Pojistka v obvodu se stejnosměrným proudem

Úloha číslo: 721

V obvodu se stejnosměrným napětím je zapojena ideální cívka o indukčnosti 5 H, rezistor s odporem 15 Ω, spínač a ideální pojistka. Hodnota elektromotorického napětí zdroje je 10 V.

Ideální pojistka má nulový odpor do chvíle, kdy proud jí protékající dosáhne hodnoty 3 A. Po dosažení této hodnoty se pojistka přepálí a její odpor bude nekonečný.

schéma zapojení

V čase t = 0 s sepneme spínač S.

a) Za jak dlouho po sepnutí spínače se pojistka přepálí?

b) Určete závislost proudu protékajícího cívkou na čase. Pro zjednodušení výpočtu po přepálení pojistky začněte měřit čas znovu od nuly.

  • Nápověda 1

    V obvodu, ve kterém je zapojen pouze zdroj stejnosměrného napětí a cívka, roste proud neomezeně do té doby, než dojde ke zničení cívky, zdroje, nebo k přepálení vodičů. Z těchto důvodů je v obvodu zapojena pojistka, která se při určité hodnotě proudu přepálí a zabrání zničení obvodu.

  • Nápověda 2

    Uvědomte si, kudy teče v obvodu proud před a po přepálení pojistky.

  • Rozbor

    Než se přepálí pojistka, roste proud v obvodu (jeho růst není ničím omezen). Napětí zdroje musí být podle Lenzova zákona v každém okamžiku stejné jako napětí indukované na cívce. Z tohoto poznatku lze odvodit závislost proudu na čase a poté vyjádřit čas, kdy dojde k přepálení pojistky.

    Dojde-li k přepálení pojistky, začne proud protékat větví s rezistorem. Platí, že součet napětí indukovaného na cívce a napětí zdroje je roven úbytku napětí na rezistoru. Pomocí této skutečnosti sestavíme rovnici pro průběh proudu v obvodu.

  • a) Řešení – doba přepálení pojistky

    Do chvíle, než se přepálí pojistka, je odpor celého obvodu nulový (větví s rezistorem neprotéká žádný proud). Okamžitý proud i tekoucí obvodem postupně roste a v cívce se indukuje napětí UL, které v souladu s Lenzovým zákonem působí proti tomuto růstu. Napětí zdroje Ue musí být podle 2. Kirchhoffova zákona v každém okamžiku stejné jako napětí indukované na cívce. Musí tedy platit:

    \[ U_e = U_L. \]

    Dosadíme za indukované napětí na cívce z Lenzova zákona:

    \[ U_e = L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}. \]

    Z této diferenciální rovnice vyjádříme velikost proudu v závislosti na čase:

    \[ L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}= U_e, \] \[ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}= \frac{U_e}{L}, \] \[ \mathrm{d}i= \frac{U_e}{L} \mathrm{d}t, \] \[ \int{\mathrm{d}i}= \int{\frac{U_e}{L} \mathrm{d}t },\] \[ i= \frac{U_e}{L} t + C, \]

    kde C je integrační konstanta, kterou určíme z poznatku, že v čase t = 0 s je proud nulový:

    \[ i= \frac{U_e}{L} t + C, \] \[ 0=0 + C \qquad\Rightarrow\qquad C = 0. \]

    Velikost proudu v závislosti na čase nabývá tedy tvaru:

    \[ i= \frac{U_e}{L} t. \]

    Až do okamžiku přepálení pojistky tedy proud tekoucí cívkou lineárně roste. Pro čas tp, ve kterém k tomuto přepálení dojde, bude platit:

    \[ I_{max} = \frac{U_e}{L}t_{p},\] \[ t_{p}= \frac{L I_{max}}{U_e}, \]

    kde Imax je hodnota proudu, při které dojde k přepálení pojistky.

  • b) Řešení – závislost proudu protékajícího cívkou na čase

    Závislost proudu tekoucího cívkou na čase je do přepálení pojistky dána vztahem:

    \[ i(t) = \frac{U_e}{L} t.\]

    Tuto závislost jsme odvodili v předchozím oddíle.

    Po přepálení pojistky se situace v obvodě změní. Proud začne protékat rezistorem a jeho velikost se bude zmenšovat. Protože ideální cívka má nulový odpor, bude podle Ohmova zákona v ustáleném stavu protékat obvodem proud o velikosti:

    \[ i = \frac{U_e}{R} = \frac{2}{3}\,\mathrm A, \]

    zatímco v okamžiku přepálení je velikost proudu:

    \[ I_{max}= 3\,\mathrm A.\]

    Řešení této části úlohy je obdobné jako v části a). Napětí, které se bude indukovat v cívce, bude v tomto případě působit proti poklesu proudu. Užitím 2. Kirchhoffova zákona získáváme:

    \[ U_e = Ri(t)+ L \frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}, \]

    kde první člen na pravé straně odpovídá úbytku napětí na rezistoru a druhý člen napětí indukovanému na cívce (díky tomu, že proud klesá, bude jeho derivace záporná a skutečně indukované napětí bude bránit poklesu proudu).

    Výraz upravíme na obvyklý tvar lineární diferenciální rovnice 1. řádu s konstantní pravou stranou:

    \[ L \frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t} + Ri(t) = U_e. \]

    Obecné řešení rovnice tohoto typu můžeme vyjádřit jako součet obecného řešení příslušné diferenciální rovnice bez pravé strany (tzv. homogenní rovnice) a partikulárního řešení.

    Řešením uvedené rovnice zjistíme, že závislost proudu tekoucího cívkou na době, která uplynula od přepálení žárovky, je dána vztahem (podrobný postup je uveden v následujících oddílech):

    \[i(t) = \frac{U_e}{R} + (I_{max} - \frac{U_e}{R}) e^{- \frac{R}{L}t}. \]
  • Zápis a číselné dosazení

    Ue = 10 V elektromotorické napětí zdroje
    L = 5 H indukčnost cívky
    R = 15 Ω odpor rezistoru
    Imax = 3 A maximální hodnota proudu, při které dojde k přepálení pojistky
    tp = ? (s) čas, za který dojde k přepálení pojistky
    i(t) = ? závislost proudu tekoucího cívkou na čase

    Doba, za kterou dojde k přepálení pojistky:

    \[ t_{p}= \frac{L I_{max}}{U_e}= \frac{5 {\cdot} 3}{10}\,\mathrm s = 1{,}5 \,\mathrm s. \]

    Závislost proudu tekoucího cívkou na čase před přepálením pojistky:

    \[ i(t) = \frac{U_e}{L} t = \frac{10}{5} t = 2 t\,\mathrm{A}.\]

    Závislost proudu tekoucího cívkou na čase od přepálení pojistky:

    \[i(t) = \frac{U_e}{R} + (I_{max} - \frac{U_e}{R}) e^{- \frac{R}{L}t} = ( \frac{10}{15} + (3 - \frac{10}{15}) e^{- \frac{15}{3}{t}})\,\mathrm A=(\frac{2}{3} + (3 - \frac{2}{3}) e^{- 3{t}})\,\mathrm A=(\frac{2}{3} + \frac{7}{3} e^{- 3{t}})\,\mathrm A. \]

    Pozn.: Čas dosazujeme do obou vztahů v sekundách.

  • Odpověď

    K přepálení pojistky dojde za 1,5 s. Závislost proudu tekoucího cívkou na čase musíme rozdělit na dva případy – před přepálením pojistky:

    \[ i(t) = 2 t\,\mathrm{A}\]

    a po přepálení pojistky:

    \[i(t) = (\frac{2}{3} + \frac{7}{3} e^{- 3t})\,\mathrm A. \]

    Pozn.: Čas dosazujeme do obou vztahů v sekundách.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze