Odpor drátěné krychle

Úloha číslo: 37

Určete odpor drátěné krychle mezi různými dvojicemi vrcholů.

a) mezi vrcholy na tělesové úhlopříčce  b) mezi vrcholy na stěnové úhlopříčce  c) mezi vrcholy na jedné hraně 
odpor krychle mezi vrcholy H, B
odpor krychle mezi vrcholy E, B
odpor krychle mezi vrcholy A, B

Odpor jedné hrany si označíme R.

  • Nápověda 1

    Co se stane, když propojíte vrcholy se stejným potenciálem?

    Které vrcholy mají stejný potenciál?

  • Nápověda 2

    Obvod si překreslete do roviny tak, že propojíte vrcholy se stejným potenciálem.

  • Rozbor

    Napětí na rezistoru se rovná rozdílu potenciálů na obou svorkách spotřebiče (tj. „před“ a „za“ spotřebičem). Ve vrcholu A má potenciál nějakou danou hodnotu. V tomto bodě se náš obvod větví. Díky symetrii krychle víme, že některými větvemi (hranami vycházejícími z A) poteče stejný proud. To znamená, že na nich bude stejné napětí (mají stejný odpor), a tedy na koncích těchto hran bude stejný potenciál (potenciál v bodě A se změní o stejné napětí).

    Vrcholy se stejným potenciálem můžeme sloučit do jednoho uzlu, protože by takovým spojovacím vodičem netekl žádný proud (stejný potenciál = nulové napětí). Touto úpravou obvodu nezměníme jeho vlastnosti, a tedy ani celkový odpor.

    Najdeme si na krychli vrcholy se stejným potenciálem, které spojíme do jednoho uzlu. Zapojení si překreslíme do roviny a na každý drát doplníme rezistor o odporu hrany R.

    Pomocí pravidel pro počítání odporů při sériovém a paralelním zapojení vypočítáme celkový odpor krychle.

  • Řešení části a) - odpor krychle mezi vrcholy H, B

    odpor krychle mezi vrcholy tělesové úhlopříčky

    V tomto obvodu jsou hrany BA, BC a BF rovnocenné, protéká jimi stejný proud, a proto vrcholy A, C, F mají stejný potenciál. Propojením těchto bodů se celkový odpor krychle nezmění.

    Stejně tomu je i u vrcholů D, E, G.

    Vrcholy A, C, F, resp. D, E, G sloučíme do jednoho uzlu. Obvod si překreslíme do roviny a doplníme rezistory. Hodnota odporu každého rezistoru je R.

    rovinný obrázek zapojení krychle

    Odpor R1 mezi uzly H, (DEG) a odpor R2 mezi uzly (ACF), B se rovnají celkovému odporu tří paralelně zapojených rezistorů R.

    \[\frac{1}{R_1}\,=\,\frac{1}{R_2}\,=\,\frac{1}{R}+\frac{1}{R}+\frac{1}{R}\] \[R_1\,=\,R_2\,=\,\frac{R}{3}\]

    Odpor R3 mezi uzly (DEG), (ACF) je celkovým odporem šesti paralelně zapojených rezistorů R.

    \[\frac{1}{R_3}\,=\,\frac{6}{R}\] \[R_3\,=\,\frac{R}{6}\]

    Odpory R1, R2R3 jsou zapojeny sériově. Celkový odpor krychle mezi body H, B je tedy

    \[R_\mathrm{HB}\,=\,R_1+R_2+R_3\,=\,2\frac{R}{3}+\frac{R}{6}\] \[R_\mathrm{HB}\,=\,\frac{5}{6}R\,.\]
  • Řešení části b) - odpor krychle mezi vrcholy E, B

    odpor krychle mezi vrcholy stěnové úhlopříčky

    Při tomto zapojení jsou vrcholy A a F, resp. D a G rovnocenné a budou tedy mít stejný potenciál. Propojením těchto bodů celkový odpor krychle nezměníme.

    Vrcholy A, F a vrcholy D, G spojíme do jednoho uzlu. Obvod si překreslíme a na obrázek doplníme rezistory o odporu R:

    rovinný obrázek zapojení krychle

    Všechny větve se dvěma paralelně zapojenými rezistory R nahradíme rezistory o odporu R1, pro které platí:

    \[\frac{1}{R_1}\,=\,\frac{1}{R}+\frac{1}{R}\] \[R_1\,=\,\frac{R}{2}\,.\]

    Schéma obvodu si zjednodušíme:

    obvod pro celkový odpor krychle mezi vrcholy E, B

    Rezistorem mezi body (AF) a (DG) díky symetrii obvodu nepoteče žádný proud. Uzly (AF) a (DG) mají stejný potenciál. Proto tento rezistor můžeme z obvodu úplně vynechat.

    Pozn.: Podrobnější vysvětlení je uvedeno u úlohy Drátěný čtverec.

    Sériově zapojené rezistory u vrcholů H a C nahradíme rezistory R2:

    \[R_2\,=\,R_1+R\,=\,\frac{R}{2}+R\,=\,\frac{3}{2}R\,.\]

    Obvod si ještě jednou překreslíme:

    obvod pro celkový odpor krychle mezi vrcholy E, B

    Nyní máme obvod se dvěma sériově spojenými rezistory R3. Ty jsou tvořeny paralelně zapojenými rezistory R1 a R2.

    Připomeňme, že \(R_1\,=\,\frac{R}{2}\), \(\hspace{10px} R_2\,=\,\frac{3}{2}R\).

    Spočítejme odpor R3:

    \[\frac{1}{R_3}\,=\,\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\,=\,\frac{R_1+R_2}{R_1R_2} \] \[\frac{1}{R_3}\,=\,\frac{\frac{R}{2}+\frac{3}{2}R}{\frac{R}{2}\cdot \frac{3}{2}R} \,=\,\frac{\frac{4}{2}R}{\frac{3}{4}R^2}\,=\,\frac{2}{\frac{3}{4}R}\,=\,\frac{8}{3R}\] \[R_3\,=\,\frac{3}{8}R\,.\]

    Pro celkový odpor krychle tedy platí:

    \[R_\mathrm{EB}\,=\,R_3+R_3\,=\,2R_3\,=\,2\frac{3}{8}R\] \[R_\mathrm{EB}\,=\,\frac{3}{4}R\,.\]
  • Řešení části c) - odpor krychle mezi vrcholy A, B

    odpor krychle mezi vrcholy tělesové úhlopříčky

    Vrcholy E, D a vrcholy F, C mají stejný potenciál. Propojením těchto bodů se celkový odpor krychle nezmění. Takže body E, D a body F, C spojíme do jednoho uzlu. Obvod si překreslíme do roviny a doplníme rezistory R:

    rovinný obrázek zapojení krychle

    Větve se dvěma paralelně zapojenými rezistory R nahradíme odpory R1, pro které platí:

    \[\frac{1}{R_1}\,=\,\frac{1}{R}+\frac{1}{R}\] \[R_1\,=\,\frac{R}{2}\,.\]

    Obvod si ještě jednou překreslíme:

    obvod pro celkový odpor krychle mezi vrcholy A, B

    Pro odpor R2 mezi uzly (ED) a (CF) platí:

    \[\frac{1}{R_2}\,=\,\frac{1}{R_1}+\frac{1}{\left(R_1+R+R_1\right)}\] \[\frac{1}{R_2}\,=\,\frac{1}{\frac{R}{2}}+\frac{1}{2\frac{R}{2}+R}\,=\,\frac{2}{R}+\frac{1}{2R}\,=\,\frac{5}{2R}\] \[R_2\,=\,\frac{2}{5}R\,.\]

    Pro celkový odpor krychle platí:

    \[\frac{1}{R_\mathrm{AB}}\,=\,\frac{1}{R}+\frac{1}{R_1+R_2+R_1}\,.\]

    Dosadíme \(R_1\,=\,\frac{R}{2}\),  \(R_2\,=\,\frac{2}{5}R\) a vyjádříme RAB

    \[ \frac{1}{R_\mathrm{AB}}\,=\,\frac{1}{R}+\frac{1}{2\frac{R}{2}+\frac{2}{5}R}\,=\, \frac{1}{R}+\frac{1}{R+\frac{2}{5}R}\,=\,\frac{1}{R}+\frac{1}{\frac{7}{5}R} \] \[\frac{1}{R_\mathrm{AB}}\,=\,\frac{1}{R}+\frac{5}{7R}\,=\,\frac{12}{7R}\] \[R_\mathrm{AB}\,=\,\frac{7}{12}R\,.\]
  • Odpověď

    Odpor drátěné krychle mezi vrcholy tělesové úhlopříčky je \(\frac{5}{6}R\).

    Odpor drátěné krychle mezi vrcholy stěnové úhlopříčky je \(\frac{3}{4}R\).

    Odpor drátěné krychle mezi vrcholy jedné hrany je \(\frac{7}{12}R\).

  • Odkaz na podobnou úlohu

    Podobná úloha na řešení celkového odporu obvodu je úloha Drátěný čtverec. Tato úloha je řešena pomocí větví, kterými neteče žádný proud.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Úloha na analýzu
Úloha na syntézu
Úloha na překlad, transformaci
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Bakalářská práce Marie Snětinová (2007).
×Původní zdroj: Bakalářská práce Marie Snětinová (2007).
Zaslat komentář k úloze