Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Nabité těleso na závěsu
Úloha číslo: 799
Malé těleso o hmotnosti m s kladným nábojem Q, které je připevněno k niti o délce l, se může pohybovat po kružnici ve vertikální rovině. Homogenní pole o magnetické indukci →B je orientováno kolmo k této rovině a směřuje ven z nákresny. Jakou minimální rychlost musíme tělesu udělit ve spodním bodě, aby vykonalo celý obrat?
Poznámka: Jedná se v podstatě o kyvadlo.

Nápověda 1
Zamyslete se, jak určíte směr magnetické síly?
Nápověda 2
Dále se tato úloha řeší stejnou strategií jako úloha Otáčející se nabitá kulička kolem druhé stejně nabité kuličky, ve které jsou úvahy převzaté z úlohy Koule přivázaná na konci provazu.
Rozbor
O tom, jestli kulička vykoná otočku, se rozhodne při průchodu nejvyšším bodem trajektorie. Proto si musíme uvědomit, jaké síly budou na kuličku v tomto bodě působit. Na kuličku bude působit síla tíhová, síla magnetická a také síla nitě; výslednice těchto sil se musí rovnat síle dostředivé. Pomocí 2. Newtonova zákona určíme minimální rychlost v tomto bodě.
Minimální rychlost, udělenou v nejnižším bodě kruhové trajektorie, určíme ze zákona zachování mechanické energie.
Řešení
Kritické místo pro dokončení otočky je nejvyšší bod trajektorie. Proto si musíme uvědomit, které síly budou na těleso v tomto bodě působit. Nakreslíme si obrázek.
Určitě se projeví síla tíhová →FG, která se bude snažit dokončení otáčky zabránit; dále síla magnetická →Fm, jež bude působit stejným směrem jako síla tíhová, a nesmíme opomenout ani sílu nitě. Aby těleso otočku dokončilo, musí být výslednice těchto sil rovna síle dostředivé →Fdo. Síla nitě je v mezním případě v nejvyšším bodě trajektorie nulová. Všechny síly jsou v jedné přímce, proto pro velikost výslednice píšeme Fdo=Fm+FG. Jednotlivé síly vyjádříme a získáme vztah
mv12l=BQv1+mg,kde v1 je rychlost v nejvyšším bodě trajektorie. Rovnici si upravíme tak, aby u v12 byl koeficient 1 a na pravé straně rovnice nula
mlv12−BQv1−mg=0 v12−BQlm−gl=0.Dostali jsme kvadratickou rovnici, z níž vypočteme minimální požadovanou rychlost tělesa v nejvyšším bodě trajektorie v1:
v1=BQm±√B2Q2l2m2+4gl2=BQl2m+√B2Q2l24m2+gl.Protože rychlost musí být v našem případě kladná, vyhovuje pouze řešení se znaménkem plus.
My však nemáme určit v1, nýbrž minimální rychlost udělenou na počátku pohybu, tedy v nejnižším bodě kruhové trajektorie. Tuto rychlost označme vm a zamyslíme se, jak souvisí s již spočtenou v1. Vyjdeme ze zákona zachování mechanické energie. Platí, že součet kinetické a potenciální tíhové energie soustavy je stálý. Při volbě hladiny nulové potenciální energie v nejnižším bodě trajektorie můžeme psát
Ek1+Ep=Ekm,kde Ek1 je kinetická a Ep potenciální energie tělesa v nejvyšším bodě, Ekm označuje kinetickou energii v nejnižším bodě trajektorie. Tyto energie vyjádříme:
12mv21+2mgl=12mv2m.Odtud vyjádříme minimální rychlost potřebnou na začátku pohybu vm a to tak, že celou rovnici vynásobíme dvěma a vydělíme m. Poté celý výraz odmocníme:
vm=√v21+4gl.V tomto vztahu vystupuje kvadrát minimální požadované rychlosti v nejvyšším bodě trajektorie, tedy v12, proto si ho nyní spočítáme:
v21=(BQl2m+√B2Q2l24m2+gl)2=B2Q2l24m2+2BQl2m⋅√B2Q2l24m2+gl+B2Q2l24m2+gl= =gl+BQlm⋅(BQl2m+√B2Q2l24m2+gl).Dosadíme do vztahu pro vm a získáváme
vm=√5gl+BQlm⋅(BQl2m+√B2Q2l24m2+gl).Odpověď
Minimální rychlost, kterou musíme tělesu udělit, je dána vztahem:
vm=√5gl+BQlm⋅(BQl2m+√B2Q2l24m2+gl).Jak by to vypadalo, kdybychom uvažovali opačný směr rychlosti
Změnou směru rychlosti změníme i směr magnetické síly, což je ekvivalentní tomu, když ponecháme stejný směr pohybu a změníme znaménko u náboje Q.