Cívka v obvodu se střídavým napětím
Úloha číslo: 296
Cívka je připojena na zdroj střídavého napětí s amplitudou 110 V a frekvencí 50 Hz. Celková impedance cívky v tomto obvodu je 4 Ω a induktance 3 Ω.
a) Určete proud tekoucí cívkou a fázový posun mezi proudem a napětím.
b) Jakou kapacitu musí mít kondenzátor zapojený do série s cívkou, aby fázový posun mezi
c) Jaké bude v případě b) napětí na cívce a na kondenzátoru?
Nápověda
Cívka v této úloze je reálná, to znamená, že musíme uvažovat jak její indukčnost, tak i elektrický odpor.
Fázové posuny mezi napětím a proudem lze nejlépe vyjádřit pomocí fázorových diagramů.
Pro výpočet napětí či proudu využijeme Ohmův zákon pro obvody se střídavými proudy.
Rozbor
Amplitudu proudu, který protéká cívkou, získáme z Ohmova zákona pro obvod se střídavým napětím, protože známe její celkovou impedanci a amplitudu napětí.
Dále si nakreslíme fázorový diagram, ze kterého určíme velikost fázového posunu. Musíme zohlednit skutečnost, že cívka, která je zařazena v obvodu, je reálná (tzn. má jak induktanci, tak rezistanci).
Pomocí fázorového diagramu určíme i hodnotu kapacitance sériově připojeného kondenzátoru, pomocí kterého můžeme nastavit fázový posun mezi napětím a proudem na zadanou hodnotu.
Vztahy pro amplitudu napětí na cívce a kondenzátoru při fázovém posunutí mezi napětím a proudem 30° získáme také pomocí předchozího fázorového diagramu pro napětí a z Ohmova zákona pro obvod se střídavým napětím.
Zápis
Ze zadání známe:
U = 110 V napětí zdroje f = 50 Hz frekvence napětí zdroje ZL = 4 Ω celková impedance cívky XL = 3 Ω induktance cívky θ = 30° fázový posun mezi napětím a proudem pro řešení b) a c) Chceme určit:
a) φ = ? fázové posunutí φ Iφ = ? amplituda proudu při fázovém posunutí φ b) C = ? kapacita sériově připojeného kondenzátoru c) URL = ? napětí na cívce UC = ? napětí na kondenzátoru a) Řešení – proud tekoucí cívkou a fázové posunutí
Proud Iφ, který protéká cívkou, vypočteme pomocí Ohmova zákona pro obvod se střídavým proudem:
\[I_{\varphi} = \frac{U}{Z_\mathrm{L}},\]kde U je maximální hodnota napětí a ZL je celková impedance cívky.
Velikost fázového posunu získáme například z diagramu pro impedance:
reseni.page.tagged.png "fázorový diagram")
Z diagramu vyjádříme sinus fázového posunutí φ :
\[\sin {\varphi} = \frac{X_\mathrm{L}}{Z_\mathrm{L}},\]kde XL je induktance cívky a ZL je její impedance.
U = 110 V napětí zdroje ZL = 4 Ω celková impedance cívky XL = 3 Ω induktance cívky φ = ? fázové posunutí Iφ = ? amplituda proudu při fázovém posunutí φ
\[I_{\varphi} = \frac{U}{Z_\mathrm{L}}=\frac{110}{4}\,\mathrm A\dot=28\,\mathrm A\] \[\sin {\varphi} = \frac{X_\mathrm{L}}{Z_\mathrm{L}}=\frac{3}{4}=0{,}75\]Fázový posun φ má tedy hodnotu
\[\varphi \dot{=} 49^{\circ}.\]b) Řešení – kapacita kondenzátoru při daném fázovém posunutí mezi napětím a proudem
Nakreslíme si fázorový diagram pro sériové zapojení cívky (složené z induktance a rezistance) a kondenzátoru.
reseni.page.tagged.png "fázorový diagram")
Z tohoto diagramu odvodíme vztah pro tangens fázového posunutí θ mezi napětím a proudem:
\[\mathrm{tg}\, \theta =\frac{U_\mathrm{L}-U_\mathrm{C}}{U_\mathrm{L}}=\frac{X_\mathrm{L} I-X_\mathrm{C} I}{R I}= \frac{X_\mathrm{L}-X_\mathrm{C}}{R},\]kde R ve jmenovateli zlomku je rezistance cívky.
