Volný pád vodivé smyčky v magnetickém poli
Úloha číslo: 254
Smyčka čtvercového tvaru o straně a je vyrobena z hliníkového drátu. Potom je svisle umístěna do homogenního magnetického pole tak, že vektor magnetické indukce je na ní kolmý a spodní strana smyčky právě toto pole opouští.
Jestliže smyčku uvolníme, jakou rychlostí bude padat v tíhovém poli Země? A jak bude padat v případě, kdy předtím smyčku přestřihneme nůžkami?
Neuvažujte přitom „okamžité“ vyrovnání magnetické a tíhové síly, ale poctivě vyřešte pohybovou rovnici. Odpor vzduchu zanedbejte.
Určete, jaké konečné rychlosti rámeček dosáhne a čas, za který dosáhne 90 % této rychlosti. Posuďte, zda je reálné, aby touto dobou ještě byl v magnetickém poli.
Obrázek
Rozbor
Ve chvíli, kdy smyčka postupně opouští jedním okrajem magnetické pole, mění se indukční tok smyčkou, a tím se v ní indukuje napětí. Pokud je navíc smyčka uzavřená, tak se v ní indukuje i proud. Podle Faradayova zákona je indukované napětí, potažmo indukovaný proud, přímo úměrné časové změně indukčního toku a podle Lenzova zákona má indukovaný proud takový směr, aby bránil změně, která jej vyvolala.
Na vodič s proudem v magnetickém poli ovšem působí magnetická síla. Jestliže je smyčka čtvercová, pak na stranu rovnoběžnou s hranou magnetického pole působí síla, která smyčku brzdí, jak vyplývá z verze vztahu pro Lorentzovu sílu pro vodič s proudem, resp. Flemingova pravidla levé ruky. Druhá strana rámečku rovnoběžná s hranou pole je již mimo magnetické pole, na kolmé strany pak působí síly, které se navzájem ruší (opět podle Flemingova pravidla).
Vektorový součet tíhové a magnetické síly tedy vyjadřuje celkovou sílu působící na rámeček. Řešením pohybové rovnice dostaneme závislost rychlosti rámečku na čase. Pro ilustraci pak obecné výsledky aplikujeme na numerické hodnoty jednotlivých veličin, které zvolíme tak, aby odpovídaly reálným podmínkám.
Nápověda 1
Vyjádřete časovou derivaci magnetického indukčního toku smyčkou v závislosti na okamžité poloze a rychlosti smyčky.
Nápověda 2
Změna magnetického indukčního toku smyčkou vyvolá ve smyčce indukovaný proud. Určete ho.
Nápověda 3
Smyčkou protéká indukovaný proud I vyvolaný změnou indukčního toku smyčkou. Proud jsme spočetli v předchozí nápovědě. Určete celkovou sílu, kterou magnetické pole působí na tuto smyčku.
Uvědomte si také, že síly na svislé části se navzájem vyruší a spodní strana čtverce je již mimo magnetické pole. Proto stačí uvažovat pouze sílu působící na horní stranu smyčky.
Nápověda 4
Sestavte pohybovou rovnici pro rámeček.
Určete konečnou rychlost, která je charakterizována vyrovnáním obou působících sil — tíhové a magnetické.
Nápověda 5
Odvodili jsme, že pohybová rovnice pro rámeček má tvar
\[m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = mg - \frac{B^2a^2}{R}v.\]To je diferenciální rovnice pro okamžitou rychlost rámečku. Vyřešte ji např. metodou separace proměnných (a integrací obou stran).
Návod: Rovnici zkraťte hmotností m a položte
\[\alpha = \frac{B^2a^2}{mR}.\]Diferenciální rovnice přejde na tvar
\[\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = g-\alpha v,\] \[\frac{\mathrm{d}v}{g-\alpha v} = \mathrm{d}t.\]Nyní integrujte obě strany a nezapomeňte určit integrační konstantu z počátečních podmínek!
