Energie pole homogenně polarizované koule
Úloha číslo: 238
Najděte celkovou elektrostatickou energii homogenně polarizované koule.
Co dostanete, jestliže použijete vztah \(\frac{\varepsilon_0}{2}E^2\) pro hustotu energie namísto vztahu \(\frac{1}{2}\vec D\cdot\vec E\) ? Vysvětlete rozdíl.
Odkaz
Výpočet pole homogenně polarizované koule je popsán v úloze Pole homogenně polarizované koule.
Nápověda — pole homogenně polarizované koule
Potenciál φ homogenně polarizované koule o poloměru R se řídí vztahy
\[\varphi(r,\theta) = \frac{P}{3\varepsilon_0}r\cos\theta, \qquad r\leq R,\] \[\varphi(r,\theta) = \frac{P}{3\varepsilon_0}\frac{R^3}{r^2}\cos\theta, \qquad r\geq R.\]Rozbor
Známe-li potenciál, není těžké vypočíst také intenzitu pole jako jeho záporně vzatý gradient.
Z intenzity pole a vektoru polarizace pak snadno určíme také vektor elektrické indukce a odtud hustotu energie pole.
Nakonec zbývá pro výpočet energie celé konfigurace hustotu energie integrovat přes celý prostor.
Pomocí vztahu
\[\frac{1}{2}\varepsilon_0E^2\]počítáme práci potřebnou na přemístění volného i vázaného náboje z nekonečna (místa nulového potenciálu).
Oproti tomu pomocí vztahu
\[\frac{1}{2}\vec D\cdot\vec E\]počítáme práci potřebnou na přenesení pouze volných nábojů. Již nyní lze tedy předjímat výsledek, neboť volný náboj se v homogenně polarizovaném tělese nevyskytuje.
Druhý ze vztahů správně určuje práci na vytvoření systému v případě lineárních dielektrik, ale pro nelineární dielektrika tento význam ztrácí. Náš případ tělesa, které zůstává polarizované i při absenci vnějšího pole, tedy nutně z nelineárního materiálu, to ukazuje velmi dobře. Dodejme, že pro nelineární dielektrika je definice energie systému jako „práce potřebné na jeho vytvoření“ velmi problematická, neboť tato práce v takovém případě závisí na použitém způsobu vytvoření systému.
Nápověda — výpočet energie
Energii podle jednoho i druhého vztahu určujte integrací podle příslušné hustoty, a to zvlášť uvnitř a zvlášť vně koule.
Vně integrujte pomocí sférických souřadnic, v nich také určete jednotlivé složky elektrické intenzity. Uvědomte si přitom, že vně koule je polarizace nulová, a proto vně koule jsou obě hustoty energie totožné, neboť
\[\varepsilon_0\vec E + \vec P = \vec D.\]Řešení — pole polarizované koule
Označme θ úhel, který svírá vektor polarizace s vnější normálou k ploše v daném místě.
Podle úlohy Pole homogenně polarizované koule je potenciál homogenně polarizované koule určen vztahy
\[\varphi(r,\theta) = \frac{P}{3\varepsilon_0}r\cos\theta, \qquad r\leq R,\] \[\varphi(r,\theta) = \frac{P}{3\varepsilon_0}\frac{R^3}{r^2}\cos\theta, \qquad r\geq R.\]Určeme elektrickou intenzitu uvnitř koule. Jestliže například umístíme vektor polarizace ve směru osy z, pak \(\cos\theta = z/r\), tudíž
\[\varphi(x,y,z,\theta) = \frac{Pz}{3\varepsilon_0}, \qquad r\leq R,\]a tedy
\[E_\mathrm{x} = -\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 0, \ E_\mathrm{y} = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 0,\] \[E_\mathrm{z} = -\frac{\partial \varphi}{\partial z} = -\frac{P}{3\varepsilon_0}.\]Odtud vyplývá, že uvnitř koule je homogenní pole.
Oproti tomu vztah pro potenciál vně koule je totožný s potenciálem ideálního dipólu s celkovým dipólovým momentem \(\vec p = \varphi\vec P = \frac{4}{3}\pi R^3\vec P\).
Vně koule tedy pole vypadá jako pole ideálního dipólu s dipólovým momentem \(\vec p\). Integraci energie bude vhodné provést ve sférických souřadnicích, neboť integrujeme přes doplněk koule. Vyjádřeme si tedy elektrickou intenzitu ve sférických souřadnicích. Protože pro potenciál dipólu platí
\[\varphi(r,\theta,\phi) = \frac{\vec p\cdot \vec r}{4\pi\varepsilon_0r^3} = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2},\]dostáváme pro jednotlivé složky intenzity podle vztahu \(\vec E = -\nabla\varphi\)
\[E_\mathrm{r} = -\frac{\partial \varphi}{\partial r} = \frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3},\] \[E_\mathrm{\theta} = -\frac{1}{r}\frac{\partial \varphi}{\partial \theta} = \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3},\] \[E_\mathrm{\phi} = -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \varphi}{\partial \phi} = 0.\]Řešení – výpočet energie podle prvního vztahu
Pojďme nyní spočítat „elektrostatickou energii systému“ podle vztahu
\[W = \int_{\mathrm{prostor}} \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2\,{\rm d}V,\]kde integrujeme přes celý prostor. Je rozumné rozdělit integrál na oblast uvnitř a vně koule. Protože uvnitř koule je homogenní pole a velikost intenzity E = Ez jsme spočetli výše, má příspěvek „zevnitř“ velikost
\[W_1 = \int_{\mathrm{vnitrek}} \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2\,{\rm d}V = \frac{1}{2}\varepsilon_0\left(\frac{P}{3\varepsilon_0}\right)^2\cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2\pi}{27}\frac{P^2R^3}{\varepsilon_0}.\]Vně koule jsme vypočetli složky intenzity ve sférických souřadnicích. Platí
\[E^2 = E_\mathrm{r}^2 + E_\theta^2 + E_\phi^2,\]po dosazení a úpravě:
\[E^2 = \left(\frac{p}{4\pi\varepsilon_0r^3}\right)^2(1+3\cos^2\theta).\]Protože ve sférických souřadnicích pro objemový element platí \({\rm d}V = r^2\sin\theta\,{\rm d}r\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi\), pak s přihlédnutím ke vztahu pro p počítáme integrál
\[W_2 = \int_{\mathrm{vne}} \frac{\varepsilon_0}{2}E^2\,{\rm d}V=,\]integrál přes doplněk koule napíšeme ve sférických souřadnicích
\[= \int_0^\pi\int_\mathrm{R}^\infty\int_0^{2\pi} \frac{\varepsilon_0}{2}\left(\frac{R^3P}{3\varepsilon_0}\right)^2\frac{1}{r^6}(1+3\cos^2\theta)\,r^2\sin\theta\,{\rm d}\phi\,{\rm d}r\,{\rm d}\theta =,\]přičemž trojný integrál můžeme rozdělit na tři nezávislé integrály (podle Fubiniovy věty)
\[= \frac{\varepsilon_0}{2}\left(\frac{R^3P}{3\varepsilon_0}\right)^2{\cdot} 2\pi \int_\mathrm{R}^\infty \frac{1}{r^4}\,{\rm d}r\ \int_0^\pi (1+3\cos^2\theta)\,\sin\theta\,{\rm d}\theta =,\]integrál přes proměnnou r vypočteme přímo, integrál přes úhel θ pomocí substituce t = cos θ, dt = –sin θ dθ:
\[= \frac{\pi(R^3P)^2}{9\varepsilon_0}\cdot \left[-\frac{1}{3r^3}\right]_R^\infty\cdot \left[-\cos\theta-\cos^3\theta\right]_0^\pi = \frac{4\pi R^3P^2}{27\varepsilon_0}.\]Pro celkovou „elektrostatickou energii systému“ máme
\[W = W_1 + W_2 = \frac{2\pi R^3P^2}{9\varepsilon_0}.\]Význam vypočtené hodnoty je následující: jde skutečně o celkovou elektrostatickou energii systému, nikoliv ale „o práci nutnou k vytvoření systému“. Není totiž do ní zahrnuta energie potřebná k polarizaci molekul.
Řešení — výpočet energie podle druhého vztahu
Oproti prvnímu případu výpočet pomocí vztahu \(\frac{1}{2}\vec D\cdot\vec E\) zahrnuje i energii nutnou k polarizaci molekul. Počítejme tedy podle tohoto vztahu: uvědomme si, že \(\vec D = \varepsilon_0\vec E + \vec P\). Protože vně koule je \(\vec P = \vec 0\), je příspěvek vně koule W'2 totožný s již vypočtenou hodnotou W2. Uvnitř koule pak podle dříve vypočteného platí, že
\[\vec E = -\frac{1}{3\varepsilon_0}\vec P,\]tudíž
\[\vec D = -2\varepsilon_0\vec E\] \[\frac{1}{2}\vec D\cdot\vec E = (-2)\cdot \frac{\varepsilon_0}{2}E^2.\]Odtud vyplývá, že příspěvek vnitřku koule W'1 je roven (−2)násobku hodnoty W1, a tedy
\[W^,_1 = -\frac{4\pi}{27}\frac{P^2R^3}{\varepsilon_0}.\]Odtud ihned vyplývá, že
\[W^, = W^,_1 + W^,_2 = 0.\]To není nijak překvapující, uvědomíme-li si, že výraz
\[\int_{\mathrm{prostor}} \frac{1}{2}\vec D\cdot\vec E\,dV\]můžeme interpretovat také jako práci vykonanou na volný náboj v systému, přičemž v našem systému se žádný volný náboj nevyskytuje.
Odpověď
Energie systému určená podle vztahu
\[\int_{\mathrm{prostor}} \frac{1}{2}\vec D\,\cdot\,\vec E\,dV\]je nulová. Vztah udává práci vykonanou na přenesení volného náboje z nekonečna. Z této interpretace je zřejmé, proč je nulová — v systému není žádný volný náboj.
Energie systému určená podle vztahu
\[\int_{\mathrm{prostor}} \frac{\varepsilon_0}{2}\vec E\,\cdot\,\vec E\,dV\]je určena vztahem
\[W = \frac{2\pi R^3P^2}{9\varepsilon_0} \ .\]Vzhledem k energii nutné k vytvoření systému do ní není započítána energie daná polarizací molekul.
