Pole nabité přímky

Úloha číslo: 534

Nekonečně dlouhá přímka je rovnoměrně nabita nábojem s délkovou hustotou λ.

1) Najděte vztah pro intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti z od přímky.

2) Určete také potenciál ve vzdálenosti z od přímky.

  • Nápověda: Intenzita elektrického pole

    Protože k řešení úlohy se vzhledem k její symetrii hodí využít Gaussovu větu, je třeba si rozmyslet, jak zvolit vhodnou Gaussovu plochu.

  • Nápověda: Potenciál

    Potenciál je roven potenciální energii vztažené na jednotkový náboj

    \[\varphi\,=\, \frac{E_p}{Q}\]

    a potenciální energie je rovna záporně vzaté práci, kterou musí vykonat elektrická síla, aby přenesla náboj z místa s nulovou potenciální energií (v našem případě si toto místo zvolíme ve vzdálenosti a od přímky) do daného místa.

    \[E_p(z)\,=\, - \int^z_{a} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{z}\]

    Pozn.: Pokud bychom volili nulový potenciál v nekonečnu jako u většiny úloh, nemohli bychom integrál dopočítat. Podobně jako v úloze Pole rovnoměrně nabité roviny, viz její oddíl Potenciál.

    Obě strany rovnice vydělíme nábojem Q a dostaneme:

    \[\varphi\,=\, - \int^z_{a} \frac{\vec{F}} {Q}\cdot \mathrm{d}\vec{z}\,.\]

    Podíl síly \(\vec{F}\) a náboje Q je roven intenzitě elektrického pole \(\vec{E}\).

    \[\varphi\,=\, - \int^z_{a} \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{z}\]
  • Rozbor

    Vzhledem k symetrickému rozložení náboje je nejjednodušším způsobem nalezení intenzity elektrického pole v tomto případě využití Gaussovy věty. Gaussova věta vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity uzavřenou plochou a celkovým nábojem, který se nachází uvnitř této plochy.

    Ze symetrie rozložení náboje plyne, že vektor elektrické intenzity míří ve všech místech od přímky a jeho velikost závisí pouze na vzdálenosti od přímky. Důvodem je symetrické rozložení náboje na přímce.

    Jako Gaussovu plochu zvolíme povrch válce, jehož osa splývá s nabitou přímkou. V tomto případě má vektor elektrické intenzity na celé ploše pláště válce stejnou velikost a je na ni kolmý. Naopak s podstavami válce je vektor intenzity rovnoběžný, proto je tok intenzity podstavami roven nule. Tím se nám zjednoduší výpočet celkového toku intenzity. Uvnitř Gaussovy plochy je uzavřena část přímky, a tím i odpovídající část náboje.

    Potenciál vypočítáme z elektrické intenzity. Potenciál v daném místě se až na znaménko rovná integrálu intenzity z místa s nulovým potenciálem do tohoto místa. Nulový potenciál zvolíme ve vzdálenosti a od přímky. (Podrobnější vysvětlení je uvedeno v nápovědě.)

  • Řešení: Intenzita

    V tomto oddíle určíme intenzitu ve vzdálenost z od přímky.

    Využijeme Gaussovu větu:

    \[\oint_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\] \[\oint_S \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\tag{*}\]

    Náboj je na přímce rozložen rovnoměrně, proto je elektrické pole vytvořené přímkou symetrické. Vektor elektrické intenzity míří ve všech místech od přímky (tj. je na ni kolmý) a jeho velikost závisí pouze na vzdálenosti od přímky.

    Zvolená Gaussova plocha

    Jako Gaussovu plochu volíme povrch válce (na obrázcích vyznačen zeleně), jehož osa splývá s přímkou. Celkový tok intenzity plochou získáme sečtením toku podstavami a pláštěm válce.

    Tok podstavami:

    Vektor elektrické intenzity je rovnoběžný s podstavami Gaussova válce a tok elektrické intenzity podstavami je tedy nulový. Celkový tok intenzity Gaussovou plochou se rovná pouze toku pláštěm válce.

    Tok pláštěm:

    Vektor elektrické intenzity je kolmý k povrchu pláště válce, a proto platí \(\vec{E} \cdot \vec{n}\,=\,En\,=\,E\) (pozn. \(\vec{n}\) je jednotkový vektor).

    S využitím tohoto poznatku můžeme vyjádřit tok intenzity pláštěm a upravit integrál na levé straně Gaussovy věty:

    \[\oint_{pl} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,\oint_{pl} E n\mathrm{d}S\,=\, \oint_{pl} E\mathrm{d}S\,.\]

    Velikost vektoru elektrické intenzity E je ve všech místech pláště Gaussova válce stejná, a proto ji můžeme vyjmout před integrál jako konstantu. Dostáváme tedy vztah

    \[\oint_{pl} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E \oint_{pl} \mathrm{d}S\,=\,E S_{pl}\,,\]

    kde Spl = 2πzl je obsah pláště Gaussova válce (l je délka válce).

    \[\oint_{pl} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E\, 2 \pi z l\]

    Výsledný vztah dosadíme zpět do Gaussovy věty (*).

    \[E 2 \pi z l\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\]

    Vyjádříme velikost intenzity.

    \[E \,=\, \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 z l}\tag{**}\]

    Zbývá vyjádřit náboj Q uvnitř zvolené Gaussovy plochy pomocí zadaných veličin.

    Uvnitř plochy je část přímky o délce l, náboj tedy můžeme vyjádřit pomocí její délky a délkové hustoty náboje λ.

    \[Q\,=\,\lambda l\]

    Dosadíme do vzorce (**)

    \[E \,=\, \frac{\lambda l}{2 \pi \varepsilon_0 z l}\]

    a upravíme. Ve vzdálenosti z má elektrické pole nabité přímky intenzitu:

    \[E \,=\, \frac{ \lambda }{2 \pi \varepsilon_0\,z }\,.\]

    Vidíme, že velikost intenzity E nabité přímky tedy lineárně klesá se vzdáleností z od přímky.

  • Řešení: Potenciál

    Potenciál v daném místě se až na znaménko rovná integrálu intenzity z místa s nulovým potenciálem do daného bodu. Nulový potenciál zvolíme ve vzdálenosti a od přímky. (Podrobnější vysvětlení je uvedeno v nápovědě.)

    \[\varphi (z)\,=\, - \int_{a}^z \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{z}\]

    Pozn.: Pokud bychom volili nulový potenciál v nekonečnu jako u většiny úloh, nemohli bychom integrál dopočítat. Podobně jako v úloze Pole rovnoměrně nabité roviny, viz její oddíl Potenciál.

    Potenciál nezávisí na volbě integrační cesty, proto ji můžeme volit libovolně. V této úloze jako integrační cestu zvolíme část přímky, která je kolmá na nabitou přímku.

    Vektor elektrické intenzity \(\vec{E}\) je rovnoběžný s vektorem \(\vec{z}\), proto můžeme integrál zjednodušit.

    \[ \varphi (z)\,=\, - \int^{z}_{a} E \mathrm{d}z \]

    Do integrálu dosadíme velikost intenzity, kterou jsme si vyjádřili v předchozím oddíle a vytkneme před integrál všechny konstanty

    \[\varphi (z)\,=\, - \int^{z}_{a} \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0}\,\frac{1}{z}\, \mathrm{d}z \,=\, - \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \int^{z}_{a}\frac{1}{z}\, \mathrm{d}z\,.\]

    Vypočítáme integrál

    \[\varphi (z)\,=\,- \,\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\left[\ln z\right]^z_{a}\,.\]

    Dosadíme meze integrálu a vytkneme konstanty:

    \[\varphi (z)\,=\,-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\, \ln z\,+\,\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\, \ln a\,=\,\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\, \left(\ln a\,-\, \ln z\right)\,.\]

    Rozdíl logaritmů je logaritmus podílu.

    \[\varphi (z)\,=\,\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\, \ln \frac{a}{z}\]

    Získali jsme velikost potenciálu vně válce ve vzdálenosti z.

  • Odpověď

    Pro velikost intenzity ve vzdálenosti z od přímky platí vztah

    \[E \,=\, \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 \,z}\,.\]

    Vektor elektrické intenzity míří od přímky (jestliže je náboj přímky kladný).

    Elektrický potenciál pole nabité přímky je dán vztahem

    \[\varphi (z)\,=\,\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\, \ln \frac{a}{z}\,.\]
  • Grafy

    Při kreslení grafů uvažujeme, že je přímka nabita kladným nábojem.

    Graf závislosti velikosti el. intenzity na vzdálenosti od osy válce

    Ve vzdálenosti z od přímky míří vektor směrem od přímky a má velikost

    \[E \,=\, \frac{ \lambda}{ 2\pi \varepsilon_0\,z}\,.\]
    Graf závislosti velikosti el. intenzity na vzdálenosti od přímky

    Graf funkce je spojitý. Jedná se o nepřímou úměrnost, tj. grafem je jedna větev hyperboly.

    Pozn.: Intenzita elektrického pole je spojitá s výjimkou bodů, kdy prochází nabitou plochou. Při průchodu nabitou plochou zůstávají spojité pouze tečné složky vektoru intenzity. Normálové složky se mění „skokem“, který je úměrný plošné hustotě náboje. V této úloze žádné nabité plochy nemáme.

    Graf závislosti el. potenciálu na vzdálenosti od osy válce

    Graf závislosti velikosti potenciálu na vzdálenosti od osy válce

    Elektrický potenciál ve vzdálenosti z má velikost

    \[\varphi (z)\,=\,\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\, \ln \frac{a}{z}\,.\]

    Funkce je na celém intervalu spojitá. Osu z protíná v bodě a, kde jsme si zvolili nulový potenciál.

    Pozn.: Elektrický potenciál je vždy spojitý, protože se jedná vlastně o práci při přenášení jednotkového náboje a ta se nemůže změnit „skokově“. Kromě bodů na nabitých plochách má potenciál spojité také první derivace, tj. je hladký.

  • Odkaz: Jak jinak vypočítat intenzitu v okolí přímky?

    Intenzita elektrického pole přímky se dá vypočítat také přímou integrací. Tento postup je uveden v úloze Nabitá úsečka.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Diplomová práce Lenky Matějíčkové (2010).
×Původní zdroj: Diplomová práce Lenky Matějíčkové (2010).
Zaslat komentář k úloze