Nabité těleso na závěsu

Úloha číslo: 799

Malé těleso o hmotnosti m s kladným nábojem Q, které je připevněno k niti o délce l, se může pohybovat po kružnici ve vertikální rovině. Homogenní pole o magnetické indukci \(\vec{B}\) je orientováno kolmo k této rovině a směřuje ven z nákresny. Jakou minimální rychlost musíme tělesu udělit ve spodním bodě, aby vykonalo celý obrat?

Poznámka: Jedná se v podstatě o kyvadlo.

Nákres situace
  • Nápověda 1

    Zamyslete se, jak určíte směr magnetické síly?

  • Nápověda 2

    Dále se tato úloha řeší stejnou strategií jako úloha Otáčející se nabitá kulička kolem druhé stejně nabité kuličky, ve které jsou úvahy převzaté z úlohy Koule přivázaná na konci provazu.

  • Rozbor

    O tom, jestli kulička vykoná otočku, se rozhodne při průchodu nejvyšším bodem trajektorie. Proto si musíme uvědomit, jaké síly budou na kuličku v tomto bodě působit. Na kuličku bude působit síla tíhová, síla magnetická a také síla nitě, výslednice těchto sil se musí rovnat síle dostředivé. Pomocí 2. Newtonova zákona určíme minimální rychlost v tomto bodě.

    Minimální rychlost, udělenou v nejnižším bodě kruhové trajektorie, určíme ze zákona zachování mechanické energie.

  • Řešení

    Kritické místo pro dokončení otočky je nejvyšší bod trajektorie. Proto si musíme uvědomit, které síly budou na těleso v tomto bodě působit. Nakreslíme si obrázek.

    Nákres sil
    Určitě se projeví síla tíhová \(\vec{F}_\mathrm G\), která se bude snažit dokončení otáčky zabránit, dále síla magnetická \(\vec{F}_\mathrm m\), jenž bude působit stejným směrem jako síla tíhová, nesmíme opomenou ani sílu nitě. Aby těleso otočku dokončilo otočku, musí být výslednice těchto sil rovna síle dostředivé \(\vec{F}_\mathrm {do}\). Síla nitě je v mezním případě v nejvyšším bodě trajektorie nulová. Všechny síly jsou v jedné přímce, proto pro velikost výslednice píšeme \[F_\mathrm {do}=F_\mathrm m+F_\mathrm G.\] Jednotlivé síly vyjádříme a získáme vztah

    \[ m\frac{{v_1}^2}{l}=B Q v_1+mg,\]

    kde v1 je rychlost v nejvyšším bodě trajektorie. Rovnici si upravíme tak, aby u v12 byl koeficient 1 a na pravé straně rovnice nula

    \[\frac{m}{l}{v_1}^2-B Q v_1-mg=0\] \[{v_1}^2-\frac{BQl}{m}-gl=0.\]

    Dostali jsme kvadratickou rovnici, z níž vypočteme minimální požadovaná rychlost tělesa v nejvyšším bodě trajektorie v1

    \[ v_1=\frac{\frac{BQ}{m}\pm \sqrt{\frac{B^{2}Q^{2}l^2}{m^2}+4gl}}{2}=\frac{BQl}{2m}+\sqrt{\frac{B^2Q^2l^2}{4m^2}+gl}. \]

    Protože rychlost musí být v našem případě kladná, vyhovuje pouze řešení se znaménkem plus.

    My však nemáme určit v1, nýbrž minimální rychlost udělenou na počátku pohybu, tedy v nejnižším bodě kruhové trajektorie. Tuto rychlost označme vm a zamyslíme se, jak souvisí s již spočtenou v1. Vyjdeme ze zákona zachování mechanické energie. Platí, že součet kinetické a potenciální tíhové energie soustavy je stálý. Při volbě hladiny nulové potenciální energie v nejnižším bodě trajektorie můžeme psát \[E_\mathrm {k1}+E_\mathrm p=E_\mathrm {km},\] kde Ek1 je kinetická a Ep potenciální energie tělesa v nejvyšším bodě, Ekm označuje kinetickou energii v nejnižším bodě trajektorie. Tyto energie vyjádříme

    \[ \frac{1}{2}m v_1 ^{2} + 2 mgl=\frac{1}{2}m v_m ^{2}. \]

    Odtud vyjádříme minimální rychlost potřebnou na začátku pohybu vm tak, že celou rovnici vynásobíme dvěma a vydělíme m, poté celý výraz odmocníme

    \[ v_\mathrm m = \sqrt{v_1 ^{2}+4gl}. \]

    V tomto vztahu vystupuje kvadrát minimální požadované rychlosti v nejvyšším bodě trajektorie, tedy v12, proto si ho nyní spočítáme

    \[ v_1 ^{2} =\left(\frac{BQl}{2m}+\sqrt{\frac{B^2Q^2l^2}{4m^2}+gl}\right)^2=\frac{B^2Q^2l^2}{4m^2}+2\frac{BQl}{2m}\cdot \sqrt{\frac{B^2Q^2l^2}{4m^2}+gl}+\frac{B^2Q^2l^2}{4m^2}+gl= \] \[=gl+\frac{BQl}{m}\cdot \left(\frac{BQl}{2m}+\sqrt{\frac{B^2Q^2l^2}{4m^2}+gl}\right). \]

    Dosadíme do vztahu pro vm a získáváme

    \[ v_\mathrm m = \sqrt{5 g l+\frac{BQl}{m}\cdot \left(\frac{BQl}{2m}+\sqrt{\frac{B^2Q^2l^2}{4m^2}+gl}\right)}. \]
  • Odpověď

    Minimální rychlost, kterou musíme tělesu udělit, je dána vztahem:

    \[ v_\mathrm m = \sqrt{5 g l+\frac{BQl}{m}\cdot \left(\frac{BQl}{2m}+\sqrt{\frac{B^2Q^2l^2}{4m^2}+gl}\right)}. \]
  • Jak by to vypadalo, kdybychom uvažovali opačný směr rychlosti

    Změnou směru rychlosti změníme i směr magnetické síly, to je ekvivalentní tomu, že ponecháme stejný směr pohybu a změníme znaménko u náboje Q.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze