Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Kondenzátor částečně vyplněný dielektrikem

Úloha číslo: 28

Vypočtěte výslednou kapacitu deskového kondenzátoru, jestliže prostor mezi jeho deskami o ploše S je zaplněn dielektrikem o permitivitě ε podle nákresu na obrázku.

Kondenzátor s dielektrikem
  • Nápověda: Jak začít

    Kondenzátor, který je takto z části vyplněn dielektrikem, můžeme nahradit dvěma paralelně zapojenými kondenzátory. Jeden bude vzduchový a druhý zcela vyplněný dielektrikem.

  • Nápověda: Kapacita kondenzátoru

    Kapacity paralelně zapojených kondenzátorů se sčítají.

  • Rozbor

    Deskový kondenzátor, který je takto z části vyplněn dielektrikem, můžeme nahradit dvěma paralelně zapojenými kondenzátory. Jeden bude vyplněný dielektrikem a druhý bude vzduchový.

    Celková kapacita paralelně zapojených kondenzátorů je rovna součtu kapacit těchto kondenzátorů.

    Kapacita deskového kondenzátoru závisí nepřímo úměrně na vzdálenosti desek a přímo úměrně na ploše kondenzátoru a permitivitě prostředí, které je mezi deskami.

    Jediné, co nám zbývá určit, jsou plochy desek obou kondenzátorů. Využijeme toho, že známe celkovou plochu kondenzátoru, a víme také, v jakém poměru délek se kondenzátor rozdělil na dva.

  • Řešení

    Deskový kondenzátor si nahradíme dvěma kondenzátory zapojenými paralelně. Jeden vyplněný dielektrikem o šířce l1 a druhý vzduchový o šířce l−l1.

    Vzduchový kondenzátor a kondenzátor s dielektrikem

    Celková kapacita je tedy dána součtem kapacit těchto dvou kondenzátorů:

    C=C1+C2.

    Kapacita deskového kondenzátoru je dána vztahem:

    C=ϵSd=ϵ0ϵrSd.

    Pro kapacity našich kondenzátorů platí:

    C1=ϵ0ϵrS1d, C2=ϵ0S2d.

    Nyní si vyjádříme plochy S1 a S2 pomocí délek l, l1 a celkové plochy kondezátoru S.

    Celková plocha kondenzátoru je:

    S=lxx=Sl,

    kde x jsme si označili šířku kondenzátoru.

    Plochy S1 a S2 můžeme vyjádřit podobně S1 = l1x a S2 = (l-l1)x.

    Dosadíme-li za x ze vztahu (*) získáme plochy desek obou kondenzátorů, které jsme potřebovali:

    S1=l1lS, S2=ll1lS.

    Teď už zbývá jen dosadit plochy S1 a S2 do vzorců pro kapacity C1 a C2 (vzorec (2) a (3)) a vše dosadit do vztahu (1) pro celkovou kapacitu:

    C=ϵ0ϵrl1Sdl+ϵ0(ll1)Sdl.

    Vytkneme zlomek ϵ0Sdl:

    C=ϵ0Sdl(ϵrl1+ll1).

    Nakonec ještě uvnitř závorky můžeme vytknout l1 a máme vztah pro celkovou kapacitu kondenzátoru C:

    C=ϵ0Sdl(l1(ϵr1)+l).
  • Odpověď

    Celková kapacita kondenzátoru je dána vztahem:

    C=ϵ0Sdl(l1(ϵr1)+l).
  • Jinak vložené dielektrikum

    Zamyslete se nad tím, jak by se úloha řešila, kdyby bylo dielektrikum vloženo jinak (viz obrázek)?

    Kondenzátor s jiným dielektrikem

    Pokud by byl kondenzátor vyplněn dielektrikem tak, jak je znázorněno na obrázku, rozdělili bychom si ho opět na dva kondenzátory (vzduchový a kondenzátor s dielektrikem). V tomto případě by ale kondenzátory byly zapojeny sériově.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Kružík, M. (1984). Sbírka úloh z fyziky pro žáky středních škol
(8. vydání). Praha: SPN. 
Zpracováno v bakalářské práci Lenky Matějíčkové (2007).
×Původní zdroj: Kružík, M. (1984). Sbírka úloh z fyziky pro žáky středních škol (8. vydání). Praha: SPN.
Zpracováno v bakalářské práci Lenky Matějíčkové (2007).
En translation
Zaslat komentář k úloze