Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Spojování kondenzátorů II
Úloha číslo: 2015
Kondenzátory o téže kapacitě C jsou zapojeny podle obrázku. Určete výslednou kapacitu. Dále určete napětí a náboje na deskách jednotlivých kondenzátorů, jestliže na celém zapojení je napětí U.

Nápověda
Pokud si nejste jisti, jak se obvody s kondenzátory řeší, projděte si úlohu Spojování kondenzátorů I.
Klíčem k úspěchu je překreslení celého obvodu do „obvyklejšího tvaru“ tak, aby se zapojení nezměnilo, ale bylo lépe vidět, který kondenzátor je s kterým zapojen paralelně, resp. sériově.
Pokud si s překreslením nevíte rady, pomůžou vám úlohy Netradiční obvody 1 a Netradiční obvody 2.
Řešení – kapacita
Schéma kondenzátorů překreslíme do obvyklejšího tvaru a pro přehlednost výpočtu si je očíslujeme.
V této úloze volíme analogický postup jako ve Spojování kondenzátorů I. Je-li tato úloha pro vás náročná, projděte si nejprve Spojování kondenzátorů I, kde je postup vysvětlen detailněji.
Nyní budeme kondenzátory postupně spojovat využitím vztahů pro paralelní a sériové zapojení (viz Spojování kondenzátorů I, Řešení nápovědy – kapacita a Spojování kondenzátorů I, Řešení nápovědy – napětí a náboj). Využijeme také symetrii obvodu, abychom některé výpočty nemuseli provádět dvakrát (všechny kondenzátory mají stejnou kapacitu C).
Kondenzátory 1 a 2 jsou zapojeny sériově:
1C1,2=1C+1C,CA=C1,2=C2.Kondenzátory A a 3 jsou zapojeny paralelně:
CA,3=CA+C,CB=CA,3=32C.Kondenzátory B a 4 jsou zapojeny sériově:
1CB,4=1CB+1C4=23C+1C,CC=CB,4=35C.Díky tomu, že je obvod symetrický, můžeme napsat:
CD=CC=35C.Nyní si můžeme obvod opět překreslit.
Kondenzátory CC,CD a 5 jsou zapojeny paralelně:
CC,D,5=CC+CD+C5=35C+35C+C,CV=CC,D,5=115C.Výsledná kapacita zapojení CV=115C.
Nápověda – vztahy pro napětí a náboj na kondenzátorech
Mezi kapacitou, nábojem a napětím kondenzátoru platí vztah (zavedení kapacity kondenzátoru)
Q=UC.Při sériovém zapojení kondenzátorů je na všech kondenzátorech stejný náboj. Napětí se v tomto případě sčítají:
Q=Q1=Q2,U=U1+U2.Při paralelním zapojení se náboje na jednotlivých kondenzátorech sčítají. Napětí je na všech kondenzátorech stejné:
Q=Q1+Q2,U=U1=U2.Při výpočtu napětí a nábojů budeme postupovat opačně než při výpočtu celkové kapacity. Začneme obvodem, kde jsou všechny kondenzátory nahrazeny jedním, a postupně se budeme vracet k „původnímu“ zapojení.
Řešení – napětí a náboj
Nyní se vraťme k obvodu s kondenzátory C, D a 5. Napětí na těchto kondenzátorech je stejné (viz nápověda) a je stejné jako napětí U na celém zapojení:
UC=UD=U5=U.Abychom spočítali náboje, využijeme obecný vztah
Q=UC.Takže dostáváme
QC=CCU=35CU,QD=CDU=35CU,Q5=CU.Kondenzátor C vznikl spojením sériově zapojených kondenzátorů 4 a B. Náboje na sériově zapojených kondenzátorech jsou stejné:
Q4=QB=QC=35CU.Napětí spočítáme ze vztahu (1)
U4=Q4C4=35U,UB=Q4CB=25U.Kondenzátor B vznikl spojením paralelně zapojených kondenzátorů 3 a A. Napětí na paralelně zapojených kondenzátorech jsou stejná:
U3=UA=UB=25U.Náboje spočítáme ze vztahu (1)
Q3=C3U3=25CU,QA=CAUA=15CU.Kondenzátor A vznikl spojením sériově zapojených kondenzátorů 1 a 2. Náboje na sériově zapojených kondenzátorech jsou stejné:
Q1=Q2=QA=15CU.Napětí spočítáme ze vztahu (1)
U1=Q1C1=15U,U2=Q2C2=15U.Jelikož je obvod souměrný (a kondenzátory mají stejnou kapacitu), nemusíme již dopočítávat náboje a napětí na kondenzátorech 6, 7, 8 a 9. Hodnoty budou odpovídat hodnotám kondenzátorů souměrných podle osy. Tedy například napětí a náboj na kondenzátoru 1 je stejný jako na kondenzátoru 7.
Odpověď
Celková kapacita zapojení CV=115C.
Náboje a napětí na jednotlivých kondenzátorech:
Q1=Q7=15CUQ2=Q8=15CUQ3=Q6=25CUQ4=Q9=35CUQ5=CUU1=U7=15UU2=U8=15UU3=U6=25UU4=U9=35UU5=U.V následujícím schématu je použito označení Q=UC, kde U je napětí zdroje a C je kapacita každého z kondenzátorů.