Na tvaru nezáleží?

Úloha číslo: 253

Dvě kovové elektrody neznámého tvaru jsou umístěny do materiálu o vodivosti σ, přičemž vnější prostředí je zcela nevodivé.

(a) Ukažte, že odpor R mezi elektrodami je určen kapacitou C takového uspořádání a platí \(R = \frac{\varepsilon_0}{\sigma C}.\)

(b) Předpokládejte, že elektrody připojíte k baterii a nabijete na potenciálový rozdíl U0. Poté baterii odpojíte. Ukažte, že náboj z elektrod postupně „odtéká“ a pro okamžité napětí u(t) mezi elektrodami platí vztah \(u(t) = U_0\,\mathrm{e}^{-t/\tau},\ \) kde \(\tau = \frac{\varepsilon_0}{\sigma}.\ \)

  • Návod k části (a)

    Obepněte jednu z elektrod (myšlenou) uzavřenou plochou. Vyjádřete celkový proud, který z/do této elektrody teče jako integrál hustoty proudu přes tuto plochu a uvědomte si, co říká tzv. diferenciální tvar Ohmova zákona.

    Poté použijte Gaussovu větu elektrostatiky. Obdržíte vztah spojující proud mezi elektrodami s nábojem na elektrodách.

    Nakonec si uvědomte, jak souvisí náboj na elektrodách s kapacitou a napětím. Dostanete tak vztah mezi napětím a proudem, z něhož lehce spočtete elektrický odpor tohoto uspořádání.

  • Nápověda k části (b)

    Vyjděte ze vztahu mezi okamžitým nábojem \(q(t)\) na elektrodách a okamžitým napětím mezi

    elektrodami \(u(t)\)

    \[q(t)=C\cdot u(t).\]

    Napětí je nenulové a odpor prostředí mezi elektrodami není nekonečný, to znamená, že mezi elektrodami bude téci proud o okamžité hodnotě \(i(t)\) a náboj na elektrodách i napětí se bude postupně snižovat.

    Vyjádřete okamžité napětí pomocí okamžitého proudu a proud jako derivaci náboje podle času. Dostanete diferenciální rovnici pro náboj na elektrodách v závislosti na čase, kterou vyřešte. Zpětným dosazením do vztahu \[u(t)=\frac{q(t)}{C},\] pak najdete časovou závislost napětí.

  • Rozbor

    Kapacita soustavy je konstanta přímé úměrnosti mezi nábojem na elektrodách a napětím mezi elektrodami. Odpor soustavy je konstanta přímé úměrnosti mezi napětím mezi elektrodami a proudem tekoucím v obvodu.

    Potřebujeme tedy najít nějaký vztah mezi nábojem na elektrodách a proudem v obvodu. K tomu nám poslouží intenzita elektrického pole \(\vec E\). Náboj na elektrodách vytváří elektrické pole o intenzitě \(\vec E\), a toto pole zase umíme pomocí diferenciálního tvaru Ohmova zákona vztáhnout k hustotě proudu. K tomu poznamenejme, že je-li napětí stálé, je také náboj na elektrodách stálý a mezi elektrodami teče stálý proud.

    V takové situaci můžeme použít zákony elektrostatiky, neboť se jedná o stacionární případ. Potřebujeme najít celkový tekoucí proud a nemusíme zkoumat jeho rozložení. Abychom jej spočetli, můžeme hustotu proudu integrovat přes libovolnou uzavřenou plochu S obepjatou kolem jedné z elektrod a nemající ve vnitřku elektrodu druhou. Dostaneme

    \[I = \oint_S \vec j\cdot d\vec S = \sigma\oint_S \vec E\cdot d\vec S.\]

    Integrál napravo ale souvisí s nábojem na elektrodách přes Gaussovu větu elektrostatiky. Tím je hledaný vztah nalezen.

     

    V části (b) můžeme použít výsledků části (a), pokud změny nejsou příliš rychlé a je možné použít kvazistacionární přiblížení, ve kterém zákony elektrostatiky také platí.

