Na tvaru nezáleží?
Úloha číslo: 253
Dvě kovové elektrody neznámého tvaru jsou umístěny do materiálu o vodivosti σ, přičemž vnější prostředí je zcela nevodivé.
(a) Ukažte, že odpor R mezi elektrodami je určen kapacitou C takového uspořádání a platí \(R = \frac{\varepsilon_0}{\sigma C}.\)
(b) Předpokládejte, že elektrody připojíte k baterii a nabijete na potenciálový rozdíl U0. Poté baterii odpojíte. Ukažte, že náboj z elektrod postupně „odtéká“ a pro okamžité napětí u(t) mezi elektrodami platí vztah \(u(t) = U_0\,\mathrm{e}^\mathrm{-t/\tau},\ \) kde \(\tau = \frac{\varepsilon_0}{\sigma}.\ \)
Návod k části (a)
Obepněte jednu z elektrod (myšlenou) uzavřenou plochou. Vyjádřete celkový proud, který z/do této elektrody teče jako integrál hustoty proudu přes tuto plochu, a uvědomte si, co říká tzv. diferenciální tvar Ohmova zákona.
Poté použijte Gaussovu větu elektrostatiky. Obdržíte vztah spojující proud mezi elektrodami s nábojem na elektrodách.
Nakonec si uvědomte, jak souvisí náboj na elektrodách s kapacitou a napětím. Dostanete tak vztah mezi napětím a proudem, z něhož lehce spočtete elektrický odpor tohoto uspořádání.
Nápověda k části (b)
Vyjděte ze vztahu mezi okamžitým nábojem \(q(t)\) na elektrodách a okamžitým napětím mezi
elektrodami \(u(t)\):
\[q(t)=C\cdot u(t).\]Napětí je nenulové a odpor prostředí mezi elektrodami není nekonečný, to znamená, že mezi elektrodami bude téci proud o okamžité hodnotě \(i(t)\) a náboj na elektrodách i napětí se bude postupně snižovat.
Vyjádřete okamžité napětí pomocí okamžitého proudu a proud jako derivaci náboje podle času. Dostanete diferenciální rovnici pro náboj na elektrodách v závislosti na čase, kterou vyřešte. Zpětným dosazením do vztahu \[u(t)=\frac{q(t)}{C}\] pak najdete časovou závislost napětí.
Rozbor
Kapacita soustavy je konstanta přímé úměrnosti mezi nábojem na elektrodách a napětím mezi elektrodami. Odpor soustavy je konstanta přímé úměrnosti mezi napětím mezi elektrodami a proudem tekoucím v obvodu.
Potřebujeme tedy najít nějaký vztah mezi nábojem na elektrodách a proudem v obvodu. K tomu nám poslouží intenzita elektrického pole \(\vec E\). Náboj na elektrodách vytváří elektrické pole o intenzitě \(\vec E\) a toto pole zase umíme pomocí diferenciálního tvaru Ohmova zákona vztáhnout k hustotě proudu. K tomu poznamenejme, že je-li napětí stálé, je také náboj na elektrodách stálý a mezi elektrodami teče stálý proud.
V takové situaci můžeme použít zákony elektrostatiky, neboť se jedná o stacionární případ. Potřebujeme najít celkový tekoucí proud a nemusíme zkoumat jeho rozložení. Abychom jej spočetli, můžeme hustotu proudu integrovat přes libovolnou uzavřenou plochu S obepjatou kolem jedné z elektrod a nemající ve vnitřku elektrodu druhou. Dostaneme
\[I = \oint_\mathrm{S} \vec j\cdot d\vec S = \sigma\oint_\mathrm{S} \vec E\cdot d\vec S.\]Integrál napravo ale souvisí s nábojem na elektrodách přes Gaussovu větu elektrostatiky. Tím je hledaný vztah nalezen.
V části (b) můžeme použít výsledků části (a), pokud změny nejsou příliš rychlé a je možné použít kvazistacionární přiblížení, ve kterém zákony elektrostatiky také platí.
