Změna energie kondenzátoru

Úloha číslo: 177

Deskový kondenzátor, jehož desky mají vzdálenost d0, je nabit na napětí U0. Energii tohoto kondenzátoru chceme změnou napětí nebo vzdálenosti desek zvýšit o 21 %.

a) O kolik procent je nutno zvýšit napětí, pokud neměníme vzdálenost desek kondenzátoru?

b) O kolik procent bychom naopak museli změnit vzdálenost desek kondenzátoru, pokud bychom neměnili napětí?

  • Nápověda

    Energie kondenzátoru závisí na kapacitě kondenzátoru a na druhé mocnině napětí, ke kterému je kondenzátor připojen.

  • Rozbor

    Energie kondenzátoru je přímo úměrná kapacitě kondenzátoru a druhé mocnině napětí, ke kterému je kondenzátor připojen. Energii kondenzátoru, můžeme tedy upravit změnou napětí, ke kterému jej připojíme, a nebo můžeme změnit jeho kapacitu.

    Kapacita kondenzátoru je přímo úměrná ploše desek kondenzátoru a nepřímo úměrná vzdálenosti desek. Kapacitu kondenzátoru tedy zvětšíme, pokud zmenšíme vzdálenost jeho desek.

    Zvětšíme-li energii o 21 %, je nová energie rovna 121 % energie původní.

  • a) Výpočet napětí

    Na začátku je na kondenzátoru napětí U0. Jeho energie je:

    \[E_0\,=\, \frac{1}{2}CU_0^2\,.\]

    Tuto energii chceme zvýšit o 21 %. To znamená, že nová energie E1 bude rovna 121 % energie E0.

    \[E_1\,=\,1{,}21 E_0\tag{*}\]

    Energii E1 můžeme spočítat stejně jako energii E0 pomocí nezměněné kapacity C a nového napětí U1.

    \[E_1\,=\, \frac{1}{2}CU_1^2\]

    Obě vyjádření energií dosadíme do vzorce (*)

    \[\frac{1}{2}CU_1^2\,=\,1{,}21 \cdot\, \frac{1}{2}CU_0^2\,.\]

    Z rovnice vyjádříme hledané napětí U1.

    \[U_1^2\,=\,1{,}21 U_0^2\] \[U_1\,=\,\sqrt{1{,}21 U_0^2}\,=\,\sqrt{1{,}21} U_0\] \[U_1\,=\,1{,}1 U_0\]

    Napětí U1 je tedy rovno 110 % napětí U0. Napětí jsme tedy museli zvýšit o 10 %.

  • b) Výpočet vzdálenosti desek

    Na začátku má kondenzátor energii.

    \[E_0\,=\,\frac{1}{2} C_0 U_0^2\] Kapacita kondenzátoru závisí na ploše jeho desek a na jejich vzdálenosti podle vztahu \[C_0\,=\, \frac{\varepsilon_0S}{d_0}\,.\] Tento vztah dosadíme do vzorce pro energii \[E_0\,=\,\frac{1}{2}\, \frac{\varepsilon_0S}{d_0} U_0^2\] Pokud změníme vzdálenost desek na vzdálenost d2, změní se jeho energie na energii E2. \[E_2\,=\,\frac{1}{2}\, \frac{\varepsilon_0S}{d_2} U_0^2\]

    Napětí na kondenzátoru a plochu desek neměníme.

    Energie E2 má být o 21 % větší než původní energie E0. Energie E2 je tedy rovna 121% energie E0.

    \[ E_2\,=\,1{,}21E_0\]

    Dosadíme vyjádření energií E0 a E2.

    \[ \frac{1}{2} \,\frac{\varepsilon_0S}{d_2} U_0^2\,=\,1{,}21\,\cdot\frac{1}{2}\, \frac{\varepsilon_0S}{d_0} U_0^2\]

    Rovnici zkrátíme

    \[ \frac{1}{d_2} \,=\,1{,}21\, \frac{1}{d_0} \]

    a vyjádříme neznámou vzdálenost d2.

    \[d_2 \,=\,\, \frac{1}{1{,}21}d_0 \] \[d_2 \,\dot=\,\, 0{,}83\,d_0 \]

    Vzdálenost desek kondenzátoru d2 je tedy rovna 83 % původní vzdálenosti d0. To znamená, že původní vzdálenost jsme museli zmenšit o 100 % − 83 % = 17 %.

  • Odpověď

    Abychom energii kondenzátoru zvětšili o 21 %, musíme buď zvětšit napětí o 10 %, nebo zmenšit vzdálenost desek kondenzátoru o 17 %.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na zjišťování vztahu mezi fakty
Původní zdroj: Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2006). Fyzika, Část 3,
Elektřina a magnetismus (2. dotisk 1. českého vydání). Brno: VUTIUM. 
Zpracováno v diplomové práci Lenky Matějíčkové (2010).
×Původní zdroj: Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2006). Fyzika, Část 3, Elektřina a magnetismus (2. dotisk 1. českého vydání). Brno: VUTIUM.
Zpracováno v diplomové práci Lenky Matějíčkové (2010).
Zaslat komentář k úloze