Sbírka řešených úloh

Napěťový přenos CR obvodu

Úloha číslo: 794

Určete napěťový přenos obvodu CR a proveďte rozbor jeho vlastností.

• Nápověda – napěťový přenos

  Napěťový přenos A vyjadřuje poměr výstupního napětí U₂ ke vstupnímu U₁. Při stálé frekvenci napětí zdroje je napěťový přenos konstantní.

• Nápověda

  Vstupní napětí si můžeme představovat jako „zdroj“ napětí v obvodu. Výstupní napětí potom můžeme brát jako napětí na spotřebiči — rezistoru.

• Rozbor

  Vyjádříme napěťový přenos obvodu jako poměr vstupního a výstupního napětí. Vstupní napětí měříme na celém sériovém zapojení rezistoru a kondenzátoru. Výstupní napětí je napětí pouze na rezistoru. Na závěr budeme diskutovat výsledný tvar v závislosti na velikosti frekvence napětí zdroje.

• Řešení

  Napěťový přenos A je definován jako podíl výstupního U₂ a vstupního napětí U₁ v obvodu:

  \[A=\frac{U_2}{U_1}. \]

  Vstupní napětí U₁ měříme na sériovém zapojení rezistoru a kondenzátoru. Výstupní napětí U₂ měříme na rezistoru. Jelikož se jedná o sériový obvod, proud I protékající danými prvky je stejný. Výraz pro napěťový přenos upravíme:

  \[A=\frac{U_2}{U_1}= \frac{R I}{Z I}=\frac{R }{Z}. \]

  R je zde odpor rezistoru a Z celková impedance obvodu. Do vztahu pro napěťový přenos A dosadíme za impedanci obvodu Z, kterou odvodíme z diagramu pro impedance:

  

  Z diagramu pro celkovou impedanci Z lze psát:

  \[ Z = \sqrt{R^2 + X_\mathrm{C}^2},\]

  kde X_C je kapacitance kondenzátoru. Dosadíme do vztahu pro napěťový přenos A:

  \[A=\frac{R }{Z}=\frac{R }{\sqrt{R^2 + X_\mathrm{C}^2}}.\]

  Vyjádříme kapacitanci kondenzátoru X_C:

  \[A=\frac{R }{\sqrt{R^2 + X_\mathrm{C}^2}}=\frac{R }{\sqrt{R^2 + (\frac{1}{\omega C})^2}} , \]

  kde C je kapacita kondenzátoru a ω úhlová frekvence.

  Pro napěťový přenos pak v souladu s uvedenými fakty dostáváme vztah:

  \[ A = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\omega^2 C^2 R^2 }}}. \]

  Z výsledného vztahu lze odvodit, že obvod CR potlačuje signály nízkých frekvencí, protože čím menší hodnoty úhlová frekvence ω nabývá, tím menší je hodnota napěťového přenosu A, tedy dochází ke ztrátám v obvodu a výstupní napětí U₂ je menší než napětí vstupní U₁.

  Zatímco pro signály vysokých frekvencí platí, že vstupní napětí U₁ je přibližně stejně velké jako napětí výstupní U₂.

• Odpověď

  Napěťový přenos v CR obvodu je dán vztahem:

  \[ A = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\omega^2 C^2 R^2 }}}. \]

  CR obvod potlačuje signály nízkých frekvencí, zatímco signály vysokých frekvencí propouští dobře.