Elektron v urychlovači

Úloha číslo: 58

Elektrony s kinetickou energií Ek vylétají z urychlovače. Ve vzdálenosti r od urychlovače se nachází kovová destička umístěná kolmo ke svazku vylétávajících elektronů (viz obrázek). Dokažte, že můžeme zabránit tomu, aby svazek dopadl na destičku, jestliže ho odchýlíme magnetickým polem \(\vec{B}\) o velikosti

\[B=\sqrt{\frac{2mE_k}{e^{2}r^{2}}},\]

kde m a e jsou hmotnost a velikost náboje elektronu. Jak musí být vektor magnetické indukce orientován?

elektrony vylétávající z trubice
Určete velikost magnetické indukce, jestliže mají elektrony energii 5 keV a vzdálenost konce urychlovače od kovové destičky je 5 mm.
  • Nápověda

    Paprsek elektronů odchýlí magnetická síla, která je kolmá na směr pohybu, a působí tedy jako síla dostředivá.

  • Rozbor

    Bez přítomnosti magnetického pole se budou elektrony vylétavající z urychlovače dále pohybovat rovnoměrně přímočaře a narážet na kovovou destičku. Chceme-li zabránit dopadu paprsků na destičku, musíme elektrony vychýlit z jejich původního směru.

    Paprsek elektronů vychýlíme tak, že ho necháme procházet magnetickým polem. Když se nabité částice (proud částic) pohybují v magnetickém poli, působí na ně magnetická síla. Ta je kolmá na směr pohybu, působí tedy jako síla dostředivá a zakřivuje trajektorii částic. Částice se budou v magnetickém poli pohybovat po kružnici.

    Velikost magnetické indukce vyjádříme ze vztahu pro magnetickou a dostředivou sílu a porovnáme se zadaným vztahem.

    Při určování směru magnetické indukce využijeme tohoto poznatku: Jestliže je vektor rychlosti kolmý na vektor magnetické indukce, potom působící síla na částici je maximální a její vektor je kolmý na vektor magnetické indukce. V naší úloze z tohoto poznatku vyplývá, že vektor magnetické indukce bude kolmý k rovině obrázku (viz obrázek v dalším oddíle). Nyní stačí určit, zda bude orientován před nebo za obrázek. To určíme pomocí Flemingova pravidla levé ruky, nebo pomocí pravidla pravotočivého šroubu.

  • Řešení

    Uvažujme, že v magnetickém poli o magnetické indukci \(\vec{B}\) se pohybuje částice s nábojem e rychlostí o velikosti v. Je výhodné, aby vektor rychlosti byl kolmý na vektor magnetické indukce, potom působí na částici maximální magnetická síla \(\vec{F}_m\) a pro její velikost platí

    \[F_m = evB.\]

    Magnetická síla \(\vec{F}_m\) působí kolmo na směr pohybu, působí tedy jako síla dostředivá. Díky tomu se částice v tomto magnetickém poli pohybuje po kružnici. Pro velikost dostředivé síly platí vztah

    \[F_d=m\frac{v^2}{r}.\]

    Obě vyjádřené síly porovnáme

    \[F_m=F_d,\] \[evB=\frac{mv^2}{r}\]

    a vyjádříme velikost magnetické indukce B

    \[B=\frac{mv}{re}.\]

    Jelikož neznáme velikost rychlosti elektronů v, určíme ji ze zadané kinetické energie Ek

    \[E_k=\frac{1}{2} mv^2\hspace{15px}\Rightarrow \hspace{15px} v=\sqrt{\frac{2E_k}{m}}.\]

    A dosadíme do vzorce pro velikost magnetické indukce B

    \[B=\frac{m}{re}\sqrt{\frac{2E_k}{m}}.\]

    Upravíme a dostaneme výraz, který se shoduje s výrazem v zadání

    \[B=\sqrt{\frac{2mE_k}{r^2e^2}}.\]
  • Určování směru magnetické indukce B

    Orientaci vektoru magnetické indukce můžeme určit pomocí:

    1) Flemingova pravidla levé ruky

    Položíme-li k vodiči levou ruku tak, aby natažené prsty ukazovaly směr proudu a magnetické indukční čáry (respektive vektor \(\vec{B}\)) vstupovaly do dlaně, ukazuje odtažený palec směr a orientaci vektoru magnetické síly \(\vec{F}_m\), která působí na vodič.

    Flamingovo pravidlo levé ruky

    Směr proudu ve vodiči je směr pohybu kladných částic. V našem příkladě jde o proud elektronů, tedy záporných částic. Proto budeme prsty levé ruky orientovat proti směru pohybu paprsku elektronů. Podle obrázku v zadání jsou elektrony vychylovány směrem nahoru, tím směrem působí i magnetická síla. Vektor magnetické indukce musí tedy mířit před obrázek.

    elektrony vylétávající z trubice

    2) Pravidlo pravotočivého šroubu

    Otáčíme-li pravotočivým šroubem od směru vektoru rychlosti \(\vec{v}\) k směru vektoru magnetické indukce \(\vec{B}\) (nutno otočit o úhel, který je menší než \(\pi\)), šroub se zavrtává ve směru síly \(\vec{F}_m\) působící na kladný náboj. Pokud je náboj záporný, směr síly \(\vec{F}_m\) je opačný.

    síla působící na náboje v magnetickém poli

    Použijeme-li toto pravidlo, dostáváme stejný směr magnetické indukce \(\vec{B}\) jako výše.

  • Zápis a číselné dosazení

    \(E_k=5\,\mathrm{keV}\) - elektron urychlený napětím 5000V

    Do vyjádřeného výrazu budeme dosazovat energii v jednotkách Joule.

    \(E_k=8{\cdot} 10^{-16}\,\mathrm{J}\) kinetická energie elektronů
    \(r=5\,\mathrm{mm}=5 {\cdot} 10^{-3}\,\mathrm{m}\) vzdálenost kovové destičky od urychlovače
    \(B\,=\,?\,\mathrm{(T)}\) velikost magnetické indukce
    Z tabulek:
    \(m_e=9{,}1 {\cdot} 10^{-31}\,\mathrm{kg}\) hmotnost elektronu
    \(e=1{,}6{\cdot} 10^{-19}\,\mathrm{C}\) elementární elektrický náboj

    \[B=\sqrt{\frac{2mE_k}{e^{2}r^{2}}}=\sqrt{\frac{2{\cdot} 9{,}1{\cdot} 10^{-31}\cdot8{\cdot} 10^{-16}}{\left(1{,}6{\cdot} 10^{-19}\right)^{2}\left(5 {\cdot} 10^{-3}\right)^{2}}}\,\,\,\mathrm{T}\,\dot{=}\,0{,}048\,\mathrm{T}\dot{=}\,48\,\mathrm{mT}\]
  • Odpověď

    Dokázali jsme, že můžeme zabránit tomu, aby svazek dopadal na destičku, pokud ho odchýlíme magnetickým polem o velikosti

    \[B=\sqrt{\frac{2mE_k}{e^{2}r^{2}}}.\]

    Pro zadané číselné hodnoty je velikost magnetického pole přibližně rovna

    \[B\,\dot{=}\,48\,\mathrm{mT}.\]

    Směr vektoru magnetické indukce bude mířit před obrázek.

  • Komentář

    Z válcové symetrie úlohy je patrné, že jakákoliv orientace magnetické indukce kolmo ke směru svazku elektronů je vhodná.

    V naší úloze jsme si zvolili jeden ze směrů vylétávajících svazku elektronů a to, že elektrony jsou vychylovány směrem nahoru. Proto musí magnetická indukce, která tento svazek vychyluje, mířit před obrázek.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na dokazování, ověřování
Zaslat komentář k úloze