Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Zavěšené nabité kuličky
Úloha číslo: 8
Dvě malé kuličky o hmotnostech 0,5 g jsou zavěšeny v jednom bodě na vláknech o délce 1 m. Po nabití stejně velkým elektrickým nábojem se kuličky od sebe rozestoupily na vzdálenost 4 cm.
Jak velkým nábojem byly kuličky nabity?
Nápověda
Jaké síly na kuličky působí a jaký je jejich směr? Zkuste si nakreslit obrázek.Rozbor
Na každou kuličku zavěšenou na vlákně působí tíhová síla a tahová síla vlákna. Naše kuličky jsou navíc nabité, takže se budou vzájemně odpuzovat elektrickou silou. Její velikost získáme pomocí Coulombova zákona.
Obě kuličky jsou v klidu, proto výslednice všech tří sil musí být nulová. Aby výslednice byla nulová, musí být výslednice elektrické a tíhové síly stejně velká a mít opačný směr než tahová síla lanka. Na obrázku můžeme najít dva podobné trojúhelníky („zelený“ a „fialový“). Z podobnosti obou trojúhelníků vyjádříme neznámou velikost elektrické síly a z ní náboj kuliček.
Obrázek působících sil
Řešení
Na každou kuličku zavěšenou na vlákně působí tíhová síla →FG a tahová síla vlákna →Ft. Protože jsou kuličky nabité stejným nábojem, působí na ně navíc odpudivá elektrická síla →Fe.
Velikost elektrické odpudivé síly určíme z Coulombova zákona:
Fe=14πε0Q1Q2r2.Obě kuličky jsou nabity stejně velkým nábojem Q, proto můžeme zápis zjednodušit:
Fe=14πε0Q2r2.Vzhledem k tomu, že jsou kuličky v klidu, je výslednice všech tří sil působících na kuličku rovna nule.
Síla →Fe+→FG musí působit proti tahové síle vlákna →Ft. Díky tomu jsou „zeleně“ a „fialově“ označené trojúhelníky podobné. Z „fialového“ trojúhelníka si vyjádříme tg α:
tgα=FeFG=14πε0Q2r2mg=Q24πε0mgr2.Úhel α nalezneme také v podobném „zeleném“ trojúhelníku. Opět si vyjádříme tangens tohoto úhlu:
tgα=r2v=r2v.Stranu v „zeleného“ trojúhelníka spočítáme pomocí Pythagorovy věty v=√l2−(r2)2 a dosadíme:
tgα=r2√l2−(r2)2=r√4l2−r2.Nyní oba vztahy pro tangens úhlu α porovnáme:
Q24πε0mgr2=r√4l2−r2a vyjádříme z nich neznámý náboj Q:
Q2=4πε0mgr3√4l2−r2, Q=√4πε0mgr3√4l2−r2.Zápis a číselné dosazení:
m=0,5g=5⋅10−4kg hmotnost kuliček l=1m délka vláken r=4cm=4⋅10−2m vzdálenost kuliček Q=?(C) Konstanty vyhledané v tabulkách:
ε0=8,85⋅10−12C2N−1m−2 g=9,8ms−2
Q=√4πε0mgr3√4l2−r2Q=√4π⋅8,85⋅10−12⋅5⋅10−4⋅9,8⋅(4⋅10−2)3√4⋅12−(4⋅10−2)2CQ˙=4,2⋅10−9C˙=4,2nCOdpověď
Každá kulička byla nabita nábojem Q=√4πε0mgr3√4l2−r2˙=4,2nC.
Odkaz na obtížnější úlohu
Úloha, ve které jsou kuličky navíc ponořeny do benzenu, má název Kuličky na niti ponořené do benzenu.