Nápověda 6
Abyste dostali konkrétní číselné výsledky, potřebujete nějaké numerické údaje o úloze. Protože nejsou zadány, musíte si „rozumné“ hodnoty zvolit sami.
Magnetické pole uvažujte pro srovnání třeba o velikosti 100 mT až 1 T. Budete-li při počítání pečliví, zjistíte, že nepotřebujete údaje o rozměrech rámečku a vystačíte s tabulkovými konstantami pro hliník (jeho hustotu a měrný elektrický odpor).
Nápověda 7
Uvažte nyní, že smyčku přestřihneme. Může jí poté téci proud? Jaká tedy bude magnetická síla působící na přestřiženou smyčku?
Řešení – první část
Když smyčka opouští pole, zmenšuje se magnetický indukční tok smyčkou. Jestliže urazila dráhu s (svisle dolů), potom zbývá v magnetickém poli obdélník o ploše a · (a − s) a magnetický indukční tok Φ se mění s časem podle vztahu
\[\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[Ba(a-s)] = -Ba\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = -Bav.\]Tato změna vyvolá elektromotorické napětí Ui v drátu:
\[U_\mathrm{i} = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = Bav\]a toto napětí vyvolá indukovaný proud I = Ui/R.
Na smyčku s proudem v homogenním magnetickém poli začne působit magnetická síla. Síly na svislé části rámečku budou stejně veliké a opačně orientované, vzájemně se tedy vyruší. Spodní strana rámečku již není v magnetickém poli, magnetická síla na ni tedy nepůsobí. Na vrchní stranu rámečku bude působit síla, která podle Lenzova zákona bude bránit změně indukčního toku — bude tedy působit proti tíhové síle. Tato síla Fm bude mít velikost
\[F_\mathrm{m} = BIa = B\frac{U_\mathrm{i}}{R}a = \frac{B^2a^2v}{R}.\]Při cílové rychlosti vt se vyrovná síla tíhová a síla magnetická a bude platit:
\[0 = F_\mathrm{m} - F_\mathrm{G} = \frac{B^2a^2v_\mathrm{t}}{R} - mg,\] \[v_\mathrm{t} = \frac{mgR}{B^2a^2}.\]Pohybová rovnice pro rámeček (kladný směr uvažujme svisle dolů) je
\[m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = mg - \frac{B^2a^2}{R}v,\]odkud dělením hmotností m a položením \(\alpha = \frac{B^2a^2}{mR}\) dostaneme rovnici
\[\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = g-\alpha v\]a následně ji upravíme na tvar
\[\frac{\mathrm{d}v}{g-\alpha v} = \mathrm{d}t.\]Integrací obou stran rovnice získáme vztah
\[-\frac{1}{\alpha}\ln \frac{g-\alpha v}{C} = t,\]kde integrační konstantu C můžeme určit z počátečních podmínek: pro t = 0 víme, že v = 0, a tudíž C = g. Rovnici můžeme upravit na tvar
\[\ln \frac{g-\alpha v}{g} = -\alpha t\]a odlogaritmováním obou stran rovnice dostaneme
\[\frac{g-\alpha v}{g} = e^\mathrm{-\alpha t},\] \[v = \frac{g}{\alpha}\left(1-e^\mathrm{-\alpha t}\right).\]Přitom \(\frac{g}{\alpha} = v_\mathrm{t}\), vztah můžeme tedy psát ve tvaru
\[v = v_\mathrm{t} \left(1-e^\mathrm{-\alpha t}\right).\tag{1}\]Poznámka: O správnosti výsledku nás může přesvědčovat i fakt, že
\[\lim_\mathrm{t\to \infty}\ v(t) = \lim_\mathrm{t\to \infty} \ v_\mathrm{t}(1-e^\mathrm{-\alpha t}) = v_\mathrm{t}.\]Čas, ve kterém rámeček dosáhne 90 % cílové rychlosti, dostaneme řešením rovnice získané dosazením do vztahu (1) za v = 0,9 vt
\[0{,}9v_\mathrm{t} = v_\mathrm{t}(1-e^\mathrm{-\alpha t}),\] \[e^\mathrm{-\alpha t} = 0{,}1,\] \[-\alpha t = \ln\,0{,}1 = -\ln\,10,\] \[t = \frac{\ln\,10}{\alpha} = \frac{mR\,\ln\,10}{B^2a^2}.\]Pokud ovšem smyčku přestřihneme, nemůže smyčkou protékat žádný proud a smyčka bude padat s tíhovým zrychlením.
Řešení – druhá část
Nyní zodpovíme poslední otázku: zda je reálné, aby v čase, kdy dosáhne 90 % výsledné rychlosti, byl ještě rámeček nějakou svojí částí v magnetickém poli.
Uvažujme, že drát, ze kterého je rámeček vyroben, má průřez S. Potom jeho hmotnost je m = 4aS · η, kde η je hustota hliníku. Pro jeho odpor platí R = ρ · 4a/S, kde ρ je měrný odpor hliníku. Dosazením do vztahu pro vt dostaneme, že
\[v_\mathrm{t} = \frac{mgR}{B^2a^2} = \frac{4aS\eta g\varrho 4a}{SB^2a^2} = \frac{16\eta g\varrho}{B^2}.\]Dosazením do vztahu pro t dostaneme:
\[t = \frac{mR\ln 10}{B^2a^2} = \frac{4aS\eta\, 4a\varrho\,\ln 10}{SB^2a^2} = \frac{16\eta\varrho\,\ln 10}{B^2}.\]Pro tabelované hodnoty pro hliník η = 2,7·103 kg/m3 a ρ = 2,8·10-8 Ω m a pro laboratorní pole o velikosti B = 100 mT dostaneme, že vt je přibližně 120 cm/s a čas do získání 90 % rychlosti t je přibližně 0,28 s. V tomto případě je tedy diskutabilní, zda rámeček ještě bude v magnetickém poli, pokud uvažujeme, že rámeček má přibližně decimetrové rozměry. Pro představu — při volném pádu by smyčka za 0,28 s spadla přibližně o 40 cm.
Pokud volíme silnější, ale stále ještě laboratorně dosažitelné pole s velikostí magnetické indukce B = 1 T, dostaneme, že vt je přibližně 1,2 cm/s a čas do získání 90 % rychlosti t je přibližně 2,8 ms — vidíme tedy, že rámeček dosáhne rychlosti blízké vt prakticky ihned a že tato maximální rychlost je „překvapivě“ malá.
Odpověď
Rámeček bude padat rychlostí závislou na čase podle vztahu
\[v = v_\mathrm{t}\left(1-e^\mathrm{-\alpha t}\right),\]kde
\[v_\mathrm{t} = \frac{mgR}{B^2a^2}, \qquad \alpha = \frac{B^2a^2}{mR}.\]Je-li η hustota drátu, z něhož je rámeček vyroben, a ρ jeho měrný odpor, potom
\[v_\mathrm{t} = \frac{16\eta g\varrho}{B^2}.\]Pro čas t, za který rámeček dosáhne 90 % rychlosti, platí:
\[t = \frac{mR\ln 10}{B^2a^2} = \frac{16\eta\varrho\,\ln 10}{B^2}.\]Pro tabelované hodnoty η = 2,7·103 kg/m3 a ρ = 2,8·10-8 Ω m a pro laboratorní pole B = 100 mT dostaneme, že vt je přibližně 120 cm/s a čas t do získání 90 % cílové rychlosti je přibližně 0,28 s.
Pro pole o magnetické indukci B = 1 T vyjde vt přibližně 1,2 cm/s a čas t do získání 90 % cílové rychlosti je přibližně 2,8 ms.
Pokud smyčku přestřihneme, nemůže smyčkou protékat žádný proud a smyčka bude padat s tíhovým zrychlením (při zanedbání odporu vzduchu).
