Napětí na voltmetru v RLC obvodu v rezonanci.

Úloha číslo: 778

V obvodu sestaveném podle schématu na obrázku je efektivní hodnota napětí 120 V a na kondenzátoru 160 V. Stanovte efektivní hodnotu napětí naměřenou na voltmetru V2, jestliže je obvod v rezonanci.

schéma zapojení

Pozn.: Všechny voltmetry považujte za ideální.

  • Nápověda

    Uvědomte si, čemu se rovná celková impedance sériového RLC obvodu v případě rezonance.

    Jaké vztahy platí v takovém případě mezi napětími na jednotlivých prvcích a celkovým napětím?

  • Rozbor

    Nakreslíme si fázorový diagram pro sériové zapojení RLC obvodu v rezonanci.

    Fázor napětí na rezistoru se rovná fázoru celkového napětí a fázor napětí na cívce je stejně dlouhý jako fázor napětí na kondenzátoru. Hledané napětí získáme součtem fázorů napětí na rezistoru a cívce.

  • Řešení

    Z poznatku, že je sériový RLC obvod v rezonanci vyplývá:

    \[ U_L = U_C \]

    kde UL je efektivní napětí na cívce a UC efektivní napětí na kondenzátoru.

    Ze schéma zapojení obvodu v zadání vidíme, že:

    \[ U_C = U_3, \]

    kde U3 je napětí měřené na kondenzátoru voltmetrem V3.

    Dále platí, že v rezonanci je celková impedance obvodu Z rovna velikosti rezistance (odporu) rezistoru R. Proto lze pomocí Ohmova zákona psát:

    \[ U = Z I = R I = U_R, \] \[ U = U_R, \]

    kde UR je efektivní napětí na rezistoru a U je efektivní napětí dodávaného zdrojem.

    Nakreslíme fázorový diagram:

    fázorový diagram

    Do fázorového diagramu si naznačíme rovnosti napětí popsané výše:

    fázorový diagram

    Napětí na cívce a rezistoru U2 získáme pomocí fázorového diagramu, jako součet fázoru napětí na cívce UL a fázoru napětí na rezistoru UR.

    fázorový diagram

    Z fázorového diagramu plyne:

    \[ U_2 = \sqrt{U_R^2 + {U_L}^2} = \sqrt{U^2 + {U_3}^2}\ . \]
  • Zápis a číselné dosazení

    U = 120 V efektivní hodnota napětí zdroje
    U3 = 160 V hodnota napětí na kondenzátoru
    U2 = ? (V) hodnota napětí na cívce a rezistoru

    \[U_2=\sqrt{ U^2+{U_3}^2}=\sqrt{ 120^2+{160}^2}\,\mathrm V= 200 \,\mathrm V\]
  • Odpověď

    Efektivní hodnota napětí na voltmetru V2 je 200 V.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Zaslat komentář k úloze