Spotřebič zapojený do trojúhelníka

Úloha číslo: 782

Symetrický spotřebič o impedanci jedné fáze Z = j50 Ω je zapojen do trojúhelníka podle obrázku a připojen na síť 230/400 V. Stanovte proudy I1, I2I3.

Schéma zapojení spotřebiče
  • Zápis a značení

    Z = j50 Ω hodnota impednace jedné fáze
    U = 230/400 V napětí sítě
    I1 = ? (A) fázový proud
    I2 = ? (A) fázový proud
    I3 = ? (A) fázový proud

    Obvykle se pro označení komplexních veličin používá označení s pruhem nad jejich značkou. Zde toto označení používat nebudeme, protože by vzorce byli méně přehledné. Všechny veličiny, zde uvedené, jsou brány komplexně až na napětí sítě U.

  • Nápověda 1

    Vyznačte do obrázku ze zadání jednotlivá fázová a sdružená napětí.

  • Nápověda 2

    Zapojení spotřebiče ze zadání si můžeme představit jako zapojení tří jednoduchých spotřebičů a tří zdrojů. Jaké zákony se používají pro řešení obvodů stejnosměrného proudu, pokud je v obvodu zapojeno více zdrojů? Mohly bychom stejné zákony aplikovat i v tomto případě, kdy máme střídavý proud?

  • Nápověda 3

    Odvoďte vztahy pro výpočet fázových napětí v obvodu pomocí symbolicko-komplexní metody.

  • Rozbor

    Rovnice potřebné k nalezení velikosti proudů tekoucích spotřebičem sestavíme na základě obou Kirchhoffových zákonů. Nesmíme ale zapomenout na to, že abychom mohly tyto zákony použít, musíme pracovat s komplexními amplitudami proudů a napětí.

    V obvodu si vyznačíme jednotlivá fázová a sdružená napětí a vyjádříme si jejich komplexní amplitudy. Poté si zvolíme vhodné smyčky a uzly, sestavíme pro ně rovnice a vyřešíme je.

    Stačí nám vypočítat jeden z proudů. Ostatní dva proudy získáme pomocí symetrie zapojení.

  • Řešení – proud I1

    Úlohu vyřešíme pomocí Kirchoffových zákonů. Nejprve do obrázku ze zadání vyznačíme jednotlivá fázová a sdružená napětí:

    Schéma zapojení spotřebiče s vyznačenými napětími

    Zvolíme dvě smyčky:

    Schéma zapojení spotřebiče s vyznačenými napětími

    Aplikujeme Kirchhoffovy zákony: Druhý Kirchhoffův zákon pro smyčku s1 říká, že:

    \[ -I_{uv} \,Z + U_{12} = 0. \]

    Pro smyčku s2 platí:

    \[ I_{wu} \,Z - U_{31} = 0. \]

    Z prvního Kirchhoffova zákona pro uzel u lze vyjádřit rovnici:

    \[ I_1 + I_{wu} = I_{uv}. \]

    Získali jsme tři rovnice pro tři neznámé: Iuv, Iwu a I1. Tuto soustavu vyřešíme, resp. vyjádříme z ní hledaný proud I1:

    \[ -I_{uv} \,Z + U_{12} = 0, \tag{1}\] \[ I_{wu} \,Z - U_{31} = 0, \tag{2}\] \[ I_1 + I_{wu} = I_{uv}. \tag{3}\]

    Z první a druhé rovnice vyjádříme proudy Iuv a Iwu a dosadíme do rovnice třetí:

    \[ I_{uv}=\frac{U_{12}}{Z}, \] \[ I_{wu}= \frac{U_{31}}{Z}, \] \[ I_1 + \frac{U_{31}}{Z} = \frac{U_{12}}{Z}. \]

    Vyjádříme proud I1:

    \[ I_1 = \frac{U_{12}-U_{31}}{Z}. \]

    Dosadíme za sdružená napětí U12 a U31 jejich vyjádření pomocí fázových napětí:

    \[ I_1 = \frac{(U_1 - U_2)- (U_3 - U_1)}{Z}=\frac{2U_1 - U_2 - U_3}{Z}. \]

