Sbírka řešených úloh

Vložení dielektrika do kondenzátoru

Úloha číslo: 771

• Nápověda 1

  Uvědomte si, jaká veličina se změní, jestliže do kondenzátoru vložíme dielektrikum.

  Co platí pro celkový náboj na kondenzátorech, jestliže jsou kondenzátory odpojeny od zdroje.

• Nápověda 2

  Náboj na každém kondenzátoru můžeme vypočítat pomocí napětí a kapacity.

  Jak zjistíme, kolik náboje se přesunulo z jednoho na druhý, pokud původně měly oba kondenzátory stejný náboj?

• Řešení nápovědy 2

  Jak velký náboj přešel na kondenzátor zjistíme, jestliže od nového náboje odečteme původní náboj:

  \[Q_\mathrm{p}\,=\,Q_1\,-\,Q.\]

• Rozbor

  Paralelně zapojené kondenzátory se po připojení ke zdroji napětí nabijí na stejné napětí. Protože oba mají stejnou kapacitu, bude na nich stejný náboj.

  Kondenzátory odpojíme od zdroje. Poté, co vložíme dielektriku do jednoho z kondenzátorů, zvětšíme jeho kapacitu. Pokud by se na něm nezměnil náboj, kleslo by napětí.

  Oba kondenzátory jsou však stále paralelně propojeny, proto na nich musí být stejné napětí. Po vložení dielektrika se tedy náboj začne přesouvat z kondenzátoru s menší kapacitou (bez dielektrika) na kondenzátor s větší kapacitou (s dielektrikem).

  Součet nábojů na obou kondenzátorech zůstává po odpojení zdroje stejný. Na každém z kondenzátorů bude náboj přímo úměrný jeho kapacitě.

• Řešení: Výpočet napětí

  Oba kondenzátory se po připojení ke zdroji nabijí na napětí U a vytvoří se na nich náboj Q. Po vyplnění dielektrikem se kapacita vyplněného kondenzátoru změní na \(C_1\,=\,\varepsilon_r C\); napětí U₁ musí být na obou kondenzátorech stejné.

  Pro náboje na jednotlivých kondenzátorech po vyplnění jednoho z nich dielektrikem poté musí platit:

  \[Q_1\,=\,C_1 U_1\,=\,\varepsilon_r C U_1\,,\tag{1}\] \[Q_2\,=\,C U_1\,.\tag{2}\]

  Vzhledem k platnosti zákona zachování náboje musí být součet nábojů na obou kondenzátorech před a po vyplnění jednoho z nich dielektrikem stejný. Můžeme tedy psát:

  \[2Q\,=\,Q_1\,+\,Q_2.\]

  Doplníme vztahy pro jednotlivé náboje a vztah upravíme tak, abychom vyjádřili napětí U₁:

  \[2CU\,=\,\varepsilon_r C U_1\,+\,C U_1 \hspace{30px}|: C\] \[2U\,=\,U_1 \left(\varepsilon_r \,+\,1\right) \] \[U_1 \,=\,\frac{2U}{\varepsilon_r \,+\,1}. \]

  Tímto výpočtem jsme určili napětí na kondenzátorech po vyplnění.

• Řešení: Výpočet volného náboje

  Náboj, který přešel z jednoho kondenzátoru na druhý, bude roven rozdílu náboje, který je nyní na kondenzátoru, a náboje původního: \[Q_\mathrm{p}\,=\,Q_1\,-\,Q.\]

  Velikosti nábojů známe z předchozího oddílu:

  \[Q_\mathrm{p}\,=\,\varepsilon_\mathrm{r} CU_1\,-\,CU.\]

  Dosadíme za napětí U₁, které jsme již také vyjádřili v předchozí části řešení, a vytkneme společné členy:

  \[Q_\mathrm{p}\,=\,\varepsilon_\mathrm{r} C\frac{2U}{\varepsilon_\mathrm{r}+1}\,-\,CU\] \[Q_\mathrm{p}\,=\,\varepsilon_\mathrm{r} C\frac{2U}{\varepsilon_\mathrm{r}+1}\,-\,CU\] \[Q_\mathrm{p}\,=CU \left(\,\frac{2\varepsilon_r}{\varepsilon_\mathrm{r}+1}\,-\,1\right)\] \[Q_\mathrm{p}\,=\,\frac{C U\left(\varepsilon_\mathrm{r} - 1\right)}{\varepsilon_\mathrm{r} \,+\,1}. \]

  Vypočítali jsme náboj, který přejde z jednoho kondenzátoru na druhý.

• Odpověď

  Napětí na kondenzátoru bude po vyplnění dielektrikem dáno vztahem

  \[U_1 \,=\,\frac{2U}{\varepsilon_\mathrm{r} \,+\,1} \,.\]

  Z jednoho kondenzátoru na druhý přejde náboj

  \[Q_\mathrm{p}\,=\,\frac{C U\left(\varepsilon_\mathrm{r} - 1\right)}{\varepsilon_\mathrm{r} \,+\,1}\,. \]