Elektrický proud mezi válcovými elektrodami

Úloha číslo: 320

Obrázek k zadání úlohy

Dvě válcové elektrody o délce L a o poloměrech a a b, kde b > a, jsou odděleny homogenním materiálem o vodivosti σ. Mezi elektrodami je napětí U. Jaký je elektrický odpor mezi elektrodami? Jaký proud prochází v prostoru mezi elektrodami?

Poznámka: Tuto úlohu zde řešíme třemi způsoby:

I. přímou integrací odporů jednotlivých částí vodiče,
II. s využitím Ohmova zákona (v diferenciálním tvaru),
III. pomocí formální podobnosti se zákony elektrostatiky.

  • I. Nápovědy

  • I. Rozbor

    Vodič si rozdělíme na tenké válcové slupky o poloměru r, kde a < r < b.

    Válec rozdělený na tenké válcové proužky
    Válec rozdělený na tenké válcové proužky - pohled shora

    Celý vodič nyní můžeme brát jako sériové zapojení těchto slupek. Celkový odpor vodiče tedy získáme součtem (integrací) odporů jednotlivých slupek.

    Elektrický odpor válcové slupky je přímo úměrný její „délce“ a nepřímo úměrný „ploše“ slupky a vodivosti materiálu.

    Proud procházející mezi elektrodami se rovná podílu napětí a elektrického odporu mezi elektrodami.

  • I. Řešení

    Válcový prostor mezi elektrodami si rozdělíme na tenké válcové slupky o poloměru r, kde a < r < b.

    Válec rozdělený na tenké válcové proužky
    Válec rozdělený na tenké válcové proužky - pohled shora

    Celý vodič můžeme nyní považovat za sériové zapojení válcových slupek.

    Elektrický odpor vodiče vypočítáme ze vztahu:

    \[R\,=\,\frac{1}{\sigma}\,\frac{l}{S}\,,\]

    kde σ je vodivost materiálu, l délka vodiče a S plocha jeho průřezu.

    V našem případě se „plocha“ jedné slupky rovná 2πrL a délku slupky označíme dr. Odpor Rr válcové slupky pak vyjádříme vztahem:

    \[ R_r\,=\,\frac{1}{\sigma}\,\frac{\mathrm{d}r}{2\pi rL}\,. \]

    Protože jsou válcové slupky zapojeny sériově, bude celkový odpor mezi válcovými elektrodami roven součtu (integraci) všech slupek Rr od poloměru a do poloměru b:

    \[ R\,=\int_a^b\,\frac{1}{\sigma}\,\frac{\mathrm{d}r}{2\pi rL}\,=\, \frac{1}{2\pi \sigma L}\int_a^b\frac{\mathrm{d}r}{r}\,=\,\frac{1}{2\pi \sigma L}\left[\ln{r}\right]_a^b\,=\,\frac{1}{2\pi \sigma L}\,\left(\ln{b}-\ln{a}\right). \]

    Celkový elektrický odpor mezi válcovými elektrodami tedy můžeme vypočítat pomocí vzorce:

    \[ R\,=\,\frac{\ln{\frac{b}{a}}}{2\pi \sigma L}\,. \]

    Proud I procházející mezi elektrodami se rovná podílu napětí U a elektrického odporu R mezi elektrodami:

    \[ I\,=\,\frac{U}{R}\,=\, \frac{U}{\frac{\ln{\frac{b}{a}}}{2\pi \sigma L}}\,=\, \frac{2\pi \sigma L}{\ln{\frac{b}{a}}}\,U. \]
  • II. Nápovědy

  • II. Rozbor

    Prostor mezi válcovými elektrodami si rozdělíme na tenké válcové proužky o poloměru r, kde a < r < b.

    Válec rozdělený na tenké válcové proužky
    Válec rozdělený na tenké válcové proužky - pohled shora

    Z válcové symetrie situace vyplývá, že ve všech místech takové slupky, je stejná hustota proudu, kterou můžeme vyjádřit pomocí celkového proudu a plochy slupky. Celkový proud mezi elektrodami je stálý, nezávislý na poloměru r.

    Ohmův zákon pro homogenní vodiče v diferenciálním tvaru říká, že hustota proud procházejícího vodičem se rovná součinu měrné elektrické vodivosti a intenzity elektrického pole vodiče. Z tohoto zákona si vyjádříme intenzitu elektrického pole.