    Fázová napětí U1, U2 a U3 můžeme vyjádřit pomocí komplexní symboliky ve tvaru:

    \[ U_1 = U,\] \[ U_2 = (-\frac{1}{2}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})U,\] \[ U_3 = (-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})U.\]

    Dosadíme do vztahu pro proud I1:

    \[ I_1 = \frac{2U_1 - U_2 - U_3}{Z} = \frac{2U - (-\frac{1}{2}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})U - (-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})U}{Z} = \frac{(2+ \frac{1}{2}+ \mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - \mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})U}{Z}= \frac{3U}{Z}.\]
    \[ I_1 = \frac{3U}{Z}= \frac{3{\cdot} 230}{\mathrm{j}\,50}\,\dot=\, - \mathrm{j}\, 14\,\mathrm A \,\dot=\, 14\,\mathrm A. \]
  • Řešení – proudy I2 a I3

    Proudy I2 a I3 získáme pomocí poznatku, že zapojení spotřebiče je symetrické, tedy proudy budou vůči sobě fázově posunuty, a to o 120°.

    \[ I_1 = \frac{3U}{Z},\] \[ I_2 = \frac{3U}{Z}( -\frac{1}{2}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2}),\] \[ I_3 = \frac{3U}{Z} (-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2}).\]

    Odvození velikostí proudů I2 a I3 provedeme pomocí cyklické záměny indexů ve vztahu, ze kterého jsme odvodili proud I1 v předchozím oddíle. Tuto záměnu můžeme provést, protože zapojení spotřebiče je symetrické.

    \[ I_1 = \frac{2U_1 - U_2 - U_3}{Z} = \frac{3U}{Z} \] \[ \Rightarrow I_2 = \frac{2U_2 - U_3 - U_1}{Z} ,\] \[ \Rightarrow I_3 = \frac{2U_3 - U_1 - U_2}{Z} .\]

    Do vztahů dosadíme výrazy pro sdružená napětí:

    \[ U_3 = (-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})U,\] \[ U_2 = (-\frac{1}{2}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})U.\] \[ U_1 = U.\]

    Dosadíme:

    \[ I_2 = \frac{2U_2 - U_3 - U_1}{Z}= \frac{2[(-\frac{1}{2}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})U] - [(-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})U] - U}{Z}= \frac{3U}{Z}(-\frac{1}{2}- \mathrm{j} \frac{\sqrt{3}}{2}),\] \[ I_3 = \frac{2U_3 - U_1 - U_2}{Z} = \frac{2[(-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})U] - U - [(-\frac{1}{2}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})U]}{Z}= \frac{3U}{Z}(-\frac{1}{2}+ \mathrm{j} \frac{\sqrt{3}}{2}).\]

    Z obecného vyjádření velikostí proudů I1, I2 a I3 je možné vyčíst fázový posun mezi jednotlivými proudy, který je 120°. Symetrii zapojení a tedy i symetrii fázových proudů je možné ověřit také pomocí fázorového diagramu:

    Fázorový diagram pro proudy

    \[ I_2 = \frac{3U}{Z}( -\frac{1}{2}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})= \frac{3{\cdot} 230}{\mathrm{j}\,50}( -\frac{1}{2}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})\dot= (6{,}9 - \mathrm{j}\,12)\,\mathrm A. \] \[| I_2|\, \dot=\, 14 \,\mathrm A. \] \[ I_3 = \frac{3U}{Z} (-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})= \frac{3{\cdot} 230}{\mathrm{j}\,50} (-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})\dot= (6{,}9 + \mathrm{j}\,12)\,\mathrm A. \] \[| I_3|\,\dot=\, 14 \,\mathrm A. \]
  • Odpověď

    Velikosti hledaných proudů můžeme odvodit pomocí následujících rovnic:

    \[ I_1 =\frac{2U_1 - U_2 - U_3}{Z} = \frac{3U}{Z},\] \[ I_2= \frac{2U_2 - U_3 - U_1}{Z} = \frac{3U}{Z}( -\frac{1}{2}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2}),\] \[ I_3 = \frac{2U_3 - U_1 - U_2}{Z} = \frac{3U}{Z} (-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2}).\]

    A jejich číselné hodnoty jsou přibližně:

    \[ |I_1| \,\dot=\, |I_2| \,\dot=\, |I_3| \,\dot=\, 14\,\mathrm A. \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze