Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Změna energie kondenzátoru
Úloha číslo: 177
Deskový kondenzátor, jehož desky mají vzdálenost d0, je nabit na napětí U0. Energii tohoto kondenzátoru chceme změnou napětí nebo vzdálenosti desek zvýšit o 21 %.
a) O kolik procent je nutno zvýšit napětí, pokud neměníme vzdálenost desek kondenzátoru?
b) O kolik procent bychom naopak museli změnit vzdálenost desek kondenzátoru, pokud bychom neměnili napětí?
Nápověda
Energie kondenzátoru závisí na kapacitě kondenzátoru a na druhé mocnině napětí, ke kterému je kondenzátor připojen.
Rozbor
Energie kondenzátoru je přímo úměrná kapacitě kondenzátoru a druhé mocnině napětí, ke kterému je kondenzátor připojen. Energii kondenzátoru můžeme tedy upravit změnou napětí, ke kterému jej připojíme, a nebo můžeme změnit jeho kapacitu.
Kapacita kondenzátoru je přímo úměrná ploše desek kondenzátoru a nepřímo úměrná vzdálenosti desek. Kapacitu kondenzátoru tedy zvětšíme, pokud zmenšíme vzdálenost jeho desek.
Zvětšíme-li energii o 21 %, je nová energie rovna 121 % energie původní.
a) Výpočet napětí
Na začátku je na kondenzátoru napětí U0. Jeho energie je:
E0=12CU20.Tuto energii chceme zvýšit o 21 %. To znamená, že nová energie E1 bude rovna 121 % energie E0:
E1=1,21E0.Energii E1 můžeme spočítat stejně jako energii E0 pomocí nezměněné kapacity C a nového napětí U1:
E1=12CU21.Obě vyjádření energií dosadíme do vzorce (*):
12CU21=1,21⋅12CU20.Z rovnice vyjádříme hledané napětí U1:
U21=1,21U20, U1=√1,21U20=√1,21U0, U1=1,1U0.Napětí U1 je tedy rovno 110 % napětí U0. Napětí jsme tedy museli zvýšit o 10 %.
b) Výpočet vzdálenosti desek
Na začátku má kondenzátor energii:
E0=12C0U20. Kapacita kondenzátoru závisí na ploše jeho desek a na jejich vzdálenosti podle vztahu C0=ε0Sd0. Tento vztah dosadíme do vzorce pro energii: E0=12ε0Sd0U20. Pokud změníme vzdálenost desek na vzdálenost d2, změní se jeho energie na energii E2: E2=12ε0Sd2U20.Napětí na kondenzátoru a plochu desek neměníme.
Energie E2 má být o 21 % větší než původní energie E0. Energie E2 je tedy rovna 121 % energie E0:
E2=1,21E0.Dosadíme vyjádření energií E0 a E2:
12ε0Sd2U20=1,21⋅12ε0Sd0U20.Rovnici zkrátíme:
1d2=1,211d0a vyjádříme neznámou vzdálenost d2:
d2=11,21d0, d2˙=0,83d0.Vzdálenost desek kondenzátoru d2 je tedy rovna 83 % původní vzdálenosti d0. To znamená, že původní vzdálenost jsme museli zmenšit o 100 % − 83 % = 17 %.
Odpověď
Abychom energii kondenzátoru zvětšili o 21 %, musíme buď zvětšit napětí o 10 %, nebo zmenšit vzdálenost desek kondenzátoru o 17 %.