Sbírka řešených úloh

Změna energie kondenzátoru

Úloha číslo: 177

• Nápověda

  Energie kondenzátoru závisí na kapacitě kondenzátoru a na druhé mocnině napětí, ke kterému je kondenzátor připojen.

• Rozbor

  Energie kondenzátoru je přímo úměrná kapacitě kondenzátoru a druhé mocnině napětí, ke kterému je kondenzátor připojen. Energii kondenzátoru můžeme tedy upravit změnou napětí, ke kterému jej připojíme, a nebo můžeme změnit jeho kapacitu.

  Kapacita kondenzátoru je přímo úměrná ploše desek kondenzátoru a nepřímo úměrná vzdálenosti desek. Kapacitu kondenzátoru tedy zvětšíme, pokud zmenšíme vzdálenost jeho desek.

  Zvětšíme-li energii o 21 %, je nová energie rovna 121 % energie původní.

• a) Výpočet napětí

  Na začátku je na kondenzátoru napětí U₀. Jeho energie je:

  \[E_0\,=\, \frac{1}{2}CU_0^2\,.\]

  Tuto energii chceme zvýšit o 21 %. To znamená, že nová energie E₁ bude rovna 121 % energie E₀:

  \[E_1\,=\,1{,}21 E_0.\tag{*}\]

  Energii E₁ můžeme spočítat stejně jako energii E₀ pomocí nezměněné kapacity C a nového napětí U₁:

  \[E_1\,=\, \frac{1}{2}CU_1^2.\]

  Obě vyjádření energií dosadíme do vzorce (*):

  \[\frac{1}{2}CU_1^2\,=\,1{,}21 \cdot\, \frac{1}{2}CU_0^2\,.\]

  Z rovnice vyjádříme hledané napětí U₁:

  \[U_1^2\,=\,1{,}21 U_0^2,\] \[U_1\,=\,\sqrt{1{,}21 U_0^2}\,=\,\sqrt{1{,}21} U_0,\] \[U_1\,=\,1{,}1 U_0.\]

  Napětí U₁ je tedy rovno 110 % napětí U₀. Napětí jsme tedy museli zvýšit o 10 %.

• b) Výpočet vzdálenosti desek

  Na začátku má kondenzátor energii:

  \[E_0\,=\,\frac{1}{2} C_0 U_0^2.\] Kapacita kondenzátoru závisí na ploše jeho desek a na jejich vzdálenosti podle vztahu \[C_0\,=\, \frac{\varepsilon_0S}{d_0}\,.\] Tento vztah dosadíme do vzorce pro energii: \[E_0\,=\,\frac{1}{2}\, \frac{\varepsilon_0S}{d_0} U_0^2.\] Pokud změníme vzdálenost desek na vzdálenost d₂, změní se jeho energie na energii E₂: \[E_2\,=\,\frac{1}{2}\, \frac{\varepsilon_0S}{d_2} U_0^2.\]

  Napětí na kondenzátoru a plochu desek neměníme.

  Energie E₂ má být o 21 % větší než původní energie E₀. Energie E₂ je tedy rovna 121 % energie E₀:

  \[ E_2\,=\,1{,}21E_0.\]

  Dosadíme vyjádření energií E₀ a E₂:

  \[ \frac{1}{2} \,\frac{\varepsilon_0S}{d_2} U_0^2\,=\,1{,}21\,\cdot\frac{1}{2}\, \frac{\varepsilon_0S}{d_0} U_0^2.\]

  Rovnici zkrátíme:

  \[ \frac{1}{d_2} \,=\,1{,}21\, \frac{1}{d_0} \]

  a vyjádříme neznámou vzdálenost d₂:

  \[d_2 \,=\,\, \frac{1}{1{,}21}d_0, \] \[d_2 \,\dot=\,\, 0{,}83\,d_0. \]

  Vzdálenost desek kondenzátoru d₂ je tedy rovna 83 % původní vzdálenosti d₀. To znamená, že původní vzdálenost jsme museli zmenšit o 100 % − 83 % = 17 %.

• Odpověď

  Abychom energii kondenzátoru zvětšili o 21 %, musíme buď zvětšit napětí o 10 %, nebo zmenšit vzdálenost desek kondenzátoru o 17 %.