Toroid se vzduchovou mezerou

Úloha číslo: 248

Ocelová tyč délky L a čtvercového průřezu o straně a byla homogenně zmagnetována (s magnetizací \(\vec M\) kolmou na průřez tyče) a poté ohnuta do tvaru toroidu s maličkou mezerou šířky w. Najděte magnetické pole v centru mezery, předpokládejte, že \(w \ll a\ll L\).

Návod: představte si celou situaci jako superpozici celého toroidu a smyčky s opačnou orientací proudu, která bude simulovat mezeru.

Homogenně zmagnetovaná tyč s čtvercovým průřezem ohnuta do tvaru toroidu
  • Nápověda 1

    Zatím ponechte tyč rovnou. Z magnetizace určete vázané proudy uvnitř a na povrchu tyče. V jaké elektrické součástce teče takový proud?

  • Nápověda 2

    Určete magnetické pole uvnitř zmagnetované tyče. Použijte faktu, že se chová jako solenoid, kterým na povrchu teče proud o plošné hustotě kb.

  • Nápověda 3

    Najděte pole ve středu čtvercového závitu jako superpozici polí čtyř drátů konečné délky.

    Pro velikost magnetické indukce pole drátu konečné délky, kterým teče proud I, platí vztah

    \[B = \frac{\mu_0I}{4\pi s}(\sin\,\theta_1-\sin\,\theta_2),\]

    kde s je kolmá vzdálenost daného místa od přímky drátu a θ1,2 jsou úhly měřené od kolmice z daného místa k přímce drátu, pod kterými vidíme z daného místa konce drátu.

    K určení magnetické indukce
  • Rozbor

    Využijeme možnosti nahradit magnetizaci tyče vázanými proudy, které budí stejné magnetické pole. Výpočet vázaných proudů – přesněji jejich plošné a objemové hustoty – můžeme provést přímo z magnetizace pomocí explicitních vztahů. Navíc, protože je magnetizace rovnoměrná, hustota objemového vázaného proudu bude nulová a plošná hustota v každém místě povrchu stejná.

    V takovém případě můžeme zmagnetovanou tyč nahradit solenoidem (uvnitř něhož je vakuum) s čtvercovým průřezem, jehož povrch obtéká plošný proud s výše vypočtenou hustotou. Jak spočítat magnetické pole uvnitř takového solenoidu, víme.

    Zde poznamenejme, že ohnutím tyče se nezmění její magnetizace, a tedy ani magnetické pole uvnitř ní.

    Magnetické pole v mezeře nyní vypočteme tak, že od pole uvnitř tyče odečteme pole, které vznikne „v jednom závitu“ (tj. mezeru si představíme jako „chybějící“ závit), tedy ve středu čtvercové smyčky. Proud v této smyčce odpovídá proudu, který teče po pásku solenoidu o šířce mezery. Pole ve středu čtvercové smyčky pak spočteme jako superpozici polí čtyř tenkých drátů konečné délky.

  • Řešení

    Zmagnetování tyče můžeme nahradit vázanými proudy. Protože magnetizace je rovnoměrná (to jest, vektor magnetizace \(\vec M\) je konstantní), libovolná parciální derivace podle libovolné souřadnice je nulová, a tedy objemové (vázané) proudy jsou nulové (viz Nápověda 1). Pro povrchový (vázaný) proud \(\vec k_b\) platí

    \[\vec k_b = \vec M\times\vec n_0,\]

    kde \(\vec n_0\) je jednotkový normálový vektor, z čehož vyplývá, že si zmagnetovanou tyč můžeme představit jako hustě vinutý solenoid s povrchovou hustotou proudu o velikosti kb = M (viz nápověda 2).

    Pro magnetickou indukci pole uvnitř solenoidu pak platí

    \[B_1 = \frac{\mu_0NI}{l} = \mu_0k = \mu_0M\]

    Poznamenejme, že při výpočtu pole uvnitř solenoidu neuvažujeme materiál tyče, ale vakuum, což vyplývá z definice vázaných proudů, které „informaci o materiálu“ (přesněji jeho zmagnetování) obsahují. Proto ve vztahu vystupuje permeabilita vakuaμ0, nikoliv permeabilita daného materiálu μ.

    Máme najít magnetickou indukci v mezeře. Mezeru v tyči si představíme jako superpozici celého toroidu bez mezery a jednoho čtvercového závitu (o šířce w), ve kterém teče proud opačným směrem.

    Proto nyní spočítáme magnetickou indukci \(\vec B_2\) ve středu čtvercového závitu o straně a, kterým protéká proud o velikosti I = kw = Mw.

    Pole ve středu čtvercové proudové smyčky najdeme superpozicí polí čtyř drátů konečné délky. Uvažujeme-li drát konečné délky, pak magnetická indukce cirkuluje kolem drátu (stejně jako v nekonečném případě) a její velikost je

    \[B = \frac{\mu_0I}{4\pi s}(\sin\theta_1-\sin\theta_2),\]

    kde I je proud tekoucí drátem, s vzdálenost daného místa od přímky drátem určené a θ1,2 úhly sevřené kolmicí z daného místa k přímce určené drátem a spojnicemi daného místa s konci drátu.

    K určení magnetické indukce ve středu čtvercové smyčky

    V případě středu čtvercové smyčky jsou velikosti úhlů ±45° a vzdálenost s je rovna polovině straně čtverce, tj. s = a/2. Čtverec má čtyři strany, ze symetrie vyplývá, že všechny přispívají stejně velkou indukcí a příspěvky mají stejný směr a stejnou orientaci. Pro proud odpovídající mezeře o šířce w platí I = kw = Mw, takže

    \[B_2 = 4\,\cdot\, \frac{\mu_0I}{4\pi a/2}\left(\frac{\sqrt 2}{2}-\left(-\frac{\sqrt 2}{2}\right)\right) = \frac{2\sqrt 2\mu_0Mw}{\pi a}.\]

    Superpozicí pole toroidu a pole smyčky dostaneme velikost magnetické indukce v mezeře

    \[B = B_1-B_2 = \mu_0M\left(1-\frac{2\sqrt 2w}{\pi a}\right)\]

    a pro úzkou mezeru má směr magnetizace \(\vec M\).

  • Odpověď

    Magnetické indukce v mezeře má velikost

    \[B = \mu_0M\left(1-\frac{2\sqrt 2w}{\pi a}\right)\]

    a má směr magnetizace \(\vec M\).

  • Komentář – proč se ohnutím nepokazí pole

    Zbývá zodpovědět poslední otázku, kterou jsme se při řešení úlohy nezabývali: proč se stočením tyče do toroidu nezmění uvnitř ní magnetické pole? Otázku rozdělíme na dvě části.

    Za prvé: Můžeme počítat uvnitř toroidu magnetické pole podle stejného vztahu jako u nekonečného solenoidu?

    Pro magnetickou indukci uvnitř hustě vinuté toroidální cívky skutečně platí obdobný vztah jako pro nekonečně dlouhý solenoid, a to \[B = \frac{\mu_0NI}{2\pi r},\] kde I je proud procházející solenoidem a r vzdálenost místa od centrální osy toroidu (přímky procházející středem toroidu). V případě, že pole určujeme ve středu průřezu, pak 2πr je vlastně délka tyče a vztah je formálně stejný jako u nekonečného solenoidu.

    Poznámka: Podrobný výpočet lze nalézt v úloze Magnetická indukce uvnitř toroidu, kde ale N označuje hustotu závitů, nikoli počet závitů.

    Za druhé: Nezmění se stočením tyče do toroidu její magnetizace? Přesněji, bude stále v každém průřezu tyče mít kolmý směr na jeho průřez?

    Jako určitý argument můžeme nabídnout, že jednou možnou definicí magnetizace je „hustota magnetických dipólů“ (přesněji hustota magnetického dipólového momentu) v materiálu. Tyto dipóly jsou pevně svázané s atomy (či molekulami) v mřížce, nebudou se tedy měnit prostým pohybem tyče.

    Pokud tedy uvnitř tyče jejím ohnutím nezpůsobíme nějaké drastické změny v atomové mřížce, potom není důvod, proč by se magnetické dipóly, pevně vázané na jednotlivé atomy v látce, měly přeorientovat. V jejich nejbližším okolí se ohnutí totiž prakticky neprojeví – pokud bychom uvažovali vliv okolních řádově tisíce až desetitisíce atomů, pak zde mluvíme o vzdálenostech řádově maximálně mikrometrů. Na této vzdálenosti tyč zůstává prakticky rovná.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze