Gravitační a elektrická síla působící na částice

Úloha číslo: 690

Vypočítejte sílu, kterou se odpuzují dvě α-částice, je-li jejich vzdálenost 10−13 m a srovnejte tuto sílu se silou gravitační. Náboj částice je 3,2·10−19 C a její hmotnost je 6,68·10−27 kg.

  • Nápověda: gravitační a elektrická síla

    Pro velikost elektrické síly platí následující vztah:

    \[F_e\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q_1 Q_2}{r^2}\,,\]

    kde Q1, Q2 jsou velikosti nábojů a r je vzdálenost nábojů, které na sebe působí.

    Pro gravitační sílu platí vztah:

    \[F_g\,=\,\kappa \,\frac{m_1 m_2}{r^2}\,,\]

    kde m1, m2 jsou hmotnosti nábojů, které na sebe působí.

  • Řešení

    Velikost elektrické síly, kterou na sebe působí částice α, vypočítáme z Coulombova zákona:

    \[F_e\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q_1 Q_2}{r^2}\,.\]

    Protože obě částice mají stejný náboj Q, můžeme vzorec zjednodušit:

    \[F_e\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{r^2}\,.\]

    Velikost gravitační síly vypočítáme z Newtonova zákona. Protože částice mají stejnou hmotnost m, vzorec opět zjednodušíme.

    \[F_g\,=\,\kappa \,\frac{m_1 m_2}{r^2}\,=\,\kappa \,\frac{m^2}{r^2}\,.\]

    Vztah pro obě síly dáme do poměru, abychom zjistili, kolikrát je jedna síla větší než druhá.

    \[\frac{F_e}{F_g}\,=\, \frac{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{r^2}}{ \kappa\,\frac{m^2}{r^2}}\]

    Upravíme složený zlomek a zkrátíme.

    \[\frac{F_e}{F_g}\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0\kappa}\,\frac{Q^2r^2}{m^2r^2}\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0\kappa}\,\frac{Q^2}{m^2}\]

    Vidíme, že poměr elektrické a gravitační síly nezávisí na vzdálenosti částic.

  • Zápis a číselný výpočet

    r = 10−13 m

    Q = 3,2·10−19 C

    m = 6,68·10−27 kg

    Fe = ? (N)

    Fg = ? (N)

    Z tabulek:

    ε0 = 8,85·10−12 C2N−1m−2

    κ = 6,67·10−11 m3kg−1s−2


    \[\begin{eqnarray} F_e\,&=&\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{r^2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \cdot 8{,}85{\cdot}10^{-12}}\cdot\frac{\left(3{,}2 {\cdot} 10^{-19}\right)^2}{\left(10^{-13}\right)^2}\,=\,9{,}2{\cdot}10^{-2}\,\mathrm{N}.\\ F_g\,&=&\,\kappa \,\frac{m^2}{r^2}\,=\,6{,}67{\cdot}10^{-11} \cdot\frac{\left(6{,}68 {\cdot} 10^{-27}\right)^2}{\left(10^{-13}\right)^2}\,=\, 3{,}0 {\cdot} 10^{-37}\,\mathrm{N}.\\ \frac{F_e}{F_g} \,&=&\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0\kappa}\,\frac{Q^2}{m^2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \cdot 8{,}85{\cdot}10^{-12}\cdot6{,}67{\cdot}10^{-11}}\cdot\frac{\left(3{,}2 {\cdot} 10^{-19}\right)^2}{\left(6{,}68{\cdot}10^{-27}\right)^2}\\ \frac{F_e}{F_g}\,&=&\,3{\cdot}10^{35} \end{eqnarray}\]

    Elektrická síla je tedy za daných podmínek mnohonásobně větší než síla gravitační.

  • Odpověď

    Čáštice α se odpuzují silou

    \[F_e\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{r^2}\,=\,9{,}2 {\cdot} 10^{-2}\,\mathrm{N}.\]

    Gravitační síla má velikost

    \[F_g\,=\,\kappa \,\frac{m^2}{r^2}\,=\,3{,}0 {\cdot} 10^{-37}\,\mathrm{N}.\]

    Poměr elektrické a gravitační síly je

    \[\frac{F_e}{F_g} \,=\, \frac{\kappa}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{m^2}=\,3{\cdot} 10^{35}.\]

    Elektrická síla je tedy mnohonásobně větší než síla gravitační.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na porovnávání a rozlišování
Zaslat komentář k úloze