Netradiční obvody 3

Úloha číslo: 2153

Určete celkový odpor zapojení na obrázku. Všechny rezistory mají stejný odpor R. Určete také napětí a proudy procházející jednotlivými rezistory.

Zadání
  • Nápověda

    Pokud si nejste jisti, jak se obvody s rezistory řeší, projděte si úlohu Řešení obvodu s rezistory.

    Klíčem k úspěchu je překreslit si celý obvod do „obvyklejšího tvaru“ tak, aby zapojení zůstalo stejné, ale bylo lépe vidět, který rezistor je s kterým zapojen paralelně resp. sériově.

    Pokud si s překreslením nevíte rady pomůžou vám úlohy Netradiční obvody 1 a Netradiční obvody 2.

  • Řešení – celkový odpor

    Schéma rezistorů si překreslíme do obvyklejší formy a vyznačíme jednotlivé části, po kterých budeme obvod řešit.

    Řešení

    V této úloze volíme analogický postup jako v Spojování kondenzátorů I. Je-li tato úloha pro vás náročná projděte si nejprve Spojování kondenzátorů I, kde je postup detilněji vysvětlen.

    Nyní budeme skupiny rezistorů nahrazovat jedním rezistorem, využijme k tomu vztahy pro paralelní a sériové zapojení (viz Spojování kondenzátorů I, Řešení nápovědy – kapacita a Spojování kondenzátorů I, Řešení nápovědy – napětí a náboj). Využijeme také symetrii obvodu, abychom některé výpočty nemuseli provádět dvakrát. Všechny rezitory mají stejný odpor \(R\).

    Rezistory 1 a 2 jsou zapojeny sériově

    \[R_A=R + R=2R.\]

    Rezistory A a 3 jsou zapojeny paralelně

    \[\frac{1}{R_B}=\frac {1}{R_A} + \frac {1}{R}=\frac {1}{2R} + \frac {1}{R},\] \[{R_B}=\frac {2}{3}R.\]

    Rezistory B a 4 jsou zapojeny sériově

    \[R_C = R_B + R=\frac{2}{3}R+R = \frac {5}{3} R. \]

    Díky symetrii obvodu můžeme vyjádřit odpor spodní části rezistorů D

    \[R_D = R_C = \frac {5}{3} R. \]
    Výsledná odpor

    Rezistory C, D a 5 jsou zapojeny paralelně

    \[\frac {1}{R_V} = \frac {1}{R_C} + \frac {1} {R_D} + \frac {1}{R}=\frac{1}{\frac{5}{3}R} + \frac{1}{\frac{5}{3}R} + \frac {1}{R} ,\] \[R_V= \frac {5}{11} R.\]

    Výsledný odpor zapojení je \(R_V= \frac {5}{11} R.\)

  • Nápověda – napětí a proud jednotlivými rezistory

    Připomeňme si, co platí pro proud v sériovém a paralelním zapojení:

    1. Při sériovém zapojení je celkový proud procházející obvodem roven proudům procházejícím jednotlivými spotřebiči. Napětí na rezistorech zapojených do série se sčítají.

    2. Při paralelním zapojení platí, že součet proudů procházejících jednotlivými větvemi se rovná celkovému proudu. Napětí je na všech větvích stejné.

    Díky těmto dvěma podmínkám si vyjádříme proudy procházející jednotlivými rezistory v obvodu v závislosti na celkovém proudu. Tentokrát budeme ale postupovat obráceně než v první části úlohy. Začneme od obvodu „s jediným rezistorem“ a budeme postupně „přidávat rezisotry“ až dostaneme původní zapojení.

  • Řešení – napětí a proud

    Proud a napětí I

    Nyní se vraťme k obvodu s rezistory C, D a 5, napětí na těchto rezistorech je stejné (viz nápověda) a je stejné jako napětí U na celém zapojení

    \[U_C = U_D = U_5 = U.\]

    Z předchozích výpočtů známe hodnoty odporů jednotlivých rezistorů

    \[R_C = R_D=\frac {5}{3}R \qquad R_5 = R.\]

    Proudy jednotlivými rezistory vyjádříme z Ohmova zákona \(R=\frac{U}{I}\)

    \[I_C = I_D = \frac {3} {5} \frac {U}{R}.\] \[ I_5 = \frac {U}{R}. \]

    Dále budeme úlohu řešit pouze pro horní část obvodu, ve spodní části obvodu budou díky symetrii zapojení stejné hodnoty.

    Proud a napětí II

    Rezistor C vzniknul nahrazením sériově zapojených rezistorů B a 4. Těmito rezistory musí procházet stejný proud jako nahrazujícím rezistorem C

    \[I_B = I_4 = I_C = \frac {3}{5} \frac {U}{R}.\]

    Napětí vyjádříme z Ohmova zákona \( U=RI\)

    \[U_B=R_B I_B=\frac {2}{3} R \frac{3}{5} \frac{U}{R}=\frac {2}{5}U. \] \[U_4=R_4 I_4 = R \frac{3}{5} \frac{U}{R}=\frac {3}{5}U. \]
    Proud a napětí III

    Rezistor B vzniknul nahrazením paraleleně zapojených rezistorů A a 3. Napětí na těchto rezistorech je tedy stejné a je stejné jako napětí na rezistoru B.

    \[U_A=U_3 = U_B=\frac {2}{5}U.\]

    Proud vyjádříme z Ohmova zákona

    \[I_A =\frac{U_A}{R_A} = \frac {\frac {2}{5}U}{2R} = \frac {1}{5}\frac {U}{R}. \] \[I_3 = \frac{U_3}{R_3} = \frac {\frac {2}{5}U}{R} =\frac {2}{5}\frac {U}{R}. \]
    Proud a napětí III

    Rezistor A vzniknul nahrazením sériově zapojených rezistorů 1 a 2, tedy proud procházející těmito rezistory je stejný jako proud procházející rezistorem A.

    \[I_1=I_2=I_A=\frac {1}{5} \frac {U}{R}.\]

    Napětí vyjádříme z Ohmova zákona a zároveň využijeme toho, že se jedná o dva zcela identické rezistory

    \[U_1=U_2 =R I_1= R \frac {1}{5} \frac {U}{R} = \frac {1}{5} U. \]

    Jelikož je obvod souměrný (a rezistory mají stejný odpor), nemusíme již dopočítávat proudy a napětí na rezistorech 6, 7, 8 a 9. Hodnoty budou odpovídat hodnotám rezistorů souměrných podle osy. Tedy například napětí a proud na rezistoru 1 jsou stejné jako na rezistoru 7.

  • Odpověď

    Celkový odpor zapojení \(R_V = \frac {5} {11}R.\)

    Proudy a napětí na jednotlivých rezistorech:

    \[I_1 = I_7= \frac {1} {5} \frac {U}{R} \quad I_2=I_8 = \frac {1} {5}\frac {U}{R} \qquad I_3=I_6 =\frac{2}{5} \frac {U}{R} \qquad I_4=I_9 =\frac {3} {5} \frac {U}{R} \qquad I_5 = \frac {3}{5}\frac{U}{R} \] \[U_1=U_7= \frac {1} {5}U \qquad U_2=U_8 = \frac {1} {5}U \qquad U_3=U_6 = \frac {2}{5}U \qquad U_4=U_9 = \frac {3} {5} U \qquad U_5 = U \]

    V následujícím schématu je použito označení \(I=\frac {U}{R}\), kde U je napětí na obvodu a R je odpor každého z rezistorů.

    Odpověď
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze