Sbírka řešených úloh

Cívka z měděného drátu

Úloha číslo: 1080

• Je zadání kompletní?

  Pokud máte pocit, že vám v zadání úlohy chybí nějaký údaj, zde např. tloušťka (průřez) drátu, nenechte se tím odradit.

  Nezadanou veličinu si označte a počítejte, jako kdybyste ji znali. Je možné, že nakonec zjistíte, že ji znát nepotřebujete, protože hledaná veličina na ní nezávisí. A pokud bude opravdu potřeba, tak její hodnotu buď někde vyhledáte, nebo odhadnete.

• Nápověda 1

  Potřebujete spočítat napětí na cívce. Použijte k tomu Ohmův zákon. Vzpomeňte si nebo vyhledejte jeho tvar.

• Řešení nápovědy

  Ohmův zákon: \[R=\frac{U}{I}.\] Potřebujeme spočítat napětí, tak si ho vyjádříme: \[U=\frac{R}{I}.\]

• Nápověda 2

  Zamyslete se, jak souvisí celkový proud cívkou s proudovou hustotou a jak zjistit, jaký má cívka celkový odpor.

• Řešení nápovědy

  Celkový proud určíme pomocí proudové hustoty j. Jedná se o hustotu proudu, to znamená, že je to celkový proud I dělený plochou S: \[j = \frac{I}{S}\] a z toho vyjádříme proud I: \[I=jS.\]

  Odpor drátu namotaného na cívce spočteme podle vztahu pro odpor přímého vodiče: \[R=\rho\frac{l}{S},\] kde ρ je měrný elektrický odpor mědi, který nalezneme v tabulkách, l délka vodiče a S jeho průřez.

• Nápověda 3

  Jak spočítáte délku drátu namotaného na cívce?

• Řešení nápovědy

  Namotaný drát tvoří n stejných kružnic (závitů) o středním průměru d. Pro délku drátu l platí \[l=n\pi d.\]

• Rozbor

  Potřebujeme určit celkové napětí na cívce a k tomu použijeme Ohmův zákon. Cívku tvoří namotaný drát; její odpor je tedy odpor tohoto drátu. Proud, který bude cívkou protékat, určíme ze zadané proudové hustoty.

• Řešení

  Máme určit celkové napětí U na cívce; k tomu použijeme Ohmův zákon \[R=\frac{U}{I} \qquad \Rightarrow \qquad U=RI.\] Začneme s vyjádřením odporu namotaného drátu R: \[R=\rho\frac{l}{S},\] kde ρ je měrný elektrický odpor mědi, který nalezneme v tabulkách, S průřez drátu a l délka drátu namotaného na cívce. Tu spočteme podle vztahu \[l=n\pi d,\] kde n je počet kruhových závitů a d průměr cívky.

  Přejděme k výpočtu celkového proudu cívkou I. Proudová hustota j se rovná celkovému proudu I dělenému průřezem drátu S: \[j=\frac{I}{S}\qquad \Rightarrow \qquad I=jS.\]

  Teď už jen výše spočítané vztahy dosadíme do Ohmova zákona a upravíme: \[U=RI=\rho \frac{l}{S}jS=\rho lj=\rho n\pi dj.\]

  Komentář:

  Jak vidíme z výpočtu výše, průřez drátu S nepotřebujeme znát, protože odpor drátu R je mu nepřímo úměrný a proud I je mu při zadané proudové hustotě přímo úměrný. Ve výsledném vztahu se nám tedy průřez S vykrátí.

• Zápis a číselné dosazení

  n = 1 000 závitů	počet závitů cívky
  d = 6 cm = 0,06 m	poloměr cívky
  j = 2 A.mm-2 = 2.106 A.m-2	přípustná proudová hustota
  U = ? (V)	napětí na cívce
  Z tabulek:
  ρ = 0,018 μΩm = 0,18.10-6 Ωm	měrný elektrický odpor mědi

  ---

  \[U=\rho n\pi dj=0{,}018 {\cdot} 10^{-6} \cdot 1\,000\cdot \pi \cdot 0{,}06 {\cdot} 2 \cdot 10^6\,\mathrm V\,\dot{=}\,6{,}8\,\mathrm V\]

• Odpověď

  Na cívku lze vložit napětí až 6,8 V.