Zavěšené nabité kuličky

Úloha číslo: 8

Dvě malé kuličky o hmotnostech 0,5 g jsou zavěšeny v jednom bodě na vláknech o délce 1 m. Po nabití stejně velkým elektrickým nábojem se kuličky od sebe rozestoupily na vzdálenost 4 cm.

Jak velkým nábojem byly kuličky nabity?

  • Nápověda

    Jaké síly na kuličky působí a jaký je jejich směr? Zkuste si nakreslit obrázek.
  • Rozbor

    Na každou kuličku zavěšenou na vlákně působí tíhová síla a tahová síla vlákna. Naše kuličky jsou navíc nabité, takže se budou vzájemně odpuzovat elektrickou silou. Její velikost získáme pomocí Coulombova zákona.

    Obě kuličky jsou v klidu, proto výslednice všech tří sil musí být nulová. Aby výslednice byla nulová, musí být výslednice elektrické a tíhové síly stejně velká a mít opačný směr než tahová síla lanka. Na obrázku můžeme najít dva podobné trojúhelníky („zelený“ a „fialový“). Z podobnosti obou trojúhelníků vyjádříme neznámou velikost elektrické síly a z ní náboj kuliček.

    Síly působící na kuličky
  • Obrázek působících sil

    Síly působící na kuličky
  • Řešení

    Na každou kuličku zavěšenou na vlákně působí tíhová síla \( \vec{F}_G\) a tahová síla vlákna \( \vec{F}_t\). Protože jsou kuličky nabité stejným nábojem, působí na ně navíc odpudivá elektrická síla \( \vec{F}_e\).

    Velikost elektrické odpudivé síly určíme z Coulombova zákona:

    \[F_e \,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q_1 Q_2}{r^2}\,.\]

    Obě kuličky jsou nabity stejně velkým nábojem Q, proto můžeme zápis zjednodušit:

    \[F_e \,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{r^2}\,.\]

    Vzhledem k tomu, že jsou kuličky v klidu, je výslednice všech tří sil působících na kuličku rovna nule.

    Síla \(\vec{F}_e+\vec{F}_G\) musí působit proti tahové síle vlákna \(\vec{F}_t\). Díky tomu jsou „zeleně“ a „fialově“ označené trojúhelníky podobné. Z „fialového“ trojúhelníka si vyjádříme tg α.

    \[\mathrm{tg}\,\alpha\,=\,\frac{F_e}{F_G}\,=\,\frac{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{r^2}}{mg}\,=\,\frac{Q^2}{4 \pi\varepsilon_0mgr^2}\]

    Úhel α nalezneme také v podobném „zeleném“ trojúhelníku. Opět si vyjádříme tangens tohoto úhlu.

    \[\mathrm{tg}\,\alpha\,=\,\frac{\frac{r}{2}}{v}\,=\,\frac{r}{2v}\]

    Stranu v „zeleného“ trojúhelníka spočítáme pomocí Pythagorovy věty \(v\,=\,\sqrt{ l^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2}\) a dosadíme

    \[\mathrm{tg}\,\alpha\,=\,\frac{r}{2 \sqrt{ l^2-(\frac{r}{2})^2} }\,=\,\frac{r}{ \sqrt{ 4l^2-r^2} }.\]

    Nyní oba vztahy pro tangens úhlu α porovnáme

    \[\frac{Q^2}{4 \pi \varepsilon_0 mgr^2}\,=\,\frac{r}{\sqrt{ 4l^2-r^2} } \]

    a vyjádříme z nich neznámý náboj Q:

    \[Q^2\,=\,\frac{4 \pi \varepsilon_0 mgr^3}{\sqrt{ 4l^2-r^2} } ,\] \[Q\,=\,\sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 mgr^3}{\sqrt{ 4l^2-r^2} } }.\]
  • Zápis a číselné dosazení:

    \(m\,=\,0{,}5\,\mathrm{g}\,=\,5{\cdot} 10^{-4}\,\mathrm{kg}\) hmotnost kuliček
    \(l\,=\,1\,\mathrm{m}\) délka vláken
    \(r\,=\,4\,\mathrm{cm}\,=\,4{\cdot} 10^{-2}\,\mathrm{m}\) vzdálenost kuliček
    \(Q\,=\,?\,\left(\mathrm{C}\right)\)

    Konstanty vyhledané v tabulkách:

    \(\varepsilon_0\,=\,8{,}85{\cdot} 10^{-12}\,\mathrm{ C^2\,N^{-1}\,m^{-2}}\)
    \(g\,=\,9{,}8\,\mathrm{ m\,s^{-2}}\)

    \[\begin{eqnarray} Q\,&=&\,\sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 mgr^3}{\sqrt{ 4l^2-r^2} } }\\ Q\,&=&\,\sqrt{\frac{4\pi \,\cdot\,8{,}85{\cdot} 10^{-12}\, \cdot \,5{\cdot} 10^{-4}\, \cdot\,9{,}8 \,\cdot\, \left(4 {\cdot}10^{-2}\right)^3}{ \sqrt{ 4 {\cdot} 1^2-\left(4 {\cdot}10^{-2}\right)^2}}}\,\mathrm{C}\\ Q\,&\dot=&\,4{,}2{\cdot}10^{-9}\,\mathrm{C}\,\dot=\,4{,}2\,\mathrm{nC} \end{eqnarray}\]
  • Odpověď

    Každá kulička byla nabita nábojem \(Q\,=\,\sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 mgr^3}{\sqrt{ 4l^2-r^2} }} \,\dot=\,4{,}2\,\mathrm{nC} \).

  • Odkaz na obtížnější úlohu

    Úloha, ve které jsou kuličky navíc ponořeny do benzenu, má název Kuličky na niti ponořené do benzenu.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Bartuška, K. (1998). Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední
školy III (1. vydání). Praha: Prometheus. 
Zpracováno v bakalářské práci Lenky Matějíčkové (2007)
×Původní zdroj: Bartuška, K. (1998). Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy III (1. vydání). Praha: Prometheus.
Zpracováno v bakalářské práci Lenky Matějíčkové (2007)
Zaslat komentář k úloze