Proton a α částice v homogenním magnetickém poli

Úloha číslo: 55

Proton a částice α vlétly do homogenního magnetického pole kolmo k indukčním čarám. Srovnejte poloměry trajektorií částic v případě, že částice mají stejnou

a) rychlost,

b) energii.

Částici α tvoří jádro atomu helia, které má dvojnásobný náboj a přibližně čtyřnásobnou hmotnost ve srovnání s protonem.

  • Nápověda

    Uvědomte si, jaká síla na částici v magnetické poli působí. Jak se projeví její působení?

  • Rozbor

    a) Jelikož se částice pohybují v magnetickém poli, působí na ně magnetická síla. Magnetická síla je kolmá na směr pohybu, působí tedy jako síla dostředivá. Díky ní dochází k zakřivení trajektorie pohybu částic. Částice se budou pohybovat po kružnici.

    Ze vztahu pro magnetickou a dostředivou sílu vyjádříme neznámý poloměr a za hmotnost, náboj a rychlost dosadíme vztahy ze zadání.

    b) Jelikož se částice pohybují, mají kinetickou energii. Kinetické energie částice α a protonu se mají rovnat. Protože známe vztah mezi hmotnostmi obou částic, určíme z rovnosti kinetických energií vztah mezi jejich rychlostmi. Vztah mezi poloměry potom zjistíme stejně jako v části a).

  • Řešení a)

    Uvažujme, že v magnetickém poli o magnetické indukci B se pohybuje částice s nábojem Q rychlostí v. Je-li vektor rychlosti kolmý na vektor magnetické indukce, působí na částici magnetická síla Fm o velikosti

    \[F_m = QvB.\]

    Magnetická síla Fm působí kolmo na směr pohybu, působí tedy jako síla dostředivá. Díky tomu se částice v tomto magnetickém poli pohybuje po kružnici. Pro dostředivou sílu platí:

    \[F_d=m\frac{v^2}{r}\]

    Protože magnetická síla je zde dostředivou silou, platí

    \[F_m=F_d\] Po dosazení vztahu pro magnetickou a dostředivou sílu vyjádříme z rovnice neznámý poloměr r \[BvQ=m\frac{v^2}{r}\hspace{6px}\Rightarrow\hspace{6px}r=\frac{mv}{BQ}\]

    Po dosazení vztahů mezi nábojem, hmotností a rychlostí α částice a protonu:

    \[2Q_p=Q_\alpha\hspace{40px}4m_p=m_\alpha\hspace{40px}v_p=v_\alpha\]

    dostáváme vztah mezi poloměry trajektorií protonu a částice α

    \[r_\alpha=\frac{m_\alpha v_\alpha}{BQ_\alpha}=\frac{4m_p v_p}{B2Q_p}=2\,\frac{m_p v_p}{BQ_p}\] \[r_\alpha=2r_p\]
  • Řešení b)

    Jelikož se částice pohybují, mají kinetickou energii. Energie protonu a α částice se podle zadání mají rovnat, tj.

    \[E_{k_p}=E_{k_\alpha}\] \[\frac{1}{2}m_pv_p^2=\frac{1}{2}m_\alpha v_\alpha^2\]

    Po dosazení vztahu pro hmotnost

    \[4m_p=m_\alpha\]

    dostáváme rovnici, ze které vyjádříme rychlost α částice

    \[\frac{1}{2}m_pv_p^2=\frac{1}{2}4m_pv_\alpha^2\] \[v_p^2=4v_\alpha^2\] \[v_p=2v_\alpha\] \[v_\alpha=\frac{1}{2}v_p\]

    Vyjádřený vztah mezi rychlostmi, dosadíme společně se vztahy pro hmotnost a náboj do rovnice pro poloměr

    \[r_\alpha=\frac{m_\alpha v_\alpha}{BQ_\alpha}\]

    kterou jsme si odvodili v části řešení a)

    \[r_\alpha=\frac{m_\alpha v_\alpha}{BQ_\alpha}=\frac{4m_p\frac{1}{2}v_p}{B2Q_p}=\frac{m_p v_p}{BQ_p}\]

    Dostáváme vztah poloměrů kruhových trajektorií částic.

    \[r_\alpha=r_p\]
  • Odpověď

    Jestliže částice α a proton mají stejnou rychlost, pak pro poloměry jejich kruhových trajektorií platí rα = 2rp, tj. částice α se pohybuje po kružnici s dvojnásobným poloměrem ve srovnání s protonem.

    Jestliže částice α a proton mají stejné kinetické energie, pak pro poloměry jejich kruhových trajektorií platí rα = rp, tj. trajektorie částice α má stejný poloměr jako proton.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na porovnávání a rozlišování
Zaslat komentář k úloze