Spojování kondenzátorů II

Úloha číslo: 2015

Kondenzátory o téže kapacitě C jsou zapojeny podle obrázku. Určete výslednou kapacitu. Dále určete napětí a náboje na deskách jednotlivých kondenzátorů, jestliže na celém zapojení je napětí U.

Zadání
  • Nápověda

    Pokud si nejste jisti, jak se obvody s kondenzátry řeší, projděte si úlohu Spojování kondenzátorů I.

    Klíčem k úspěchu je překreslení celého obvodu do „obvyklejšího tvaru“ tak, aby se zapojení nezměnilo, ale bylo lépe vidět, který kondenzátor je s kterým zapojen paralelně resp. sériově.

    Pokud si s překreslením nevíte rady pomůžou vám úlohy Netradiční obvody 1 a Netradiční obvody 2.

  • Řešení – kapacita

    Schéma kondenzátorů překreslíme do obvyklejšího tvaru a pro přehlednost výpočtu si je očíslujeme.

    Schéma

    V této úloze volíme analogický postup jako v Spojování kondenzátorů I. Je-li tato úloha pro vás náročná projděte si nejprve Spojování kondenzátorů I, kde je postup detilněji vysvětlen.

    Nyní budeme kondenzátory postupně spojovat využitím vztahů pro paralelní a sériové zapojení (viz Spojování kondenzátorů I, Řešení nápovědy – kapacita a Spojování kondenzátorů I, Řešení nápovědy – napětí a náboj). Využijeme také symetrii obvodu, abychom některé výpočty nemuseli provádět dvakrát (všechny kondenzátory mají stejnou kapacitu C).

    Kondenzátor 1 a 2 jsou zapojené sériově:

    \[\frac {1} {C_{1{,}2}} = \frac {1} {C} + \frac {1} {C},\] \[C_A={C_{1{,}2}} = \frac {C} {2}.\]

    Kondenzátory A a 3 jsou zapojeny paralelně:

    \[C_{A,3} = C_A + C,\] \[C_B=C_{A,3} = \frac {3}{2}C.\]

    Kondenzátory B a 4 jsou zapojeny sériově

    \[\frac {1}{C_{B,4}}= \frac {1}{C_B} + \frac {1} {C_4} = \frac {2} {3C} +\frac {1}{C},\] \[C_C = C_{B,4} = \frac {3} {5} C.\]

    Díky tomu, že je obvod symetrický, můžeme napsat:

    \[C_D = C_C= \frac {3} {5} C.\]

    Nyní si můžeme obvod opět překreslit

    Překreslení 2

    Kondenzátory \(C_C, C_D\) a 5 jsou zapojeny paralelně

    \[C_{C, D, 5} = C_C + C_D + C_5=\frac{3}{5}C + \frac{3}{5}C +C ,\] \[C_V = C_{C, D, 5} = \frac {11}{5}C.\]

    Výsledná kapacita zapojení \(C_V = \frac {11} {5} C.\)

  • Nápověda – vztahy pro napětí a náboj na kondenzátorech

    Mezi kapacitou, nábojem a napětím kondenzátoru platí vztah (zavedení kapacity kondenzátoru)

    \[Q = UC.\]

    Při sériovém zapojení kondenzátorů je na všech kondenzátorech stejný náboj. Napětí se v tomto případě sčítají

    \[Q = Q_1 = Q_2,\] \[U = U_1 + U_2.\]

    Při paralelním zapojení se náboje na jednotlivých kondenzátorech sčítají. Napětí je na všech kondenzátorech stejné

    \[Q = Q_1 + Q_2,\] \[U = U_1 = U_2.\]

    Při výpočtu napětí a nábojů budeme postupovat opačně než při výpočtu celkové kapacity. Začneme obvodem, kde jsou všechny kondenzátory nahrazeny jedním, a postupně se budeme vracet k „původnímu“ zapojení.

  • Řešení – napětí a náboj

     

    Překreslení 2

    Nyní se vraťme k obvodu s kondenzátory C, D a 5, napětí na těchto kondenzátorech je stejné (viz nápověda) a je stejné jako napětí U na celém zapojení

    \[U_C = U_D = U_5 = U.\]

    Abychom spočítali náboje, využijeme obecný vztah

    \[Q = U C.\tag{1}\]

    Takže dostáváme

    \[Q_C=C_C U=\frac {3} {5} C U,\] \[Q_D=C_D U=\frac {3} {5} C U,\] \[Q_5= C U.\]
    Sektory

    Kondenzátor C vznikl spojením sériově zapojených kondenzátorů 4 a B. Náboje na sériově zapojených kondenzátorech jsou stejné

    \[Q_4 = Q_B = Q_C=\frac {3} {5} C U. \]

    Napětí spočítáme ze vztahu (1)

    \[U_4 = \frac {Q_4}{C_4} = \frac {3}{5}U,\] \[U_B = \frac {Q_4}{C_B} = \frac {2}{5}U.\]

    Kondenzátor B vznikl spojením paralelně zapojených kondenzátorů 3 a A. Napětí na paralelně zapojených kondenzátorech jsou stejná

    \[U_3 = U_A = U_B = \frac {2} {5}U.\]

    Náboje spočítáme ze vztahu (1)

    \[Q_3 = C_3 U_3 = \frac {2} {5}CU,\] \[Q_A = C_A U_A = \frac {1} {5}CU.\]

    Kondenzátor A vznikl spojením sériově zapojených kondenzátorů 1 a 2. Náboje na sériově zapojených kondenzátorech jsou stejné

    \[Q_1 = Q_2 = Q_A = \frac {1} {5} CU.\]

    Napětí spočítáme ze vztahu (1)

    \[U_1 = \frac {Q_1}{C_1} = \frac {1} {5} U,\] \[U_2 = \frac {Q_2}{C_2} = \frac {1} {5} U.\]

    Jelikož je obvod souměrný (a kondenzátory mají stejnou kapacitu), nemusíme již dopočítávat náboje a napětí na kondenzátorech 6, 7, 8 a 9. Hodnoty budou odpovídat hodnotám kondenzátorů souměrných podle osy. Tedy například napětí a náboj na kondenzátoru 1 je stejný jako na kondenzátoru 7.

  • Odpověď

    Celková kapacita zapojení \(C_V = \frac {11} {5}C.\)

    Náboje a napětí na jednotlivých kondenzátorech:

    \[Q_1 = Q_7= \frac {1} {5}CU \quad Q_2=Q_8 = \frac {1} {5}CU \qquad Q_3=Q_6 =\frac{2}{5}CU \qquad Q_4=Q_9 =\frac {3} {5} CU \qquad Q_5 = CU \] \[U_1=U_7= \frac {1} {5}U \qquad U_2=U_8 = \frac {1} {5}U \qquad U_3=U_6 = \frac {2}{5}U \qquad U_4=U_9 = \frac {3} {5} U \qquad U_5 = U \]

    V následujícím schématu je použito označení \(Q=UC\), kde U je napětí zdroje a C je kapacita každého z kondenátorů.

    Výsledky
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze