Paralelní zapojení reálných zdrojů

Úloha číslo: 2149

Určete elektromotorické napětí \(U_{e,v}\) a vnitřní odpor \(R_{i,v}\) zdroje, kterým bychom ekvivalentně nahradili zapojení n stejných paralelně zapojených baterií s parametry \(U_{e}\) a \(R_i\). Úlohu řešte metodou lineární superpozice.

  • Odkaz – metoda lineární superpozice

    O tom, co je linearní superpozice a jak ji lze použít na příklady tohoto typu, se můžete dočíst na odkazu Metoda lineární superpozice.

  • Rozbor

    Rozbor

    Metodou lineární superpozice vyjádříme proud I procházející rezistorem o odporu R. Výsledný vztah poté srovnáme s Ohmovým zákonem pro uzavřený obvod a odsud určíme hledané elektromotorické napětí a vnitřní odpor náhradního zdroje.

    Stručně o metodě lineární superpozice:

    Metodu lineární superpozice používáme v obvodech, ve kterých působí více zdrojů elektrické energie. Proud na vybraném prvku se určí tak, že necháme v obvodu zapojený jen jeden zdroj napětí a ostatní zdroje napětí nahradíme jejich vnitřním odporem. Stanovíme proud na uvažovaném prvku v takto upraveném obvodu. Toto provedeme postupně pro každý zdroj. Výsledný proud na uvažovaném prvku je potom součet proudů vyvolaných jednotlivými zdroji samostatně.

  • Řešení

    Úlohu řešíme metodou lineární superpozice. Necháme první zdroj napětí, ostatní zdroje nahradíme jejich vnitřními odpory a vyjádříme proud procházející rezistorem o odporu R.

    Řešení

    Nejprve vyjádříme celkový odpor zapojení. V obvodu je \((n-1)\) paralelně zapojených rezistorů s odporem \(R_i\) k nim je paralelně zapojen rezistor o odporu R a tato soustava rezistorů je v sérii s odporem \(R_i\).

    Celkový odpor \((n-1)\) paralelně zapojených rezistorů s odporem \(R_i\) se spočítá jako

    \[\frac{1}{R_{v1}}=\frac {1}{R_i} + ... + \frac {1}{R_i}= \frac {n-1}{R_i},\] \[{R_{v1}}=\frac {R_i} {n-1}.\]

    Připojíme-li paralelně k tomuto rezistoru rezistor o odporu R, výsledný odpor bude

    \[\frac {1}{R_{v2}}=\frac {1}{\frac {R_i} {n-1}} + \frac {1}{R}, \] \[R_{v2}=\frac {R_i R} {(n-1)R + R_i}.\]

    Tento výsledný odpor je v sérii s vnitřním odporem zdroje, celkový odpor zapojení

    \[R_c=R_i + \frac {R_i R} {(n-1)R + R_i}.\]

    Z Ohmova zákona vyjádříme proud \(I_1\), což je proud, který prochází obvodem na obrázku

    \[I_1 = \frac {U_e}{R_i + \frac {R_i R} {(n-1)R + R_i}} = \frac {U_e[(n-1)R+R_i]}{R_i^2 +(n-1)RR_i + R_iR}=\frac {U_e[(n-1)R+R_i]}{R_i^2 +nRR_i},\]

    který se rozdělí do jednotlivých větví paralelního zapojení \((n-1)\) rezistorů s odporem \(R_i\) a rezistoru s odporem \(R\). Při výpočtu proudu \(I_{R1}\) rezistorem s odporem \(R\) využijeme toho, že v paralelním zapojení se proud rozdělí v obráceném poměru k odporům

    \[\frac{I_{R1}}{I_1} = \frac{R_{v2}}{R},\]

    odkud vyjádříme

    \[I_{R1} = \frac{U_e[(n-1)R+R_i]}{R_i^2 +nRR_i} \frac{\frac{R_i R}{(n-1)R + R_i}}{R} = \frac{U_e}{R_i +nR}. \]

     

    Jelikož máme v zadaném obvodu stejné zdroje, příspěvek k proudu rezistorem \(R\) od každého zdroje bude stejný. Proud procházející rezistorem \(R\) bude

    \[I=nI_{R1} =\frac{n U_e }{R_i +nR}. \]

    Ohmův zákon pro uzavřený obvod má obecně tvar

    \[I=\frac{U_e}{R_i + R}.\]

    Proud procházející rezistorem o odporu R upravíme do tvaru Ohmova zákona pro uzavřený obvod

    \[I=\frac{nU_e}{R_i + nR}=\frac{U_e}{\frac{R_i}{n} +R}.\]

    Porovnáním s Ohmovým zákonem pro uzavřený obvod, získáme

    \[U_{e,v} = U_e.\] \[R_{i,v} = \frac {R_i}{n}.\]

    K čemu je to dobré?

    Paralelní zapojení zdrojů nám zmenší vliv vnitřního odporu a zvýší dodávaný proud.

  • Odpověď

    Elektromotorické napětí zdroje, kterým bychom nahradili n paralelně zapojených zdrojů \(U_{e,v} = U_e\) a odpor tohoto zdoje \(R_{i,v} = \frac {R_i}{n}.\)

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze