Kondenzátor částečně vyplněný dielektrikem

Úloha číslo: 28

Vypočtěte výslednou kapacitu deskového kondenzátoru, jestliže prostor mezi jeho deskami o ploše S je zaplněn dielektrikem o permitivitě ε podle nákresu na obrázku.

Kondenzátor s dielektrikem
  • Nápověda: Jak začít

    Kondenzátor, který je takto z části vyplněn dielektrikem, můžeme nahradit dvěma paralelně zapojenými kondenzátory. Jeden bude vzduchový a druhý zcela vyplněný dielektrikem.

  • Nápověda: Kapacita kondenzátoru

    Kapacity paralelně zapojených kondenzátorů se sčítají.

  • Rozbor

    Deskový kondenzátor, který je takto z části vyplněn dielektrikem, můžeme nahradit dvěma paralelně zapojenými kondenzátory. Jeden bude vyplněný dielektrikem a druhý bude vzduchový.

    Celková kapacita paralelně zapojených kondenzátorů je rovna součtu kapacit těchto kondenzátorů.

    Kapacita deskového kondenzátoru závisí nepřímo úměrně na vzdálenosti desek a přímo úměrně na ploše kondenzátoru a permitivite prostředí, které je mezi deskami.

    Jediné, co nám zbývá určit, jsou plochy desek obou kondenzátorů. Využijeme toho, že známe celkovou plochu kondenzátoru a víme také, v jakém poměru délek se kondenzátor rozdělil na dva.

  • Řešení

    Deskový kondezátor si nahradíme dvěma kondenzátory zapojenými paralelně. Jeden vyplněný dielektrikem o šířce l1 a druhý vzduchový o šířce l−l1.

    Vzduchový kondenzátor a kondenzátor s dielektrikem

    Celková kapacita je tedy dána součtem kapacit těchto dvou kondenzátorů.

    \[C\,=\,C_1+C_2\tag{1}\]

    Kapacita deskového kondenzátoru je dána vztahem:

    \[C\,=\, \epsilon \frac{S}{d}\,=\,\epsilon_0 \epsilon_r \frac{S}{d}\]

    Pro kapacity našich kondenzátorů platí:

    \[C_1\,=\, \epsilon_0 \epsilon_r\frac{S_1 }{d}\tag{2}\] \[C_2\,=\,\epsilon_0 \frac{S_2 }{d}\tag{3}\]

    Nyní si vyjádříme plochy S1 a S2 pomocí délek l, l1 a celkové plochy kondezátoru S.

    Celková plocha kondenzátoru je:

    \[ S\,=\,lx\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,\frac{S}{l}\,,\tag{*}\]

    kde x jsme si označili šířku kondenzátoru.

    Plochy S1 a S2 můžeme vyjádřit podobně S1 = l1x a S2 = (l-l1)x.

    Dosadíme-li za x ze vztahu (*) získáme plochy desek obou kondenzátorů, které jsme potřebovali.

    \[S_1\,=\,\frac{l_1}{l}S\] \[S_2\,=\,\frac{l-l_1}{l}S\]

    Teď už zbývá jen dosadit plochy S1 a S2 do vzorců pro kapacity C1 a C2 (vzorec (2) a (3)) a vše dosadit do vztahu (1) pro celkovou kapacitu.

    \[C\,=\, \epsilon_0 \epsilon_r \frac{l_1 S}{dl} +\epsilon_0 \frac{\left(l-l_1\right) S}{dl}\]

    Vytkneme zlomek \(\frac{\epsilon_0 S}{dl}\):

    \[C\,=\, \frac{\epsilon_0 S}{dl} \left( \epsilon_r l_1+l-l_1\right)\]

    Nakonec ještě uvnitř závorky můžeme vytknout l1 a máme vztah pro celkovou kapacitu kondenzátoru C.

    \[C\,=\, \frac{\epsilon_0 S}{dl} \left(l_1 \left(\epsilon_r -1\right)+l\right)\]
  • Odpověď

    Celková kapacita kondenzátoru je dána vztahem:

    \[C\,=\, \frac{\epsilon_0 S}{dl} \left(l_1 \left(\epsilon_r -1\right)+l\right)\,.\]
  • Jinak vložené dielektrikum

    Zamyslete se nad tím, jak by se úloha řešila, když by bylo dielektrikum vloženo jinak (viz obrázek)?

    Kondenzátor s jiným dielektrikem

    Pokud by byl kondenzátor vyplněn dielektrikem tak, jak je znázorněno na obrázku, rozdělili bychom si ho opět na dva kondenzátory (vzduchový a kondenzátor s dielektrikem). V tomto případě by ale kondenzátory byly zapojeny sériově.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Kružík, M. (1984). Sbírka úloh z fyziky pro žáky středních škol
(8. vydání). Praha: SPN. 
Zpracováno v bakalářské práci Lenky Matějíčkové (2007).
×Původní zdroj: Kružík, M. (1984). Sbírka úloh z fyziky pro žáky středních škol (8. vydání). Praha: SPN.
Zpracováno v bakalářské práci Lenky Matějíčkové (2007).
Zaslat komentář k úloze