  • Řešení části (a)

    Užijeme diferenciální tvar Ohmova zákona a Gaussovu větu elektrostatiky (kterou můžeme použít i pro případ stacionárních proudů či v kvazistacionárním přiblížení). Platí, že celkový proud I mezi elektrodami je roven

    \[I = \oint_S \vec j\cdot d\vec S,\]

    kde integrujeme přes libovolnou uzavřenou plochu S obepínající kladnou elektrodu (to jest, elektrodu s vyšším potenciálem). Pomocí diferenciálního tvaru Ohmova zákona \[\vec j = \sigma\vec E\] upravíme pravou stranu na tvar:

    \[I = \oint_S \vec j\cdot d\vec S = \sigma\oint_S \vec E\cdot d\vec S.\]

    Dále použijeme Gaussovu větu elektrostatiky:

    \[I = \oint_S \vec j\cdot d\vec S = \sigma\oint_S \vec E\cdot d\vec S = \sigma\frac{Q}{\varepsilon_0},\]

    kde Q je celkový náboj na elektrodě. A protože pro libovolnou soustavu dvou elektrod platí

    vztah \(Q=CU\), kde C je kapacita uspořádání a U napětí mezi elektrodami, dostáváme

    \[I = \sigma\frac{CU}{\varepsilon_0},\]

    což po úpravě dává hledaný vztah

    \[R = \frac{U}{I} = \frac{\varepsilon_0}{\sigma C}.\]

    Ve výsledném vztahu vystupuje kapacita uspořádání. Ta samozřejmě závisí na konkrétním tvaru elektrod. Výsledný vztah ale ukazuje, že pokud umíme změřit kapacitu soustavy elektrod, resp. elektrický odpor tohoto obvodu, umíme druhou z těchto veličin dopočítat, aniž bychom tvar elektrod znali.

  • Řešení části (b)

    Jestliže je mezi elektrodami potenciálový rozdíl (napětí) \(u=u(t)\), pak podle předchozího výsledku mezi nimi teče proud \(i=i(t)=\frac{u(t)}{R}\), který má za následek úbytek náboje na elektrodách. Přitom platí

    \[q(t) = C\,u(t) = CR\,i(t) = -CR\frac{dq(t)}{dt},\]

    kde znaménko minus značí, že ubývá-li náboj na elektrodě, tak mezi elektrodami protéká elektrický proud. Odtud dostáváme rovnici

    \[\frac{dq(t)}{dt}+\frac{q(t)}{RC} = 0,\]

    což je lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty, jejíž řešení lze obecně psát ve tvaru

    \[q(t) = A\, \mathrm{e}^{\alpha t},\]

    kde α je kořenem charakteristické rovnice

    \[\alpha + \frac{1}{RC} = 0,\]

    odkud ihned máme, že

    \[\alpha = -\frac{1}{RC}.\]

    Konstantu A určíme z počátečních podmínek: v čase t = 0 s je náboj na elektrodách q(0) = Q0, a tudíž

    \[Q_0 = q(0) = Ae^{0} = A.\]

    Pro náboj na elektrodách tak dostáváme vztah

    \[q(t) = Q_0\, \mathrm{e}^{-t/{RC}}.\]

    S přihlédnutím ke vztahu pro odpor R z části (a) dostáváme

    \[q(t) = Q_0\, \mathrm{e}^{-t/\tau},\] \[\tau = \frac{\varepsilon_0}{\sigma}.\]

    Konstanta Q0 značí počáteční náboj na elektrodách, pro který platí Q0 = CU0, kde U0 je napětí zdroje. Pro okamžité napětí pak dostáváme vztah

    \[u(t) = \frac{q(t)}{C} = \frac{Q_0}{C}\,\mathrm{e}^{-t/\tau} = U_0\ \mathrm{e}^{-t/\tau}, \]

    což jsme měli ukázat.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Úloha na dokazování, ověřování
Zaslat komentář k úloze