Osm nábojů ve vrcholech osmiúhelníku

Úloha číslo: 267

Osm stejně velkých nábojů Q je rozmístěno ve vrcholech pravidelného osmiúhelníku.

a) Jaká síla působí na náboj q umístěný v jeho středu?

b) Předpokládejte, že jeden z osmi nábojů Q vyjmeme. Jaká síla bude působit na náboj q v tomto případě?

c) Nyní rozmístíme devět stejných nábojů Q do vrcholu pravidelného devítiúhelníku. Jaká síla bude nyní působit na náboj q v jeho středu? Opět z jednoho vrcholu náboj vyjmeme, jaká síla bude působit na náboj q v tomto případě?

Pozn: Části a) a b) jsou řešeny dvěma různými způsoby.

  • Poznámka: Znaménka nábojů

    Aby byly obrázky v řešení přehledné, zvolíme si, že náboje Q budou záporné (zakreslené modře) a náboj q bude kladný (zakreslený červeně). Zamyslete se nad tím, že pokud bychom znaménka nábojů zvolili jinak, bude postup řešení stejný, pouze se může změnit směr působících sil.

  • a) Nápověda

    Nakreslete si obrázek sil, které působí na náboj q.

    1. způsob řešení:

    Využijte toho, že nábojů Q je sudý počet. Jaká je výsledná síla, kterou působí náboje Q umístěné v protilehlých vrcholech?

    2. způsob řešení:

    Zkuste vektory sil sečíst graficky.

  • a) Řešení s využitím symetrie

    Síla, kterou působí každý náboj Q na náboj q, závisí na velikosti obou nábojů a na jejich vzájemné vzdálenosti. Protože mají všechny náboje Q stejnou velikost a zároveň jsou všechny stejně daleko od náboje q, působí na náboj q stejně velkými silami. Liší se pouze směry (viz obrázek).

    Všechny síly působící na náboj q

    Na obrázku vidíme, že náboje, které jsou v protilehlých vrcholech, působí na náboj q silami opačného směru. Protože mají tyto síly stejnou velikost, je jejich výslednice rovna nule. Tuto úvahu můžeme provést se všemi protilehlými dvojicemi nábojů. Výsledná síla, která působí na náboj q, je tedy rovna nule.

  • a) Řešení: Obecnější postup

    Všechny náboje ve vrcholech osmiúhelníka mají stejnou velikost a od náboje q jsou stejně vzdálené. Síly, kterými jednotlivé náboje působí na náboj ve středu osmiúhelníka, jsou tedy stejně velké. Síly si zakreslíme do obrázku.

    Síly působící na náboj q

    Nyní vektory geometricky sečteme. Jeden ze způsobu je, poskládat jeden vektor za druhý tak, aby každý vektor měl začátek tam, kde předchozí má konec. Výslednou sílu získáme, pokud spojíme počátek prvního vektoru s koncem posledního.

    Všechny vektory tedy postupně poskládáme za sebe. Začneme například vektorem označeným na obrázku jako \(\vec{F}_1\) a postupně po směru hodinových ručiček bereme další vektory.

    Vektorový součet sil

    Jak vidíme na obrázku, všechny vektory nám vytvoří pravidelný osmiúhelník. Umístíme-li poslední vektor, dostaneme se zpět do počátečního bodu. Výslednice sil, které působí na náboj q je tedy rovna nule.

  • b) Nápověda

    1. způsob řešení:

    Opět si nakreslete obrázek. Postupujte podobně jako v řešení časti a).

    Jak je to s výslednou silou, když v protilehlém vrcholu jednoho náboje je prázdné místo?

    2. způsob řešení:

    K řešení využijte předchozího výsledku: Síla, kterou působí osm nábojů na náboj ve středu, je rovna nule.

    Zkuste vymyslet, jaký náboj a kam musíme přidat, aby výsledná situace byla stejná, jak když jeden náboj odebereme.

  • b) Řešení s využitím symetrie

    Budeme postupovat podobně jako v řešení části a). Náboje, které jsou v protilehlých vrcholech, působí na náboj q stejně velkými silami opačného směru. Oba vektory sil se tedy odečtou. Tuto úvahu můžeme provést se všemi náboji kromě jednoho, který v protilehlém vrcholu žádný náboj nemá (viz obrázek vlevo).

