Cívka v obvodu se střídavým napětím

Úloha číslo: 296

Cívka je připojena na zdroj střídavého napětí s amplitudou 110 V a frekvencí 50 Hz. Celková impedance cívky v tomto obvodu je 4 Ω a induktance 3 Ω.

a) Určete proud tekoucí cívkou a fázový posun mezi proudem a napětím.

b) Jakou kapacitu musí mít kondenzátor zapojený do série s cívkou, aby fázový posun mezi

napětím a proudem byl 30°?

c) Jaké bude v případě b) napětí na cívce a na kondenzátoru?

  • Nápověda

    Cívka v této úloze je reálná, to znamená, že musíme uvažovat jak její indukčnost, tak i elektrický odpor.

    Fázové posuny mezi napětím a proudem lze nejlépe vyjádřit pomocí fázorových diagramů.

    Pro výpočet napětí či proudu využijeme Ohmův zákon pro obvody se střídavými proudy.

  • Rozbor

    Amplitudu proudu, který protéká cívkou, získáme z Ohmova zákona pro obvod se střídavým napětím, protože známe její celkovou impedanci a amplitudu napětí.

    Dále si nakreslíme fázorový diagram, ze kterého určíme velikost fázového posunu. Musíme zohlednit skutečnost, že cívka, která je zařazena v obvodu je reálná (tzn. má jak induktanci, tak rezistanci).

    Pomocí fázorového diagramu určíme i hodnotu kapacitance sériově připojeného kondenzátoru, pomocí kterého můžeme nastavit fázový posun mezi napětím a proudem na zadanou hodnotu.

    Vztahy pro amplitudu napětí na cívce a kondenzátoru při fázovém posunutí mezi napětím a proudem 30° získáme také pomocí předchozího fázorového diagramu pro napětí a z Ohmova zákona pro obvod se střídavým napětím.

  • Zápis

    Ze zadání známe:

    U = 110 V napětí zdroje
    f = 50 Hz frekvence napětí zdroje
    ZL = 4 Ω celková impedance cívky
    XL = 3 Ω induktance cívky
    θ = 30°  fázový posun mezi napětím a proudem pro řešení b) a c)

    Chceme určit:

    a) φ = ? fázové posunutí φ
        Iφ = ? amplituda proudu při fázovém posunutí φ
    b) C = ? kapacita sériově připojeného kondenzátoru
    c) URL = ? napětí na cívce
        UC = ? napětí na kondenzátoru
  • a) Řešení – proud tekoucí cívkou a fázové posunutí

    Proud Iφ, který protéká cívkou, vypočteme pomocí Ohmova zákona pro obvod se střídavým proudem:

    \[I_{\varphi} = \frac{U}{Z_L},\]

    kde U je maximální hodnota napětí a ZL je celková impedance cívky.

    Velikost fázového posunu získáme například z diagramu pro impedance:

    fázorový diagram

    Z diagramu vyjádříme sinus fázového posunutí φ :

    \[\sin {\varphi} = \frac{X_L}{Z_L},\]

    kde XL je induktance cívky a ZL je její impedance.


    U = 110 V napětí zdroje
    ZL = 4 Ω celková impedance cívky
    XL = 3 Ω induktance cívky
    φ = ? fázové posunutí
    Iφ = ? amplituda proudu při fázovém posunutí φ

    \[I_{\varphi} = \frac{U}{Z_L}=\frac{110}{4}\,\mathrm A\dot=28\,\mathrm A\] \[\sin {\varphi} = \frac{X_L}{Z_L}=\frac{3}{4}=0{,}75\]

    Fázový posun φ má tedy hodnotu:

    \[\varphi \dot{=} 49^{\circ}\]
  • b) Řešení – kapacita kondenzátoru při daném fázovém posunutí mezi napětím a proudem

    Nakreslíme si fázorový diagram pro sériové zapojení cívky (složené z induktance a rezistance) a kondenzátoru.

    fázorový diagram

    Z tohoto diagramu odvodíme vztah pro tangens fázového posunutí θ mezi napětím a proudem:

    \[\mathrm{tg}\, \theta =\frac{U_L-U_C}{U_R}=\frac{X_L I-X_C I}{R I}= \frac{X_L-X_C}{R},\]

    kde R ve jmenovateli zlomku je rezistance cívky.

    Rezistanci cívky R vypočteme ze vztahu pro výpočet celkové impedance cívky ZL:

    \[Z_L=\sqrt{R^2+X_L^2},\]

    odkud vyjádříme rezistanci cívky R:

    \[R=\sqrt{Z_L^2-X_L^2}.\]

    Dosadíme za rezistanci cívky R do výpočtu pro fázový posun θ mezi napětím a proudem:

    \[\mathrm{tg}\, \theta = \frac{X_L-X_C}{R}=\frac{X_L-X_C}{\sqrt{Z_L^2-X_L^2}}.\]

    Nakonec vyjádříme kapacitanci kondenzátoru XC:

    \[X_C=X_L - \mathrm{tg}\, \theta\, \sqrt{Z_L^2-X_L^2},\]

    z ní určíme kapacitu kondenzátoru C:

    \[ X_C = \frac{1}{\omega C}\] \[ \omega C=\frac{1}{X_L - \mathrm{tg}\, \theta \,\sqrt{Z_L^2-X_L^2}}\] \[ C=\frac{1}{\omega (X_L - \mathrm{tg}\, \theta\, \sqrt{Z_L^2-X_L^2})}\] \[C=\frac{1}{2 \pi f (X_L - \mathrm{tg}\, \theta \,\sqrt{Z_L^2-X_L^2})}.\]
    ZL = 4 Ω   impedance cívky
    XL = 3 Ω  induktance cívky
    θ = 30°  fázový posun mezi napětím a proudem
    f = 50 Hz frekvence napětí zdroje
    C = ? kapacita sériově připojeného kondenzátoru

    \[C=\frac{1}{2 \pi\cdot 50 \cdot (3- \mathrm{tg}\, 30^\circ \cdot \sqrt{4^2-3^2})}\,\mathrm F \dot=2{,}16{\cdot} 10^{-3}\,\mathrm F\dot=2{,}2\,\mathrm mF \]
  • c) Řešení – napětí na cívce a kondenzátoru za podmínek v řešení oddílu b)

    Pro výpočet napětí na cívce URL a na kondenzátoru UC potřebujeme znát amplitudu celkového proudu I tekoucího obvodem.

    K výpočtu použijeme fázorový diagram pro napětí.

    fázorový diagram

    Známe amplitudu celkového napětí U a fázový posun θ mezi napětím a proudem.

    Pro amplitudu napětí UR platí:

    \[U_R = U\,\cos {\theta}. \]

    Cívka i kondenzátor jsou zapojeny sériově, takže jimi protéká stejný proud s amplitudou I, pro kterou platí:

    \[I = \frac{U_R}{R} =\frac{U \cos {\theta}}{\sqrt{Z_L^2 - X_L^2}}.\]

    Amplitudu napětí na cívce URL získáme pomocí Ohmova zákona pro obvod se střídavým a proudem

    \[U_{RL} = Z_{L} I,\]

    kde ZL je celková impedance cívky a I je amplituda proudu v obvodu

    \[U_{RL} = Z_{L} \frac{U \cos {\theta}}{\sqrt{Z_L^2 - X_L^2}}.\]

    Amplitudu napětí na kondenzátoru UC spočítáme analogicky:

    \[U_C = X_C I = X_C \frac{U \cos {\theta}}{\sqrt{Z_L^2 - X_L^2}}=\frac{U \cos {\theta}}{2 \pi f C \sqrt{Z_L^2 - X_L^2}}.\]
    U = 110 V napětí zdroje
    f = 50 Hz frekvence napětí zdroje
    θ = 30° fázový posun mezi napětím a proudem
    ZL = 4 Ω impedance cívky
    XL = 3 Ω induktance cívky
    C = 2,16·10-3 F    kapacita kondenzátoru (z předchozího oddílu řešení)
    URL = ? napětí na cívce
    UC = ? napětí na kondenzátoru

    \[U_{RL} = Z_L \frac{ U \cos {\theta} }{\sqrt{ Z_L^2 - X_L^2}}= 110 \cdot \cos{30^\circ} \frac{4 }{\sqrt{4^2 - 3^2}}\dot=144\,\mathrm V\] \[U_C = \frac{U \cos {\theta}}{2 \pi f C \sqrt{Z_L^2 - X_L^2}}=\frac{110 \cdot \cos{30^\circ}}{2 \cdot \pi \cdot 50 {\cdot} 2{,}16{\cdot} 10^{-3} \cdot \sqrt{4^2 - 3^2}}\dot=53\,\mathrm V\]
  • Odpověď

    Amplituda proudu tekoucího cívkou v původním zapojení má hodnotu asi 28 A, fázový posun mezi napětím a proudem je přibližně 49°.

    Chceme-li nastavit hodnotu fázového posunu mezi napětím a proudem na 30° pomocí sériového připojení kondenzátoru, musí mít tento kondenzátor kapacitu přibližně 2,2 mF. Amplituda napětí na kondenzátoru je potom asi 53 V a na cívce přibližně 144 V.

  • Poznámka – Jiný způsob řešení části c)

    K výpočtu použijeme fázorový diagram pro napětí.

    fázorový diagram

    Známe amplitudu celkového napětí U a fázový posun θ mezi napětím a proudem.

    Pro amplitudu napětí UR platí:

    \[U_R = U\,\cos {\theta}. \]

    Cívka i kondenzátor jsou zapojeny sériově, takže jimi protéká stejný proud s amplitudou I, pro kterou platí:

    \[I = \frac{U_R}{R} =\frac{U \cos {\theta}}{\sqrt{Z_L^2 - X_L^2}}.\]

    Amplituda napětí na cívce URL se rovná součtu fázorů amplitud napětí UR a UL.

    fázorový diagram

    Tedy platí:

    \[U_{RL} = \sqrt{ U_L^2 + U_R^2}.\]

    Amplitudu napětí na induktanci UL vyjádříme pomocí Ohmova zákona UL = XLI a napětí UR jsme již vyjádřili výše. Oba vztahy dosadíme:

    \[U_{RL}=\sqrt{ (X_L I)^2 + ( U \cos {\theta} )^2},\]

    dále dosadíme za proud I:

    \[U_{RL}= \sqrt{ (X_L \frac{U \cos {\theta}}{\sqrt{Z_L^2 - X_L^2}})^2 + ( U \cos {\theta} )^2}.\]

    Nyní upravíme:

    \[U_{RL}= U \cos {\theta} \sqrt{ \frac{{X_L}^2}{Z_L^2 - X_L^2} + 1}=U \cos {\theta} \sqrt{ \frac{{X_L}^2+Z_L^2 - X_L^2}{Z_L^2 - X_L^2} }= U \cos {\theta} \frac{Z_L }{\sqrt{Z_L^2 - X_L^2} }.\]

    Amplitudu napětí na kondenzátoru UC spočítáme také pomocí proudu I obvodem:

    \[U_C = X_C I = \frac{I}{2 \pi f C}= \frac{\frac{U \cos {\theta}}{\sqrt{Z_L^2 - X_L^2}}}{2 \pi f C}=\frac{U \cos {\theta}}{2 \pi f C \sqrt{Z_L^2 - X_L^2}}.\]

    Vztahy, které jsme získali pomocí tohoto odvození jsou stejné jako vztahy v oddíle řešení c).

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze