Indukčnost cívky rotující v magnetickém poli

Úloha číslo: 476

Válcová cívka dlouhá 10 cm se 600 závity a poloměrem 2 cm rotuje v magnetickém poli o magnetické indukci 3·10-3 T. Určete:

a) maximální indukční tok vnitřkem cívky,

b) indukčnost cívky.

cívka v magnetickém poli
  • Nápověda a) Maximální hodnota magnetického indukčního toku

    Magnetický indukční tok cívkou bude největší, pokud závity cívky bude procházet „co nejvíce“ magnetických indukčních čar.

    Uvědomte si, v jaké poloze vůči vektoru magnetické indukce musí být umístněna cívka, aby byl magnetický indukční tok cívkou maximální.

  • Nápověda b) Co je indukčnost cívky

    Indukčnost cívky je skalární veličina, která charakterizuje vlastní indukci v uzavřeném vodiči, např. v cívce. Uzavřený vodič, kterým prochází proud I, vytváří kolem sebe magnetické pole, pro které můžeme určit magnetický indukční tok Φ daným vodičem. Indukčnost vodiče je potom dána vztahem

    \[L=\frac{\Phi}{I}.\]

    Magnetické pole je úměrné velikosti elektrického proudu vodičem a magnetický indukční tok je úměrný magnetickému poli, z toho plyne, že indukčnost nezávisí na proudu. Její hodnota je dána jen tvarem a uspořádáním vodiče.

    Jednotkou inukčnosti je henry – značka H.

  • Rozbor

    Maximální indukční tok cívkou

    Magnetický indukční tok cívkou bude největší, pokud závity cívky bude procházet „nejvíce“ magnetických indukčních čar. To nastane v případě, že vektor magnetické indukce bude kolmý na plochu závitu cívky.

    Indukčnost cívky

    Protože se cívka otáčí v magnetickém poli, mění se magnetický indukční tok cívkou a v cívce se indukuje časově proměnný elektrický proud. Jestliže cívkou začne procházet proud, v jejím okolí se vytvoří magnetické pole. Magnetický indukční tok tohoto pole je úměrný indukovanému proudu. Konstanta úměrnosti mezi magnetickým indukčním tokem cívky a indukovaným proudem, se nazývá indukčnost cívky.

  • Řešení a) Maximální indukční tok cívkou

    Vyjádříme vztah pro magnetický indukční tok cívkou. Protože můžeme magnetické pole, ve kterém se nachází cívka, považovat za homogenní, magnetický indukční tok Φ cívkou je pak dán vztahem

    \[\Phi=NBS\cos{\alpha},\]

    kde α je úhel mezi vektorem magnetické indukce \(\vec{B}\) a vektorem normály plochy \(\vec{S}.\)

    Magnetický indukční tok cívkou bude maximální, pokud \(\cos{\alpha}=1\), tj \(\alpha=0^\circ\). Vektory \(\vec{B}\) a \(\vec{S}\) tedy budou rovnoběžné. To znamená, že vektor magnetické indukce \(\vec{B}\) je kolmý na plochu smyčky S. Maximální indukční tok cívkou má pak tvar

    \[\Phi_{max}=NBS.\]

    Plocha závitu cívky S se rovná obsahu kruhu o poloměru r.

    Pro maximální indukční tok Φmax cívkou tak platí

    \[\Phi_{max}=\pi r^2 NB.\]
  • Řešení b) Indukčnost cívky 

    Rotující cívka se nachází v magnetickém poli a díky němu se v ní indukuje napětí. Pokud je cívka propojena, bude se v ní indukovat i proud. Tento proud bude vytvářet další, indukované magnetické pole, říkejme mu třeba pole cívky. Indukčnost L je konstanta úměrnosti mezi okamžitým magnetickým tokem pole cívky Φ a okamžitým proudem i, který cívkou prochází, tj.

    \[\Phi(t)=Li(t).\tag{1}\]

    Budeme uvažovat polohu s největší hodnotou magnetického indukčního toku. V předchozím oddíle jsme odvodili, že magnetický indukční tok bude maximální, pokud bude vektor magnetické indukce kolmý na plochu cívky.

    Pro magnetický indukční tok tak platí

    \[\Phi=NBS.\]

    Za velikost magnetické indukce dosadíme vztah pro magnetickou indukci uvnitř dlouhé cívky

    \[B=\mu_o\frac{N}{l}i.\]

    Dílčí vztahy dosadíme do rovnice (1)

    \[NBS=Li,\] \[N\mu_o\frac{N}{l}iS=Li\]

    a vyjádříme indukčnost cívky L

    \[L=\mu_o\frac{N^2S}{l}.\]
  • Zápis a číselné dosazení

    \(l\,=\,10\,\mathrm{cm}=\,0{,}10\,\mathrm{m}\) délka cívky
    \(r\,=\,2\,\mathrm{cm}=\,0{,}02\,\mathrm{m}\) poloměr cívky
    \(B\,=\,3{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{T}\) magnetická indukce pole
    \(N\,=\,600\) počet závitů cívky
    \(\Phi\,= \,?\,\mathrm{(Wb)}\) maximální indukční tok vnitřkem cívky
    \(L\,= \,?\,\mathrm{(H)}\) indukčnost cívky
    Z tabulek:
    \(\mu_o\,= \,4\pi\cdot10^{-7}\,\mathrm{Hm^{-1}}\) permeabilita vakua

    \[\Phi_{max}=\pi r^2 NB=\pi\cdot0{,}02^2{\cdot}600\cdot 3{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{Wb}\,\dot{=}\,2{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{Wb}\] \[L=\mu_o\pi\,\frac{(Nr)^2}{l}=4\cdot\pi^2{\cdot}10^{-7}\cdot\frac{(600{\cdot}0{,}02)^2}{0{,}10}\,\mathrm{H}\,\dot{=}\,6{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{H}\]
  • Odpověď

    Maximální indukční tok, který bude procházet cívkou, má přibližně hodnotu 2 mWb.

    Cívka má indukčnost přibližně 6 mH.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze