mathrm{C}-\frac{1}{2}X_\mathrm{C}\,\dot{=}\,56{,}88.$$

  Dostaneme:

  $$X_\mathrm{C}\,\dot{=}\,2(56{,}88+115)\,\dot{=}\,344$$ $$X_\mathrm{L}\,\dot{=}\,-115+344\,\dot{=}\,229.$$

   

  ---

  Hodnoty odporu rezistoru, kapacity kondenzátoru a indukčnosti cívky (s jednotkami):

  • Odpor rezistoru: $$R\,\dot{=}\, 316\,\mathrm \Omega$$
  • Kapacita kondenzátoru: $$X_\mathrm{C}=\frac{1}{2 \pi f C}$$ $$C=\frac{1}{2 \pi f X_\mathrm{C}}\,\dot{=}\,\frac{1}{ 2 \pi \cdot 50 {\cdot} 344}\,\mathrm F$$ $$C\,\dot{=}\,9{,}3 \,\mathrm{\mu F}$$
  • Indukčnost cívky: $$X_\mathrm{L}= 2 \pi f L$$ $$L=\frac{X_\mathrm{L}}{2 \pi f}\,\dot{=}\,\frac{229}{2 \pi \cdot 50}\,\mathrm  H$$ $$L\,\dot{=}\,0{,}73\,\mathrm H$$

• Odpověď

  Odpor rezistoru v obvodu je přibližně:  R = 316 Ω.

  Indukčnost cívky v obvodu má hodnotu asi: L = 0,73 H.

  Kapacity kondenzátorů v obvodu mají hodnotu přibližně: C = 9,3 μF.