Řešení části (a)
Užijeme diferenciální tvar Ohmova zákona a Gaussovu větu elektrostatiky (kterou můžeme použít i pro případ stacionárních proudů či v kvazistacionárním přiblížení). Platí, že celkový proud I mezi elektrodami je roven
\[I = \oint_\mathrm{S} \vec j\cdot d\vec S,\]kde integrujeme přes libovolnou uzavřenou plochu S obepínající kladnou elektrodu (tj. elektrodu s vyšším potenciálem). Pomocí diferenciálního tvaru Ohmova zákona \[\vec j = \sigma\vec E\] upravíme pravou stranu na tvar:
\[I = \oint_\mathrm{S} \vec j\cdot d\vec S = \sigma\oint_\mathrm{S} \vec E\cdot d\vec S.\]Dále použijeme Gaussovu větu elektrostatiky:
\[I = \oint_\mathrm{S} \vec j\cdot d\vec S = \sigma\oint_\mathrm{S} \vec E\cdot d\vec S = \sigma\frac{Q}{\varepsilon_0},\]kde Q je celkový náboj na elektrodě. A protože pro libovolnou soustavu dvou elektrod platí
vztah \(Q=CU\), kde C je kapacita uspořádání a U napětí mezi elektrodami, dostáváme
\[I = \sigma\frac{CU}{\varepsilon_0},\]což po úpravě dává hledaný vztah
\[R = \frac{U}{I} = \frac{\varepsilon_0}{\sigma C}.\]Ve výsledném vztahu vystupuje kapacita uspořádání. Ta samozřejmě závisí na konkrétním tvaru elektrod. Výsledný vztah ale ukazuje, že pokud umíme změřit kapacitu soustavy elektrod, resp. elektrický odpor tohoto obvodu, umíme druhou z těchto veličin dopočítat, aniž bychom tvar elektrod znali.
Řešení části (b)
Jestliže je mezi elektrodami potenciálový rozdíl (napětí) \(u=u(t)\), pak podle předchozího výsledku mezi nimi teče proud \(i=i(t)=\frac{u(t)}{R}\), který má za následek úbytek náboje na elektrodách. Přitom platí
\[q(t) = C\,u(t) = CR\,i(t) = -CR\frac{dq(t)}{dt},\]kde znaménko minus značí, že ubývá-li náboj na elektrodě, tak mezi elektrodami protéká elektrický proud. Odtud dostáváme rovnici
\[\frac{dq(t)}{dt}+\frac{q(t)}{RC} = 0,\]což je lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty, jejíž řešení lze obecně psát ve tvaru
\[q(t) = A\, \mathrm{e}^{\alpha t},\]kde α je kořenem charakteristické rovnice
\[\alpha + \frac{1}{RC} = 0,\]odkud ihned máme, že
\[\alpha = -\frac{1}{RC}.\]Konstantu A určíme z počátečních podmínek: v čase t = 0 s je náboj na elektrodách q(0) = Q0, a tudíž
\[Q_0 = q(0) = Ae^{0} = A.\]Pro náboj na elektrodách tak dostáváme vztah
\[q(t) = Q_0\, \mathrm{e}^\mathrm{-t/{RC}}.\]S přihlédnutím ke vztahu pro odpor R z části (a) dostáváme
\[q(t) = Q_0\, \mathrm{e}^\mathrm{-t/\tau},\] \[\tau = \frac{\varepsilon_0}{\sigma}.\]Konstanta Q0 značí počáteční náboj na elektrodách, pro který platí Q0 = CU0, kde U0 je napětí zdroje. Pro okamžité napětí pak dostáváme vztah
\[u(t) = \frac{q(t)}{C} = \frac{Q_0}{C}\,\mathrm{e}^\mathrm{-t/\tau} = U_0\ \mathrm{e}^\mathrm{-t/\tau}, \]což jsme měli ukázat.
