Vložení dielektrika do kondenzátoru

Úloha číslo: 771

Dva kondenzátory o stejné kapacitě C jsou připojeny paralelně ke zdroji napětí U. Pak jsou odpojeny od zdroje. Jeden kondenzátor vyplníme dielektrikem.

Určete volný náboj, který přejde z jednoho kondenzátoru na druhý, a napětí na kondenzátorech.

  • Nápověda 1

    Uvědomte si, jaká veličina se změní, jestliže do kondenzátoru vložíme dielektrikum.

    Co platí pro celkový náboj na kondenzátorech, jestliže jsou kondenzátory odpojeny od zdroje.

  • Nápověda 2

    Náboj na každém kondenzátoru můžeme vypočítat pomocí napětí a kapacity.

    Jak zjistíme, kolik náboje se přesunulo z jednoho na druhý, pokud původně měli oba kondenzátory náboj stejný?

  • Rozbor

    Paralelně zapojené kondenzátory se po připojení ke zdroji napětí nabijí na stejné napětí. Protože oba mají stejnou kapacitu, bude na nich také stejný náboj.

    Kondenzátory odpojíme od zdroje. Poté, co vložíme dielektriku do jednoho z kondenzátorů, zvětšíme jeho kapacitu. Pokud by se na něm nezměnil náboj, kleslo by tím na něm napětí.

    Oba kondenzátory jsou ale stále paralelně propojeny, proto na nich musí být stejné napětí. Po vložení dielektrika se tedy náboj začne přesouvat z kondenzátoru s menší kapacitou (bez dielektrika) na kondenzátor s větší kapacitou (s dielektrikem).

    Součet nábojů na obou kondenzátorech zůstává po odpojení zdroje stejný. Na každém z kondenzátorů bude náboj přímo úměrný jeho kapacitě.

  • Řešení: Výpočet napětí

    Oba kondenzátory se po připojení ke zdroji nabijí na napětí U a vytvoří se na nich náboj Q. Po vyplnění dielektrikem se kapacita vyplněného kondenzátoru změní na \(C_1\,=\,\varepsilon_r C\) a napětí U1, jež samozřejmě musí být opět na obou kondenzátorech stejné.

    Pro náboje na jednotlivých kondenzátorech po vyplnění jednoho z nich dielektrikem poté musí platit:

    \[Q_1\,=\,C_1 U_1\,=\,\varepsilon_r C U_1\,,\tag{1}\] \[Q_2\,=\,C U_1\,.\tag{2}\]

    Vzhledem k platnosti zákona zachování náboje musí být součet nábojů na obou kondenzátorech před a po vyplnění jednoho z nich dielektrikem stejný. Můžeme tedy psát:

    \[2Q\,=\,Q_1\,+\,Q_2\]

    Doplníme vztahy pro jednotlivé náboje a vztah upravíme tak, abychom vyjádřili napětí U1.

    \[2CU\,=\,\varepsilon_r C U_1\,+\,C U_1 \hspace{30px}|: C\] \[2U\,=\,U_1 \left(\varepsilon_r \,+\,1\right) \] \[U_1 \,=\,\frac{2U}{\varepsilon_r \,+\,1} \]

    Tímto výpočtem jsme určili napětí na kondenzátorech po vyplnění.

  • Řešení: Výpočet volného náboje

    Náboj, který přešel z jednoho kondenzátoru na druhý, bude roven rozdílu náboje, který je nyní na kondenzátoru, a náboje původního. \[Q_p\,=\,Q_1\,-\,Q\]

    Velikosti nábojů známe z předchozího oddílu.

    \[Q_p\,=\,\varepsilon_r CU_1\,-\,CU\]

    Dosadíme za napětí U1, které jsme již také vyjádřili v předchozí části řešení, a vytkneme společné členy.

    \[Q_p\,=\,\varepsilon_r C\frac{2U}{\varepsilon_r+1}\,-\,CU\] \[Q_p\,=\,\varepsilon_r C\frac{2U}{\varepsilon_r+1}\,-\,CU\] \[Q_p\,=CU \left(\,\frac{2\varepsilon_r}{\varepsilon_r+1}\,-\,1\right)\] \[Q_p\,=\,\frac{C U\left(\varepsilon_r - 1\right)}{\varepsilon_r \,+\,1} \]

    Vypočítali jsme náboj, který přejde z jednoho kondenzátoru na druhý.

  • Odpověď

    Napětí na kondenzátoru bude po vyplnění dielektrikem dáno vztahem

    \[U_1 \,=\,\frac{2U}{\varepsilon_r \,+\,1} \,.\]

    Z jednoho kondenzátoru na druhý přejde náboj

    \[Q_p\,=\,\frac{C U\left(\varepsilon_r - 1\right)}{\varepsilon_r \,+\,1}\,. \]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a
magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
×Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
Zaslat komentář k úloze