Gravitační a elektrická síla působící na částice
Úloha číslo: 690
Vypočítejte sílu, kterou se odpuzují dvě α-částice, je-li jejich vzdálenost 10−13 m a srovnejte tuto sílu se silou gravitační. Náboj částice je 3,2·10−19 C a její hmotnost je 6,68·10−27 kg.
Nápověda: gravitační a elektrická síla
Pro velikost elektrické síly platí následující vztah:
\[F_\mathrm{e}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q_1 Q_2}{r^2}\,,\]kde Q1, Q2 jsou velikosti nábojů a r je vzdálenost nábojů, které na sebe působí.
Pro gravitační sílu platí vztah:
\[F_\mathrm{g}\,=\,\kappa \,\frac{m_1 m_2}{r^2}\,,\]kde m1, m2 jsou hmotnosti nábojů, které na sebe působí.
Řešení
Velikost elektrické síly, kterou na sebe působí částice α, vypočítáme z Coulombova zákona:
\[F_\mathrm{e}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q_1 Q_2}{r^2}\,.\]Protože obě částice mají stejný náboj Q, můžeme vzorec zjednodušit:
\[F_\mathrm{e}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{r^2}\,.\]Velikost gravitační síly vypočítáme z Newtonova zákona. Protože částice mají stejnou hmotnost m, vzorec opět zjednodušíme:
\[F_\mathrm{g}\,=\,\kappa \,\frac{m_1 m_2}{r^2}\,=\,\kappa \,\frac{m^2}{r^2}\,.\]Vztah pro obě síly dáme do poměru, abychom zjistili, kolikrát je jedna síla větší než druhá:
\[\frac{F_\mathrm{e}}{F_\mathrm{g}}\,=\, \frac{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{r^2}}{ \kappa\,\frac{m^2}{r^2}}.\]Upravíme složený zlomek a zkrátíme:
\[\frac{F_\mathrm{e}}{F_\mathrm{g}}\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0\kappa}\,\frac{Q^2r^2}{m^2r^2}\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0\kappa}\,\frac{Q^2}{m^2}.\]Vidíme, že poměr elektrické a gravitační síly nezávisí na vzdálenosti částic.
Zápis a číselný výpočet
r = 10−13 m
Q = 3,2·10−19 C
m = 6,68·10−27 kg
Fe = ? (N)
Fg = ? (N)
Z tabulek:
ε0 = 8,85·10−12 C2N−1m−2
κ = 6,67·10−11 m3kg−1s−2
\[\begin{eqnarray} F_\mathrm{e}\,&=&\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{r^2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \cdot 8{,}85{\cdot}10^{-12}}\cdot\frac{\left(3{,}2 {\cdot} 10^{-19}\right)^2}{\left(10^{-13}\right)^2}\,=\,9{,}2{\cdot}10^{-2}\,\mathrm{N}\\ F_\mathrm{g}\,&=&\,\kappa \,\frac{m^2}{r^2}\,=\,6{,}67{\cdot}10^{-11} \cdot\frac{\left(6{,}68 {\cdot} 10^{-27}\right)^2}{\left(10^{-13}\right)^2}\,=\, 3{,}0 {\cdot} 10^{-37}\,\mathrm{N}\\ \frac{F_\mathrm{e}}{F_\mathrm{g}} \,&=&\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0\kappa}\,\frac{Q^2}{m^2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \cdot 8{,}85{\cdot}10^{-12}\cdot6{,}67{\cdot}10^{-11}}\cdot\frac{\left(3{,}2 {\cdot} 10^{-19}\right)^2}{\left(6{,}68{\cdot}10^{-27}\right)^2}\\ \frac{F_\mathrm{e}}{F_\mathrm{g}}\,&=&\,3{\cdot}10^{35} \end{eqnarray}\]Elektrická síla je tedy za daných podmínek mnohonásobně větší než síla gravitační.
Odpověď
Čáštice α se odpuzují silou
\[F_\mathrm{e}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{r^2}\,=\,9{,}2 {\cdot} 10^{-2}\,\mathrm{N}.\]Gravitační síla má velikost
\[F_\mathrm{g}\,=\,\kappa \,\frac{m^2}{r^2}\,=\,3{,}0 {\cdot} 10^{-37}\,\mathrm{N}.\]Poměr elektrické a gravitační síly je
\[\frac{F_\mathrm{e}}{F_\mathrm{g}} \,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0\,\kappa}\,\frac{Q^2}{m^2}=\,3{\cdot} 10^{35}.\]Elektrická síla je tedy mnohonásobně větší než síla gravitační.
