Nehomogenní prostředí mezi válcovými elektrodami

Úloha číslo: 308

Obrázek k zadání úlohy

Prostor mezi dvěma souosými válcovými elektrodami o (velké) délce L a poloměrech a, b (a < b) je vyplněn materiálem, jehož vodivost σ se mění se vzdáleností od středu válce a lze ji popsat vztahem \(\sigma\left(r\right)\,=\,\frac{c}{r}\), kde a < r < b a c je konstanta.

Najděte celkový odpor materiálu mezi elektrodami.

Poznámka: Tuto úlohu zde řešíme dvěma způsoby:

I. pomocí odporů válcových „slupek“,
II. s využitím Ohmova zákona v diferenciálním tvaru.

  • I. Nápověda

    Podívejte se na řešení podobné, o něco jednodušší úlohy Elektrický proud mezi válcovými elektrodami metodou přímé integrace odporů jednotlivých částí vodiče.

  • I. Rozbor

    Prostor mezi válcovými elektrodami rozdělíme na tenké válcové slupky o poloměru r, kde a < r < b.

    Válcový vodič rozdělený na tenké válcové proužky
    Válec rozdělený na tenké válcové proužky - pohled shora

    Celý vodič je vlastně sériovým zapojením těchto slupek. Celkový odpor materiálu mezi elektrodami tedy získáme jako součet odporů všech slupek.

    Elektrický odpor jedné válcové slupky je závislý na délce a tloušťce slupky a na měrné elektrické vodivosti materiálu.

  • I. Řešení

    Prostor mezi válcovými elektrodami rozdělíme na tenké válcové slupky o poloměru r (a < r < b). Celý vodič je tak sériovým zapojením těchto slupek.

    Válec rozdělený na tenké válcové proužky
    Válec rozdělený na tenké válcové proužky - pohled shora

    Elektrický odpor R homogenního vodiče je nepřímo úměrný vodivosti materiálu σ. Velikost elektrického odporu vypočítáme podle vztahu:

    \[ R\,=\,\frac{1}{\sigma}\frac{l}{S}\,, \]

    kde l je délka vodiče a S jeho průřez (plocha).

    Plocha jedné válcové slupky je rovna 2πrL. „Délku“ slupky označíme dr. Odpor dR jedné válcové slupky tedy vypočítáme pomocí vztahu:

    \[ \mathrm{d}R\,=\,\frac{1}{\sigma\left(r\right)}\,\frac{l}{S}\,=\, \frac{r}{c}\,\frac{\mathrm{d}r}{2\pi rL} \] \[ \mathrm{d}R\,=\,\frac{\mathrm{d}r}{2\pi c L}\,. \]

    Válcové slupky jsou zapojeny sériově. Celkový odpor R materiálu mezi válcovými elektrodami tedy získáme součtem (integrací) odporů jednotlivých válcových slupek dR:

    \[ R\,=\,\int_a^b\frac{\mathrm{d}r}{2\pi c L} \] \[ R\,=\,\frac{b\,-\,a}{2\pi c L}\,. \]
  • II. Nápověda

    Zkuste si nejprve vyřešit jednodušší úlohu Elektrický proud mezi válcovými elektrodami, a to II. způsobem, tj. s využitím Ohmova zákona v diferenciálním tvaru.

  • II. Rozbor

    Prostor mezi válcovými elektrodami si rozdělíme na tenké válcové proužky o poloměru r, kde a < r < b.

    Válec rozdělený na tenké válcové proužky
    Válec rozdělený na tenké válcové proužky - pohled shora

    Z válcové symetrie situace vyplývá, že ve všech místech takové slupky, je stejná hustota proudu, kterou můžeme vyjádřit pomocí celkového proudu a plochy slupky. Celkový proud mezi elektrodami je stálý, nezávislý na poloměru r.

    Ohmův zákon pro homogenní vodiče v diferenciálním tvaru říká, že hustota proud procházejícího vodičem se rovná součinu měrné elektrické vodivosti a intenzity elektrického pole vodiče. Z tohoto zákona si vyjádříme intenzitu elektrického pole.

    Napětí mezi elektrodami získáme integrací intenzity elektrického pole. Celkový odpor materiálu pak určíme jako podíl napětí mezi elektrodami a proudu, který mezi elektrodami prochází.

  • II. Řešení

    Pokud mezi elektrodami prochází stálý proud I, pak z válcové symetrie situace vyplývá, že v tenkém válcovém proužku o poloměru r, kde a < r < b, je v každém místě stejná hustota proudu j(r) (protože plocha proužku závisí na jeho poloměru r, bude na poloměru záviset i hustota proudu). Celkový proud v tomto pásku tedy vypočítáme:

    \[ I\,=\,j\left(r\right)\cdot S\,=\,j\left(r\right)\cdot 2\pi rL. \]

    Z tohoto vzorce si vyjádříme hustotu proudu j(r):

    \[ j\left(r\right)\,=\,\frac{I}{2\pi rL}\,. \]

    Z diferenciálního tvaru Ohmova zákona

    \[ \vec{j\,}\,=\,\sigma\vec{E}, \]

    kde \(\vec{j\,}\) je hustota elektrického proudu, \(\sigma\,=\,\frac{c}{r}\) měrná elektrická vodivost a \(\vec{E}\) intenzita elektrického pole, určíme velikost intenzity elektrického pole na povrchu tohoto pásku:

    \[ E\left(r\right)\,=\,\frac{j\left(r\right)}{\sigma\left(r\right)}\,=\,\frac{I}{2\pi\sigma\left(r\right)rL}\,=\,\frac{I}{2\pi\frac{c}{r}rL}\,=\,\frac{I}{2\pi\sigma cL}\,. \]

    Napětí U mezi elektrodami získáme integrací intenzity elektrického pole:

    \[ U\,=\,\int_a^b \vec{E}\left(r\right)\cdot \mathrm{d}\vec{r\,}. \]

    Díky válcové symetrii úlohy bude intenzita elektrického pole mířit v každém bodě vodiče radiálním směrem. Vektory \(\vec{E}\) a \(\mathrm{d}\vec{r\,}\) jsou tedy rovnoběžné a jejich skalární součin je proto roven součinu jejich velikostí:

    \[ U\,=\,\int_a^b E\left(r\right)\,\mathrm{d}r\,=\,\frac{I}{2\pi cL}\int_a^b \mathrm{d}r\,=\,\frac{I}{2\pi cL}\left(b\,-\,a\right). \]

    Odpor materiálu získáme jako podíl napětí U mezi elektrodami a proudu I, který mezi elektrodami prochází:

    \[ R\,=\,\frac{U}{I}\,=\,\frac{\frac{I}{2\pi cL}\left(b\,-\,a\right)}{I}\,=\,\frac{b\,-\,a}{2\pi cL}\,. \]
  • Odpověď

    Celkový odpor materiálu mezi elektrodami vypočítáme ze vztahu

    \[ R\,=\,\frac{b\,-\,a}{2\pi cL}\,. \]
  • Odkaz na podobnou úlohu

    Zkuste si vyřešit také jednodušší úlohu Elektrický proud mezi válcovými elektrodami.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Diplomová práce Marie Snětinová (2010).
×Původní zdroj: Diplomová práce Marie Snětinová (2010).
Zaslat komentář k úloze