Proton a α částice v homogenním magnetickém poli
Úloha číslo: 55
Proton a částice α vlétly do homogenního magnetického pole kolmo k indukčním čarám. Srovnejte poloměry trajektorií částic v případě, že částice mají stejnou
a) rychlost,
b) energii.
Částici α tvoří jádro atomu helia, které má dvojnásobný náboj a přibližně čtyřnásobnou hmotnost ve srovnání s protonem.
Nápověda
Uvědomte si, jaká síla na částici v magnetickém poli působí. Jak se projeví její působení?
Rozbor
a) Jelikož se částice pohybují v magnetickém poli, působí na ně magnetická síla. Magnetická síla je kolmá na směr pohybu, působí tedy jako síla dostředivá. Díky ní dochází k zakřivení trajektorie pohybu částic. Částice se budou pohybovat po kružnici.
Ze vztahu pro magnetickou a dostředivou sílu vyjádříme neznámý poloměr a za hmotnost, náboj a rychlost dosadíme vztahy ze zadání.
b) Jelikož se částice pohybují, mají kinetickou energii. Kinetické energie částice α a protonu se mají rovnat. Protože známe vztah mezi hmotnostmi obou částic, určíme z rovnosti kinetických energií vztah mezi jejich rychlostmi. Vztah mezi poloměry potom zjistíme stejně jako v části a).
Řešení a)
Uvažujme, že v magnetickém poli o magnetické indukci B se pohybuje částice s nábojem Q rychlostí v. Je-li vektor rychlosti kolmý na vektor magnetické indukce, působí na částici magnetická síla Fm o velikosti
\[F_\mathrm{m} = QvB.\]Magnetická síla Fm působí kolmo na směr pohybu, působí tedy jako síla dostředivá. Díky tomu se částice v tomto magnetickém poli pohybuje po kružnici. Pro dostředivou sílu platí:
\[F_\mathrm{d}=m\frac{v^2}{r}\]Protože magnetická síla je zde dostředivou silou, platí:
\[F_\mathrm{m}=F_\mathrm{d}.\] Po dosazení vztahu pro magnetickou a dostředivou sílu vyjádříme z rovnice neznámý poloměr r: \[BvQ=m\frac{v^2}{r}\hspace{6px}\Rightarrow\hspace{6px}r=\frac{mv}{BQ}.\]Po dosazení vztahů mezi nábojem, hmotností a rychlostí α částice a protonu:
\[2Q_\mathrm{p}=Q_\alpha\hspace{40px}4m_\mathrm{p}=m_\alpha\hspace{40px}v_\mathrm{p}=v_\alpha\]dostáváme vztah mezi poloměry trajektorií protonu a částice α:
\[r_\alpha=\frac{m_\alpha v_\alpha}{BQ_\alpha}=\frac{4m_\mathrm{p} v_\mathrm{p}}{B2Q_\mathrm{p}}=2\,\frac{m_\mathrm{p} v_\mathrm{p}}{BQ_\mathrm{p}}\] \[r_\alpha=2r_\mathrm{p}.\]Řešení b)
Jelikož se částice pohybují, mají kinetickou energii. Energie protonu a α částice se podle zadání mají rovnat, tj.
\[E_\mathrm{k_p}=E_\mathrm{k_\alpha}\] \[\frac{1}{2}m_\mathrm{p}v_\mathrm{p}^2=\frac{1}{2}m_\alpha v_\alpha^2.\]Po dosazení vztahu pro hmotnost
\[4m_\mathrm{p}=m_\alpha\]dostáváme rovnici, ze které vyjádříme rychlost α částice:
\[\frac{1}{2}m_\mathrm{p}v_\mathrm{p}^2=\frac{1}{2}4m_\mathrm{p}v_\alpha^2\] \[v_\mathrm{p}^2=4v_\alpha^2\] \[v_\mathrm{p}=2v_\alpha\] \[v_\alpha=\frac{1}{2}v_\mathrm{p}.\]Vyjádřený vztah mezi rychlostmi dosadíme společně se vztahy pro hmotnost a náboj do rovnice pro poloměr
\[r_\alpha=\frac{m_\alpha v_\alpha}{BQ_\alpha},\]kterou jsme si odvodili v části řešení a):
\[r_\alpha=\frac{m_\alpha v_\alpha}{BQ_\alpha}=\frac{4m_\mathrm{p}\frac{1}{2}v_\mathrm{p}}{B2Q_\mathrm{p}}=\frac{m_\mathrm{p} v_\mathrm{p}}{BQ_\mathrm{p}}.\]Dostáváme vztah poloměrů kruhových trajektorií částic:
\[r_\alpha=r_\mathrm{p}.\]Odpověď
Jestliže částice α a proton mají stejnou rychlost, pak pro poloměry jejich kruhových trajektorií platí rα = 2rp, tj. částice α se pohybuje po kružnici s dvojnásobným poloměrem ve srovnání s protonem.
Jestliže částice α a proton mají stejné kinetické energie, pak pro poloměry jejich kruhových trajektorií platí rα = rp, tj. trajektorie částice α má stejný poloměr jako proton.
Dynamický prvek
Následující aplet vykresluje trajektorii protonu a alfa částice v magnetickém poli. Pomocí posuvníků je možné nastavit počáteční (nalétávající) energie částic a velikost magnetické indukce.
Úlohy pro práci s aplety
- Všímejte si nejprve jen jedné částice. Zkoušením zjistěte, jak závisí poloměr trajektorie částice na velikosti magnetického pole.
- Opět pracujte jen s jednou částicí. Zjistěte, jak závisí poloměr trajektorie na energii nalétávající částice.
- Najděte energie nalétavajících částic tak, aby průměr trajektorie protonu byl stejný jako průměr trajektorie alfa částice. Porovnejte s řešením úlohy.
- Nastavte energie nalétávajících částic tak, aby průměr trajektorie protonu byl čtyřikrát menší než průměr trajektorie alfa částice. Můžete zkusit i jiné poměry poloměrů trajektorií.