    Výsledná síla, působící na náboj q
    Všechny síly působící na náboj q

    Výsledná síla působící na náboj q se tedy rovná síle, která je způsobena nábojem Q, který má naproti sobě prázdné místo (viz obrázek vpravo). Její velikost spočítáme z Coulombova zákona:

    \[F\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2}\,,\]

    kde r je vzdálenost nábojů.

  • b) Řešení pomocí malého triku

    Abychom mohli při řešení využít výsledku z předchozího oddílu, použijeme menší trik a zadání úlohy trochu pozměníme. Víme, že pokud je v každém vrcholu osmiúhelníku jeden náboj Q, pak výslednice sil, které působí na náboj q, je rovna nule. Nyní bychom měli jeden náboj Q odebrat. Situace ale bude úplně stejná, pokud do jednoho vrcholu přidáme stejně velký náboj opačného znaménka. Na obrázku vlevo je vidět, že se vektory \(\vec{F}_8\) a \(\vec{F}_9\) odečtou.

    Působící síly po přidání kladného náboje
    Síly působící po odebrání jednoho náboje

    V jednom z osmi vrcholů jsou tedy nyní dva náboje, které jsou stejně velké, ale mají opačné znaménko. Působení těchto nábojů na náboj q se vzájemně vyruší a proto je situace stejná, jako by v tomto vrcholu nebyl náboj žádný.

    Nyní se můžeme pustit do výpočtu výsledné síly, která působí na náboj q.

    Výslednice sil, kterými působí osm stejných záporných nábojů, je rovna nule (viz část a ). Celková síla, která tedy působí na náboj q je rovna síle, kterou na něj působí kladný náboj Q. Velikost této síly spočítáme z Coulombova zákona:

    \[F_e\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2}\,,\]

    kde r je vzdálenost nábojů.

  • c) Nápověda

    Tuto část úlohy řešte podobným postupem jako osmiúhelník. Tentokrát ale nemůžeme využít symetrie jako u osmiúhelníku, ale musíme použít skládání vektorů a malý trik s přidáním opačného náboje.

  • c) Řešení

    Postup řešení bude stejný jako v případě osmi nábojů. Jediný rozdíl je, že v tomto případě nemůžeme využít symetrie. Úloha lze tedy řešit pouze jedním způsobem.

    Všechny náboje Q mají stejnou velikost a jsou od náboje q ve stejné vzdálenosti. Síly, kterými působí na náboj q, jsou tedy stejně velké. Výslednici sil získáme vektorovým součtem. Pokud naskládáme jeden vektor za druhý vytvoří nám pravidelný devítiúhelník. Výsledná síla je tedy rovna nule.

    Síly působící na náboj q
    Vektorový součet působících sil

    Místo abychom jeden náboj odebrali, můžeme do jednoho vrcholu přidat stejně velký náboj, ale s opačným znaménkem. Síly, kterými působí devět stejných nábojů, se navzájem ruší. Výslednice je tedy rovna síle, kterou na náboj q působí kladný náboj Q.

    Síly po přidání náboje
    Výsledná síla

    Její velikost vypočítáme z Coulombova zákona:

    \[F\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2}\,.\]
  • Odpověď

    Výsledná síla, která působí na náboj q uprostřed osmiúhelníka i devítiúhelníka, je rovna nule.

    Pokud jeden náboj z vrcholu osmiúhelníka nebo devítiúhelníka odebereme, bude na náboj q působit síla o velikosti:

    \[F\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2}\,.\]
  • Jak by to bylo pro pravidelný n-úhelník

    Všimněte si, že postup řešení u devítiúhelníku byl stejný jako pro osmiúhelník. Pokud bychom měli jakýkoliv pravidelný n-úhelník, budeme opět postupovat úplně stejně.

    Je-li v každém vrcholu jeden náboj, je výslednice sil působících na náboj ve středu rovna nule. Chybí-li jeden náboj, je výsledná síla stejná jako síla, kterou by působil náboj opačného znaménka umístěný v jednom z vrcholů.

    Pokud je navíc n sudé, můžeme využít symetrie a vyřešit úlohu stejně jako v případě osmiúhelníka.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha řešená úvahou
Komplexní úloha
Původní zdroj: Griffiths D. J. (1999). Introduction to Electrodynamics. New Jersey:
Prentice Hall, Upper Saddle River. 
Zpracováno v diplomové práci Lenky Matějíčkové (2010).
×Původní zdroj: Griffiths D. J. (1999). Introduction to Electrodynamics. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River.
Zpracováno v diplomové práci Lenky Matějíčkové (2010).
Zaslat komentář k úloze