Rezistanci cívky R vypočteme ze vztahu pro výpočet celkové impedance cívky ZL:
\[Z_\mathrm{L}=\sqrt{R^2+X_\mathrm{L}^2},\]odkud vyjádříme rezistanci cívky R:
\[R=\sqrt{Z_\mathrm{L}^2-X_\mathrm{L}^2}.\]Dosadíme za rezistanci cívky R do výpočtu pro fázový posun θ mezi napětím a proudem:
\[\mathrm{tg}\, \theta = \frac{X_\mathrm{L}-X_\mathrm{C}}{R}=\frac{X_\mathrm{L}-X_\mathrm{C}}{\sqrt{Z_\mathrm{L}^2-X_\mathrm{L}^2}}.\]Nakonec vyjádříme kapacitanci kondenzátoru XC:
\[X_\mathrm{C}=X_\mathrm{L} - \mathrm{tg}\, \theta\, \sqrt{Z_\mathrm{L}^2-X_\mathrm{L}^2},\]z ní určíme kapacitu kondenzátoru C:
\[ X_\mathrm{C} = \frac{1}{\omega C}\] \[ \omega C=\frac{1}{X_\mathrm{L} - \mathrm{tg}\, \theta \,\sqrt{Z_\mathrm{L}^2-X_\mathrm{L}^2}}\] \[ C=\frac{1}{\omega (X_\mathrm{L} - \mathrm{tg}\, \theta\, \sqrt{Z_\mathrm{L}^2-X_\mathrm{L}^2})}\] \[C=\frac{1}{2 \pi f (X_\mathrm{L} - \mathrm{tg}\, \theta \,\sqrt{Z_\mathrm{L}^2-X_\mathrm{L}^2})}.\]
ZL = 4 Ω impedance cívky XL = 3 Ω induktance cívky θ = 30° fázový posun mezi napětím a proudem f = 50 Hz frekvence napětí zdroje C = ? kapacita sériově připojeného kondenzátoru
\[C=\frac{1}{2 \pi\cdot 50 \cdot (3- \mathrm{tg}\, 30^\circ \cdot \sqrt{4^2-3^2})}\,\mathrm F \dot=2{,}16{\cdot} 10^{-3}\,\mathrm F\dot=2{,}2\,\mathrm mF \]c) Řešení – napětí na cívce a kondenzátoru za podmínek v řešení oddílu b)
Pro výpočet napětí na cívce URL a na kondenzátoru UC potřebujeme znát amplitudu celkového proudu I tekoucího obvodem.
K výpočtu použijeme fázorový diagram pro napětí.
reseni1.page.tagged.png "fázorový diagram")
Známe amplitudu celkového napětí U a fázový posun θ mezi napětím a proudem.
Pro amplitudu napětí UR platí
\[U_\mathrm{R} = U\,\cos {\theta}. \]Cívka i kondenzátor jsou zapojeny sériově, takže jimi protéká stejný proud s amplitudou I, pro kterou platí:
\[I = \frac{U_\mathrm{R}}{R} =\frac{U \cos {\theta}}{\sqrt{Z_\mathrm{L}^2 - X_\mathrm{L}^2}}.\]Amplitudu napětí na cívce URL získáme pomocí Ohmova zákona pro obvod se střídavým proudem
\[U_\mathrm{RL} = Z_\mathrm{L} I,\]kde ZL je celková impedance cívky a I je amplituda proudu v obvodu. Upravíme:
\[U_\mathrm{RL} = Z_\mathrm{L} \frac{U \cos {\theta}}{\sqrt{Z_\mathrm{L}^2 - X_\mathrm{L}^2}}.\]Amplitudu napětí na kondenzátoru UC spočítáme analogicky:
\[U_\mathrm{C} = X_\mathrm{C} I = X_\mathrm{C} \frac{U \cos {\theta}}{\sqrt{Z_\mathrm{L}^2 - X_\mathrm{L}^2}}=\frac{U \cos {\theta}}{2 \pi f C \sqrt{Z_\mathrm{L}^2 - X_\mathrm{L}^2}}.\]
U = 110 V napětí zdroje f = 50 Hz frekvence napětí zdroje θ = 30° fázový posun mezi napětím a proudem ZL = 4 Ω impedance cívky XL = 3 Ω induktance cívky C = 2,16·10-3 F kapacita kondenzátoru (z předchozího oddílu řešení) URL = ? napětí na cívce UC = ? napětí na kondenzátoru
\[U_\mathrm{RL} = Z_\mathrm{L} \frac{ U \cos {\theta} }{\sqrt{ Z_\mathrm{L}^2 - X_\mathrm{L}^2}}= 110 \cdot \cos{30^\circ} \frac{4 }{\sqrt{4^2 - 3^2}}\dot=144\,\mathrm V\] \[U_\mathrm{C} = \frac{U \cos {\theta}}{2 \pi f C \sqrt{Z_\mathrm{L}^2 - X_\mathrm{L}^2}}=\frac{110 \cdot \cos{30^\circ}}{2 \cdot \pi \cdot 50 {\cdot} 2{,}16{\cdot} 10^{-3} \cdot \sqrt{4^2 - 3^2}}\dot=53\,\mathrm V\]Odpověď
Amplituda proudu tekoucího cívkou v původním zapojení má hodnotu asi 28 A, fázový posun mezi napětím a proudem je přibližně 49°.