    Napětí mezi elektrodami získáme integrací intenzity elektrického pole. Celkový odpor materiálu pak určíme jako podíl napětí mezi elektrodami a proudu, který mezi elektrodami prochází.

  • II. Řešení

    Prostor mezi elektrodami si rozdělíme na tenké válcové slupky o poloměru r, kde a < r < b. Z válcové symetrie situace vyplývá, že ve všech místech takové slupky, je stejná hustota proudu j. Pro celkový proud procházející slupkou tedy platí:

    \[ I=S\,j\left(r\right)=2\pi rL\,j\left(r\right). \tag{1}\]

    Celkový proud mezi elektrodami je stálý a není tedy závislý na poloměru r.

    Z diferenciálního tvaru Ohmova zákona pro homogenní vodič

    \[ \vec{j\,}=\,\sigma\vec{E}\mathrm{,} \]

    kde \(\vec{j\,}\) je hustota elektrického proudu, \(\sigma\) je měrná elektrická vodivost a \(\vec{E}\) intenzita elektrického pole, určíme velikost intenzity elektrického pole v dané válcové slupce o poloměru r:

    \[ E\left(r\right)\,=\,\frac{j\left(r\right)}{\sigma}\,. \]

    Hustotu proudu j(r) ve válcovém vodiči o poloměru r získáme ze vztahu (1) a dosadíme:

    \[ E\left(r\right)\,=\,\frac{I}{2\pi\sigma rL}\,. \]

    Napětí mezi elektrodami získáme integrací intenzity elektrického pole:

    \[ U\,=\,\int_a^b\vec{E}\left(r\right)\cdot \mathrm{d}\vec{r\,}. \]

    Protože vektory \(\vec{E}\left(r\right)\) a \(\mathrm{d}\vec{r\,}\) jsou rovnoběžné, je jejich skalární součin roven součinu jejich velikostí. Tedy:

    \[ U\,=\,\int_a^bE\left(r\right)\,\mathrm{d}r. \]

    Do této rovnice dosadíme za intenzitu a zintegrujeme:

    \[ U\,=\,\int_a^bE\left(r\right)\,\mathrm{d}r\,=\,\int_a^b\frac{I}{2\pi\sigma rL}\,\mathrm{d}r\,=\,\frac{I}{2\pi\sigma L}\int_a^b\frac{1}{r}\,\mathrm{d}r\,=\,\frac{I}{2\pi\sigma L}\,\left[\ln{r}\right]_a^b\,=\,\frac{I}{2\pi\sigma L}\,\left(\ln{b}\,-\,\ln{a}\right). \]

    Pro napětí mezi válcovými elektrodami tedy platí:

    \[ U\,=\,\frac{I}{2\pi\sigma L}\,\ln{\frac{b}{a}} \]

    Elektrický odpor mezi elektrodami vypočítáme jako podíl napětí U mezi elektrodami a celkového proudu I, který mezi elektrodami prochází:

    \[ R\,=\,\frac{U}{I}\,=\,\frac{\frac{I}{2\pi\sigma L}\,\ln{\frac{b}{a}}}{I} \] \[ R\,=\,\frac{\ln{\frac{b}{a}}}{2\pi\sigma L}\,. \]

    Celkový proud procházející mezi elektrodami:

    \[ I\,=\,\frac{U}{R}\,=\,\frac{2\pi\sigma L}{\ln{\frac{b}{a}}}\,U. \]
  • III. Nápovědy

  • III. Rozbor

    Odpor mezi elektrodami vypočítáme pomocí formální analogie s elektrostatickým polem.

    Uvažujme, že elektrody jsou vnořeny do dielektrika o určité permitivitě a jsou na ně přivedeny náboje stejné velikosti, ale opačného znamení tak, že udržují původní hodnoty potenciálů. V takovém případě bude mezi elektrodami stejný průběh elektrické intenzity. Náboj vyjádříme z Gaussovy věty elektrostatiky v integrálním tvaru. Vztah mezi velikostí náboje a rozdílem potenciálů vyjádříme pomocí kapacity válcových elektrod.

    Proud procházející mezi elektrodami vyjádříme pomocí proudové hustoty a Ohmova zákona v diferenciálním tvaru, tj. pomocí intenzity elektrického pole.

