Napěťový přenos CR obvodu

Úloha číslo: 794

Určete napěťový přenos obvodu CR a proveďte rozbor jeho vlastností.

schéma zapojení
  • Nápověda – napěťový přenos

    Napěťový přenos A vyjadřuje poměr výstupního napětí U2 ke vstupnímu U1. Při stálé frekvenci napětí zdroje je napěťový přenos konstantní.

  • Nápověda

    Vstupní napětí si můžeme představovat jako „zdroj“ napětí v obvodu. Výstupní napětí potom můžeme brát jako napětí na spotřebiči – rezistoru.

  • Rozbor

    Vyjádříme napěťový přenos obvodu jako poměr vstupního a výstupního napětí. Vstupní napětí měříme na celém sériovém zapojení rezistoru a kondenzátoru. Výstupní napětí je napětí pouze na rezistoru. Na závěr budeme diskutovat výsledný tvar v závislosti na velikosti frekvence napětí zdroje.

  • Řešení

    Napěťový přenos A je definován jako podíl výstupního U2 a vstupního napětí U1 v obvodu:

    \[A=\frac{U_2}{U_1}. \]

    Vstupní napětí U1 měříme na sériovém zapojení rezistoru a kondenzátoru. Výstupní napětí U2 měříme na rezistoru. Jelikož se jedná o sériový obvod, proud I protékající danými prvky je stejný. Výraz pro napěťový přenos upravíme:

    \[A=\frac{U_2}{U_1}= \frac{R I}{Z I}=\frac{R }{Z}. \]

    kde R je odpor rezistoru a Z celková impedance obvodu. Do vztahu pro napěťový přenos A dosadíme za impedanci obvodu Z, kterou odvodíme z diagramu pro impedance:

    diagram zapojení

    Z diagramu pro celkovou impedanci Z lze psát:

    \[ Z = \sqrt{R^2 + X_C^2},\]

    kde XC je kapacitance kondenzátoru. Dosadíme do vztahu pro napěťový přenos A:

    \[A=\frac{R }{Z}=\frac{R }{\sqrt{R^2 + X_C^2}}.\]

    Vyjádříme kapacitanci kondenzátoru XC:

    \[A=\frac{R }{\sqrt{R^2 + X_C^2}}=\frac{R }{\sqrt{R^2 + (\frac{1}{\omega C})^2}} , \]

    kde C je kapacita kondenzátoru a ω úhlová frekvence.

    Pro napěťový přenos pak v souladu s uvedenými fakty dostáváme vztah:

    \[ A = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\omega^2 C^2 R^2 }}}. \]

    Z výsledného vztahu lze odvodit, že obvod CR potlačuje signály nízkých frekvencí, protože čím menší hodnoty úhlová frekvence ω nabývá, tím menší je hodnota napěťového přenosu A, tedy dochází ke ztrátám v obvodu a výstupní napětí U2 je menší než napětí vstupní U1.

    Zatímco pro signály vysokých frekvencí platí, že vstupní napětí U1 je přibližně stejně velké jako napětí výstupní U2.

  • Odpověď

    Napěťový přenos v CR obvodu je dán vztahem:

    \[ A = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\omega^2 C^2 R^2 }}}. \]

    CR obvod potlačuje signály nízkých frekvencí, zatímco signály vysokých frekvencí propouští dobře.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na analýzu
Zaslat komentář k úloze