Chceme-li nastavit hodnotu fázového posunu mezi napětím a proudem na 30° pomocí sériového připojení kondenzátoru, musí mít tento kondenzátor kapacitu přibližně 2,2 mF. Amplituda napětí na kondenzátoru je potom asi 53 V a na cívce přibližně 144 V.
Poznámka – Jiný způsob řešení části c)
K výpočtu použijeme fázorový diagram pro napětí.
Známe amplitudu celkového napětí U a fázový posun θ mezi napětím a proudem.
Pro amplitudu napětí UR platí
\[U_\mathrm{R} = U\,\cos {\theta}. \]Cívka i kondenzátor jsou zapojeny sériově, takže jimi protéká stejný proud s amplitudou I, pro kterou platí
\[I = \frac{U_\mathrm{R}}{R} =\frac{U \cos {\theta}}{\sqrt{Z_\mathrm{L}^2 - X_\mathrm{L}^2}}.\]Amplituda napětí na cívce URL se rovná součtu fázorů amplitud napětí UR a UL.
reseni2.page.tagged.png "fázorový diagram")
Tedy platí:
\[U_\mathrm{RL} = \sqrt{ U_\mathrm{L}^2 + U_\mathrm{R}^2}.\]Amplitudu napětí na induktanci UL vyjádříme pomocí Ohmova zákona UL = XLI a napětí UR jsme již vyjádřili výše. Oba vztahy dosadíme:
\[U_\mathrm{RL}=\sqrt{ (X_\mathrm{L} I)^2 + ( U \cos {\theta} )^2}.\]Dále dosadíme za proud I:
\[U_\mathrm{RL}= \sqrt{ (X_\mathrm{L} \frac{U \cos {\theta}}{\sqrt{Z_\mathrm{L}^2 - X_\mathrm{L}^2}})^2 + ( U \cos {\theta} )^2}.\]Nyní upravíme:
\[U_\mathrm{RL}= U \cos {\theta} \sqrt{ \frac{{X_\mathrm{L}}^2}{Z_\mathrm{L}^2 - X_\mathrm{L}^2} + 1}=U \cos {\theta} \sqrt{ \frac{{X_\mathrm{L}}^2+Z_\mathrm{L}^2 - X_\mathrm{L}^2}{Z_\mathrm{L}^2 - X_\mathrm{L}^2} }= U \cos {\theta} \frac{Z_\mathrm{L} }{\sqrt{Z_\mathrm{L}^2 - X_\mathrm{L}^2} }.\]Amplitudu napětí na kondenzátoru UC spočítáme také pomocí proudu I obvodem:
\[U_\mathrm{C} = X_\mathrm{C} I = \frac{I}{2 \pi f C}= \frac{\frac{U \cos {\theta}}{\sqrt{Z_\mathrm{L}^2 - X_\mathrm{L}^2}}}{2 \pi f C}=\frac{U \cos {\theta}}{2 \pi f C \sqrt{Z_\mathrm{L}^2 - X_\mathrm{L}^2}}.\]Vztahy, které jsme získali pomocí tohoto odvození, jsou stejné jako vztahy v oddíle řešení c).