    Takto získanou rovnici pro proud procházející mezi elektrodami spojíme s vyjádřením elektrického náboje. A pomocí Ohmova zákona vypočítáme odpor mezi válcovými elektrodami jako podíl napětí mezi elektrodami a celkovým procházejícím proudem.

  • III. Řešení

    Uvažujme, že mezi elektrodami je místo vodiče dielektrikum o permitivitě ε a jsou na ně přivedeny náboje stejné velikosti Q, ale opačného znamení tak, že udržují původní hodnoty potenciálů. V řešení využijeme toho, že průběh elektrické intenzity je jak v tomto statickém případě, tak ve stacionárním případě, kdy mezi elektrodami protéká ustálený proud, stejný.

    Vztah mezi velikostí náboje Q a rozdílem potenciálů = napětím U vyjádříme pomocí kapacity C válcových elektrod:

    \[Q\,=\,UC.\tag{*}\]

    Gaussova věta elektrostatiky v integrálním tvaru říká:

    \[ \oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\,=\,\frac{Q}{\epsilon}\,. \]

    Značka \(\normalsize{\oint}\) vyjadřuje, že plošný integrál je brán přes uzavřenou plochu, \(\vec{E}\) je intenzita elektrického pole, Q náboj přivedený na válcové elektrody povrchu S a ε je permitivita dané látky.

    Ohmův zákon pro homogenní vodiče v diferenciálním tvaru je dán vztahem:

    \[\vec{j}\,=\,\sigma \vec{E},\]

    kde \(\vec{j}\) je hustota elektrického proudu, σ měrná elektrická vodivost a \(\vec{E}\) značí intenzitu elektrického pole.

    Proud I procházející mezi elektrodami si vyjádříme pomocí hustoty proudu \(\vec{j\,}\):

    \[ I\,=\,\oint \vec{j\,}\cdot\mathrm{d}\vec{S}. \]

    Hustotu proudu určíme z Ohmova zákona a Gaussovy věty:

    \[ I\,=\,\oint \sigma \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\,=\,\sigma\oint\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\,=\,\sigma\frac{Q}{\epsilon}\,. \]

    Za náboj Q do této rovnice dosadíme vztah (*):

    \[ I\,=\,\sigma\frac{CU}{\epsilon}\,. \]

    Kapacita válcového kondenzátoru je dána vztahem:

    \[ C\,=\,\frac{2\pi\epsilon}{\ln{\frac{b}{a}}}L\,, \]

    kde ε je permitivita prostředí, L je výška válcového kondenzátoru a a, b jsou poloměry válců, které tvoří kondenzátor – poloměry válcových elektrod, přičemž a < b.

    Dosazením kapacity získáme rovnici pro výpočet proudu procházející mezi válcovými elektrodami:

    \[ I\,=\,\sigma\frac{\frac{2\pi\epsilon}{\ln{\frac{b}{a}}}L\,U}{\epsilon}\,=\,\frac{2\pi\sigma L}{\ln{\frac{b}{a}}}\,U. \]

    Odpor mezi válcovými elektrodami vypočítáme jako podíl napětí U mezi elektrodami a proudu I, který mezi elektrodami prochází:

    \[ R\,=\,\frac{U}{I}\,=\, \frac{U}{\frac{2\pi\sigma L}{\ln{\frac{b}{a}}}\,U}\,=\,\frac{\ln{\frac{b}{a}}}{2\pi\sigma L}\,. \]
  • Odpověď

    Celkový elektrický odpor mezi válcovými elektrodami o poloměrech a a b vypočítáme ze vztahu:

    \[ R\,=\,\frac{\ln{\frac{b}{a}}}{2\pi\sigma L}\,\mathrm{,} \]

    pro proud procházející mezi těmito elektrodami o poloměrech a a b platí:

    \[ I\,=\,\frac{2\pi\sigma L}{\ln{\left(\frac{b}{a}\right)}}\,U\mathrm{,} \]

    kde σ je vodivost materiálu mezi elektrodami, L je délka elektrod a U značí napětí mezi elektrodami.

    Poznámka: Všemi třemi způsoby řešení jsme získali stejný výsledek.

  • Odkaz na podobnou úlohu

    Podobnou těžší úlohou je úloha Nehomogenní prostředí mezi válcovými elektrodami.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Diplomová práce Marie Snětinová (2010)
×Původní zdroj: Diplomová práce Marie Snětinová (2010)
Zaslat komentář k úloze