Tři rovnoběžné vodiče s proudem

Úloha číslo: 52

Tři dlouhé přímé vodiče a, b, c protínající kolmo nákresnu v bodech A, B, C a jsou ve vzájemné vzdálenosti 10 cm. Prochází jimi stejný proud 100 A. Směry proudů ve vodičích jsou naznačeny na obrázku. Určete velikost síly, která působí na část každého vodiče o délce 1 m.

3 rovnoběžné vodiče s proudem
  • Nápověda

    Rozmyslete si, kdy se dva vodiče s proudem přitahují a kdy odpuzují. Nakreslete si síly, kterými na sebe vodiče vzájemně působí.

  • Rozbor

    Dva rovnoběžné vodiče, jimiž protéká elektrický proud, na sebe navzájem silově působí.

    Vodiče se souhlasně orientovanými proudy se přitahují, vodiče s opačně orientovanými proudy se odpuzují.

    Jelikož všemi vodiči prochází stejně velký proud a vzájemná vzdálenost vodičů je také stejná, působí na sebe libovolné dva vodiče silou o stejné velikosti.

    Tuto sílu, zjistíme ve dvou krocích:

    (1) určíme velikost magnetické indukce B, kterou vytváří druhý vodič v místě prvního vodiče

    (2) určíme sílu, kterou působí pole o indukci B na první vodič.

    Výsledná síla působící na vodič se rovná vektorovému součtu obou sil, kterými na tento vodič působí zbývající dva vodiče.

  • Obrázek

    3 rovnoběžné vodiče s proudem
  • Řešení

    Ve vzdálenosti d od vodiče A vzniká magnetické pole o magnetické indukci

    \[B_{\mathrm{A}}= \mu_o \frac {I_{\mathrm{A}}}{2\pi d}\]

    V tomto poli se nachází vodič B kolmý na magnetickou indukci BA. Působí na něj magnetická síla FAB

    \[F_{\mathrm{AB}}=B_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}}l\]

    Vodič A tedy působí na vodič B silou

    \[F_{\mathrm{A}} = \mu_o \frac {I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} l}{2 \pi d}\]

    Stejně velikou silou působí vodič B na vodič A (3. Newtonův zákon).

    Jelikož jsou proudy procházející vodiči i vzájemné vzdálenosti vodičů stejné, působí na sebe vodiče silami o stejné velikosti. Velikost síly označíme F

    \[F=\frac{\mu_o}{2\pi}\frac{I^{2}}{d} l\]

    Směry, ve kterých síly působí, jsou zakresleny na obrázku. Z něj vidíme, že trojúhelníky ADE a BFG jsou rovnostranné, pro velikost sil F1 a F2 vyplývá

    \[F_{\mathrm{A}}=F_{\mathrm{B}}=F\]

    Po dosazení vztahu pro sílu F získáme

    \[F_{\mathrm{A}}=F_{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I^{2}}{d} l\]

    Vztah pro velikost síly F3 dostaneme z trojúhelníku CHI

    \[F_{\mathrm{C}}=2 F\,\cos\,30^{\mathrm{\circ}}=2F\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}F\]

    Po dosazení vztahu pro sílu F

    \[F_{\mathrm{C}}=\frac{\sqrt{3}\mu_0}{2\pi}\frac{I^2}{d} l\]
  • Zápis a číselné dosazení

    \(d=10 \,\mathrm{cm} = 0{,}10\,\mathrm{m}\) vzdálenost vodičů
    \(I_{\mathrm{A}} = I_{\mathrm{B}} = I_{\mathrm{C}} =100\,\mathrm{A}\) prod tekoucí vodiči
    \(l=1\,\mathrm{m}\) délka vodičů
    \(F_{\mathrm{A}} = ?\,\mathrm{(N)}\) síla působící na vodič A
    \(F_{\mathrm{B}} = ?\,\mathrm{(N)}\) síla působící na vodič B
    \(F_{\mathrm{C}} = ?\,\mathrm{(N)}\) síla působící na vodič C
    Z tabulek:
    \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{NA^{-2}} \) permeabilita vakua

    \[F_{\mathrm{A}}=F_{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I^2}{d} l=\frac{4\pi\cdot 10^{-7}}{2\pi}\,\frac{100^2}{0{,}1} 1\,\mathrm{N}=0{,}02\,\mathrm{N}=20\,\mathrm{mN}\] \[F_{\mathrm{C}}=\frac{\sqrt{3}\mu_0}{2\pi}\frac{I^2}{d} l=\frac{\sqrt{3}4\pi 10^{-7}}{2\pi}\,\frac{100^2}{0{,}1} 1\,\mathrm{N}\,\dot{=}\, 0{,}0346\,\mathrm{N} \,\dot{=}\, 35\,\mathrm{mN}\]
  • Odpověď

    Na rovnoběžné vodiče s proudem působí síly o velikostech F1 = 20 mN, F2 = 20 mN a F3 =35 mN.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze