Energie pole homogenně polarizované koule

Úloha číslo: 238

Najděte celkovou elektrostatickou energii homogenně polarizované koule.

Co dostanete, jestliže použijete vztah \(\frac{\varepsilon_0}{2}E^2\) pro hustotu energie namísto vztahu \(\frac{1}{2}\vec D\cdot\vec E\) ? Vysvětlete rozdíl.

  • Odkaz

    Výpočet pole homogenně polarizované koule je popsán v úloze Pole homogenně polarizované koule.

  • Nápověda — pole homogenně polarizované koule

    Potenciál φ homogenně polarizované koule o poloměru R se řídí vztahy

    \[\varphi(r,\theta) = \frac{P}{3\varepsilon_0}r\cos\theta, \qquad r\leq R\] \[\varphi(r,\theta) = \frac{P}{3\varepsilon_0}\frac{R^3}{r^2}\cos\theta, \qquad r\geq R.\]
  • Rozbor

    Známe-li potenciál, není těžké vypočíst také intenzitu pole jako jeho záporně vzatý gradient.

    Z intenzity pole a vektoru polarizace pak snadno určíme také vektor elektrické indukce a odtud hustotu energie pole.

    Nakonec zbývá pro výpočet energie celé konfigurace hustotu energie integrovat přes celý prostor.

    Pomocí vztahu

    \[\frac{1}{2}\varepsilon_0E^2\]

    počítáme práci potřebnou na přemístění volného i vázaného náboje z nekonečna (místa nulového potenciálu).

    Oproti tomu pomocí vztahu

    \[\frac{1}{2}\vec D\cdot\vec E\]

    počítáme práci potřebnou na přenesení pouze volných nábojů. Již nyní lze tedy předjímat výsledek, neboť volný náboj se v homogenně polarizovaném tělese nevyskytuje.

    Druhý ze vztahů správně určuje práci na vytvoření systému v případě lineárních dielektrik, ale pro nelineární dielektrika tento význam ztrácí. Náš případ tělesa, které zůstává polarizované i při absenci vnějšího pole, tedy nutně z nelineárního materiálu, to ukazuje velmi dobře. Dodejme, že pro nelineární dielektrika je definice energie systému jako „práce potřebné na jeho vytvoření“ velmi problematická, neboť tato práce v takovém případě závisí na použitém způsobu vytvoření systému.

  • Nápověda — výpočet energie

    Energii podle jednoho i druhého vztahu určujte integrací podle příslušné hustoty, a to zvlášť uvnitř a zvlášť vně koule.

    Vně integrujte pomocí sférických souřadnic, v nich také určete jednotlivé složky elektrické intenzity. Uvědomte si přitom, že vně koule je polarizace nulová, a proto vně koule jsou obě hustoty energie totožné, neboť

    \[\varepsilon_0\vec E + \vec P = \vec D.\]
  • Řešení — pole polarizované koule

    Označme θ úhel, který svírá vektor polarizace s vnější normálou k ploše v daném místě.

    Podle úlohy Pole homogenně polarizované koule je potenciál homogenně polarizované koule je určen vztahy

    \[\varphi(r,\theta) = \frac{P}{3\varepsilon_0}r\cos\theta, \qquad r\leq R,\] \[\varphi(r,\theta) = \frac{P}{3\varepsilon_0}\frac{R^3}{r^2}\cos\theta, \qquad r\geq R.\]

    Určeme elektrickou intenzitu uvnitř koule. Jestliže například umístíme vektor polarizace ve směru osy z, pak \(\cos\theta = z/r\), tudíž

    \[\varphi(x,y,z,\theta) = \frac{Pz}{3\varepsilon_0}, \qquad r\leq R,\]

    a tedy

    \[E_x = -\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 0, \ E_y = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 0\] \[E_z = -\frac{\partial \varphi}{\partial z} = -\frac{P}{3\varepsilon_0}.\]

    Odtud vyplývá, že uvnitř koule je homogenní pole.

    Oproti tomu vztah pro potenciál vně koule je totožný s potenciálem ideálního dipólu s celkovým dipólovým momentem \(\vec p = \varphi\vec P = \frac{4}{3}\pi R^3\vec P\).

    Vně koule tedy pole vypadá jako pole ideálního dipólu s dipólovým momentem \(\vec p\). Integraci energie bude vhodné provést ve sférických souřadnicích, neboť integrujeme přes doplněk koule. Vyjádřeme si tedy elektrickou intenzitu ve sférických souřadnicích. Protože pro potenciál dipólu platí

    \[\varphi(r,\theta,\phi) = \frac{\vec p\cdot \vec r}{4\pi\varepsilon_0r^3} = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2},\]

    dostáváme pro jednotlivé složky intenzity podle vztahu \(\vec E = -\nabla\varphi\)

    \[E_r = -\frac{\partial \varphi}{\partial r} = \frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}\] \[E_\theta = -\frac{1}{r}\frac{\partial \varphi}{\partial \theta} = \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}\] \[E_\phi = -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \varphi}{\partial \phi} = 0.\]
  • Řešení – výpočet energie podle prvního vztahu

    š

    Pojďme nyní spočítat „elektrostatickou energii systému“ podle vztahu

    \[W = \int_{\mathrm{prostor}} \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2\,{\rm d}V,\]

    kde integrujeme přes celý prostor. Je rozumné rozdělit integrál na oblast uvnitř a vně koule. Protože uvnitř koule je homogenní pole a velikost intenzity E = Ez jsme spočetli výše, má příspěvek „zevnitř“ velikost

    \[W_1 = \int_{\mathrm{vnitrek}} \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2\,{\rm d}V = \frac{1}{2}\varepsilon_0\left(\frac{P}{3\varepsilon_0}\right)^2\cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2\pi}{27}\frac{P^2R^3}{\varepsilon_0}.\]

    Vně koule jsme vypočetli složky intenzity ve sférických souřadnicích. Platí

    \[E^2 = E_r^2 + E_\theta^2 + E_\phi^2,\]

    po dosazení a úpravě

    \[E^2 = \left(\frac{p}{4\pi\varepsilon_0r^3}\right)^2(1+3\cos^2\theta).\]

    Protože ve sférických souřadnicích pro objemový element platí \({\rm d}V = r^2\sin\theta\,{\rm d}r\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi\), pak s přihlédnutím ke vztahu pro p počítáme integrál

    \[W_2 = \int_{\mathrm{vne}} \frac{\varepsilon_0}{2}E^2\,{\rm d}V=\]

    integrál přes doplněk koule napíšeme ve sférických souřadnicích

    \[= \int_0^\pi\int_R^\infty\int_0^{2\pi} \frac{\varepsilon_0}{2}\left(\frac{R^3P}{3\varepsilon_0}\right)^2\frac{1}{r^6}(1+3\cos^2\theta)\,r^2\sin\theta\,{\rm d}\phi\,{\rm d}r\,{\rm d}\theta =,\]

    přičemž trojný integrál můžeme rozdělit na tři nezávislé integrály (podle Fubiniovy věty)

    \[= \frac{\varepsilon_0}{2}\left(\frac{R^3P}{3\varepsilon_0}\right)^2{\cdot} 2\pi \int_R^\infty \frac{1}{r^4}\,{\rm d}r\ \int_0^\pi (1+3\cos^2\theta)\,\sin\theta\,{\rm d}\theta =,\]

    integrál přes proměnnou r vypočteme přímo, integrál přes úhel θ pomocí substituce t = cos θ, dt = –sin θ dθ

    \[= \frac{\pi(R^3P)^2}{9\varepsilon_0}\cdot \left[-\frac{1}{3r^3}\right]_R^\infty\cdot \left[-\cos\theta-\cos^3\theta\right]_0^\pi = \frac{4\pi R^3P^2}{27\varepsilon_0}.\]

    Pro celkovou „elektrostatickou energii systému“ máme

    \[W = W_1 + W_2 = \frac{2\pi R^3P^2}{9\varepsilon_0}.\]

    Význam vypočtené hodnoty je následující: jde skutečně o celkovou elektrostatickou energii systému, nikoliv ale bdquo;o práci nutnou k vytvoření systému“. Není totiž do ní zahrnuta energie potřebná k polarizaci molekul.

  • Řešení — výpočet energie podle druhého vztahu

    Oproti prvnímu případu výpočet pomocí vztahu \(\frac{1}{2}\vec D\cdot\vec E\) zahrnuje i energii nutnou k polarizaci molekul. Počítejme tedy podle tohoto vztahu: uvědomme si, že \(\vec D = \varepsilon_0\vec E + \vec P\). Protože vně koule je \(\vec P = \vec 0\), je příspěvek vně koule W'2 totožný s již vypočtenou hodnotou W2. Uvnitř koule pak podle dříve vypočteného platí, že

    \[\vec E = -\frac{1}{3\varepsilon_0}\vec P,\]

    tudíž

    \[\vec D = -2\varepsilon_0\vec E\] \[\frac{1}{2}\vec D\cdot\vec E = (-2)\cdot \frac{\varepsilon_0}{2}E^2.\]

    Odtud vyplývá, že příspěvek vnitřku koule W'1 je roven (−2)násobku hodnoty W1, a tedy

    \[W^,_1 = -\frac{4\pi}{27}\frac{P^2R^3}{\varepsilon_0}.\]

    Odtud ihned vyplývá, že

    \[W^, = W^,_1 + W^,_2 = 0.\]

    To není nijak překvapující, uvědomíme-li si, že výraz

    \[\int_{\mathrm{prostor}} \frac{1}{2}\vec D\cdot\vec E\,dV,\]

    můžeme interpretovat také jako práci vykonanou na volný náboj v systému, přičemž v našem systému se žádný volný náboj nevyskytuje.

  • Odpověď

    Energie systému určená podle vztahu

    \[\int_{\mathrm{prostor}} \frac{1}{2}\vec D\,\cdot\,\vec E\,dV\]

    je nulová. Vztah udává práci vykonanou na přenesení volného náboje z nekonečna. Z této interpretace je zřejmé, proč je nulová – v systému není žádný volný náboj.

    Energie systému určená podle vztahu

    \[\int_{\mathrm{prostor}} \frac{\varepsilon_0}{2}\vec E\,\cdot\,\vec E\,dV\]

    je určena vztahem

    \[W = \frac{2\pi R^3P^2}{9\varepsilon_0} \ .\]

    Vzhledem k energii nutné k vytvoření systému do ní není započítána energie daná polarizací molekul.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Zaslat komentář k úloze