Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Nabité těleso na závěsu

Úloha číslo: 799

Malé těleso o hmotnosti m s kladným nábojem Q, které je připevněno k niti o délce l, se může pohybovat po kružnici ve vertikální rovině. Homogenní pole o magnetické indukci B je orientováno kolmo k této rovině a směřuje ven z nákresny. Jakou minimální rychlost musíme tělesu udělit ve spodním bodě, aby vykonalo celý obrat?

Poznámka: Jedná se v podstatě o kyvadlo.

Nákres situace
  • Nápověda 1

    Zamyslete se, jak určíte směr magnetické síly?

  • Nápověda 2

    Dále se tato úloha řeší stejnou strategií jako úloha Otáčející se nabitá kulička kolem druhé stejně nabité kuličky, ve které jsou úvahy převzaté z úlohy Koule přivázaná na konci provazu.

  • Rozbor

    O tom, jestli kulička vykoná otočku, se rozhodne při průchodu nejvyšším bodem trajektorie. Proto si musíme uvědomit, jaké síly budou na kuličku v tomto bodě působit. Na kuličku bude působit síla tíhová, síla magnetická a také síla nitě; výslednice těchto sil se musí rovnat síle dostředivé. Pomocí 2. Newtonova zákona určíme minimální rychlost v tomto bodě.

    Minimální rychlost, udělenou v nejnižším bodě kruhové trajektorie, určíme ze zákona zachování mechanické energie.

  • Řešení

    Kritické místo pro dokončení otočky je nejvyšší bod trajektorie. Proto si musíme uvědomit, které síly budou na těleso v tomto bodě působit. Nakreslíme si obrázek.

    Nákres sil

    Určitě se projeví síla tíhová FG, která se bude snažit dokončení otáčky zabránit; dále síla magnetická Fm, jež bude působit stejným směrem jako síla tíhová, a nesmíme opomenout ani sílu nitě. Aby těleso otočku dokončilo, musí být výslednice těchto sil rovna síle dostředivé Fdo. Síla nitě je v mezním případě v nejvyšším bodě trajektorie nulová. Všechny síly jsou v jedné přímce, proto pro velikost výslednice píšeme Fdo=Fm+FG. Jednotlivé síly vyjádříme a získáme vztah

    mv12l=BQv1+mg,

    kde v1 je rychlost v nejvyšším bodě trajektorie. Rovnici si upravíme tak, aby u v12 byl koeficient 1 a na pravé straně rovnice nula

    mlv12BQv1mg=0 v12BQlmgl=0.

    Dostali jsme kvadratickou rovnici, z níž vypočteme minimální požadovanou rychlost tělesa v nejvyšším bodě trajektorie v1:

    v1=BQm±B2Q2l2m2+4gl2=BQl2m+B2Q2l24m2+gl.

    Protože rychlost musí být v našem případě kladná, vyhovuje pouze řešení se znaménkem plus.

    My však nemáme určit v1, nýbrž minimální rychlost udělenou na počátku pohybu, tedy v nejnižším bodě kruhové trajektorie. Tuto rychlost označme vm a zamyslíme se, jak souvisí s již spočtenou v1. Vyjdeme ze zákona zachování mechanické energie. Platí, že součet kinetické a potenciální tíhové energie soustavy je stálý. Při volbě hladiny nulové potenciální energie v nejnižším bodě trajektorie můžeme psát

    Ek1+Ep=Ekm,

    kde Ek1 je kinetická a Ep potenciální energie tělesa v nejvyšším bodě, Ekm označuje kinetickou energii v nejnižším bodě trajektorie. Tyto energie vyjádříme:

    12mv21+2mgl=12mv2m.

    Odtud vyjádříme minimální rychlost potřebnou na začátku pohybu vm a to tak, že celou rovnici vynásobíme dvěma a vydělíme m. Poté celý výraz odmocníme:

    vm=v21+4gl.

    V tomto vztahu vystupuje kvadrát minimální požadované rychlosti v nejvyšším bodě trajektorie, tedy v12, proto si ho nyní spočítáme:

    v21=(BQl2m+B2Q2l24m2+gl)2=B2Q2l24m2+2BQl2mB2Q2l24m2+gl+B2Q2l24m2+gl= =gl+BQlm(BQl2m+B2Q2l24m2+gl).

    Dosadíme do vztahu pro vm a získáváme

    vm=5gl+BQlm(BQl2m+B2Q2l24m2+gl).
  • Odpověď

    Minimální rychlost, kterou musíme tělesu udělit, je dána vztahem:

    vm=5gl+BQlm(BQl2m+B2Q2l24m2+gl).
  • Jak by to vypadalo, kdybychom uvažovali opačný směr rychlosti

    Změnou směru rychlosti změníme i směr magnetické síly, což je ekvivalentní tomu, když ponecháme stejný směr pohybu a změníme znaménko u náboje Q.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze