Pole nabitého válce

Úloha číslo: 444

Nekonečně dlouhý válec o poloměru R je rovnoměrně nabit nábojem s objemovou hustotou ρ.

1) Najděte vztah pro intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti z od osy válce.

2) Určete také potenciál ve vzdálenosti z.

Uvažujte pole uvnitř i vně válce, tzn. najděte průběh elektrické intenzity a potenciálu pro z v intervalu „od nuly až do nekonečna“.

  • Nápověda: Intenzita elektrického pole

    Protože k řešení úlohy se hodí využít Gaussovu větu, je třeba si rozmyslet, jakou Gaussovu plochu zvolíme.

    Vhodnou plochou je povrch válce o poloměru z a výšce h, jehož osa splývá s osou nabitého válce. V takovém případě je vektor elektrické intenzity ve všech místech kolmý na plášť válce a rovnoběžný s podstavami. (Viz oddíl Jak volit Gaussovu plochu? v úloze Pole rovnoměrně nabité koule.)

    Úlohu rozdělíme na dvě části:

    • Poloměr Gaussova válce je větší než poloměr nabitého válce.
    • Poloměr Gaussova válce je menší než poloměr nabitého válce.
  • Nápověda: Elektrický potenciál

    Potenciál je roven potenciální energii vztažené na jednotkový náboj

    \[\varphi\,=\, \frac{E_p}{Q}\]

    a potenciální energie je rovna záporně vzaté práci, kterou musí vykonat elektrická síla, aby přenesla náboj z místa s nulovou potenciální energií (v našem případě zvolíme nulovou potenciální energii na povrchu válce) do daného místa.

    \[E_p(z)\,=\, - \int^z_{R} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{z}\]

    Obě strany rovnice vydělíme nábojem Q a dostaneme:

    \[\varphi\,=\, - \int^z_{R} \frac{\vec{F}} {Q}\cdot \mathrm{d}\vec{z}\,.\]

    Jestliže sílu \(\vec{F}\) vydělíme nábojem Q, získáme intenzitu elektrického pole \(\vec{E}\).

    \[\varphi\,=\, - \int^z_{R} \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{z}\]
  • Rozbor

    Úlohu si rozdělíme na dvě části. Budeme zkoumat zvlášť pole uvnitř nabitého válce a zvlášť pole vně válce.

    Vzhledem k symetrickému rozložení náboje je nejjednodušším způsobem nalezení intenzity elektrického pole v tomto případě využití Gaussovy věty. Gaussova věta vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity uzavřenou plochou a celkovým nábojem, který se nachází uvnitř této plochy.

    Vektor elektrické intenzity míří ve všech místech od osy válce směrem ven a jeho velikost závisí pouze na vzdálenosti od osy válce. Důvodem je symetrické rozložení náboje uvnitř válce. Pro zdůvodnění může pomoci následující představa. Náboj je uvnitř válce rozložen symetricky, a proto nepoznáme žádný rozdíl, pokud válec libovolně natočíme kolem jeho osy. Pole kolem válce musí zůstat stále stejné, a proto i vektor intenzity musím mít v daném místě při různých otočeních stále stejný směr a velikost.

    Gaussovou plochou zvolíme povrch válce, jehož osa splývá s osou nabitého válce. V tomto případě má vektor elektrické intenzity na celé ploše pláště válce stejnou velikost a je na ni kolmý. Naopak s podstavami válce je vektor intenzity rovnoběžný, proto je tok intenzity podstavami roven nule. Tím se nám zjednoduší výpočet celkového toku intenzity.

    Počítáme-li intenzitu vně válce, bude mít Gaussův válec větší poloměr než nabitý válec. Uvnitř válce je tedy veškerý náboj rozložený v části válce o výšce h. Vyjádříme ho pomocí hustoty náboje a objemu nabitého válce.

    Počítáme-li intenzitu uvnitř nabitého válce, bude Gaussův válec mít menší poloměr než nabitý válec. Pomocí hustoty náboje a objemu Gaussova válce vyjádříme náboj, který je uzavřen uvnitř Gaussova válce.

    Potenciál vypočítáme z elektrické intenzity. Potenciál v daném místě se až na znaménko rovná integrálu intenzity z místa s nulovým potenciálem do tohoto místa. Nulový potenciál zvolíme na povrchu válce. (Podrobnější vysvětlení je uvedeno v nápovědě.)

  • Řešení: Intenzita vně válce

    V tomto oddíle určíme intenzitu elektrického pole vně nabitého válce, tzn. pro z > R

    Zvolená Gaussova plocha

    Využijeme Gaussovu větu:

    \[\oint_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\] \[\oint_S \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\tag{*}\]

    Náboj je ve válci rozložen symetricky, proto je i elektrické pole vytvořené válcem symetrické. Vektor elektrické intenzity míří ve všech místech od osy válce (tj. je kolmý na plášť válce) a jeho velikost závisí pouze na vzdálenosti od osy válce.

     

    Zvolená Gaussova plocha

    Jako Gaussovu plochu volíme povrch válce (na obrázcích vyznačen zeleně), jehož osa splývá s osou nabitého válce. Celkový tok intenzity plochou získáme sečtením toku podstavami a pláštěm válce.

    Tok podstavami:

    Vektor elektrické intenzity je rovnoběžný s podstavami Gaussova válce a tok elektrické intenzity podstavami je tedy nulový. Celkový tok intenzity Gaussovou plochou je tedy roven pouze toku pláštěm válce.

    Tok pláštěm:

    Vektor elektrické intenzity je kolmý k povrchu pláště válce, a proto platí \(\vec{E} \cdot \vec{n}\,=\,En\,=\,E\) (pozn. \(\vec{n}\) je jednotkový vektor).

    S využitím těchto poznatků můžeme vyjádřit tok intenzity pláštěm a upravit integrál na levé straně Gaussovy věty:

    \[\oint_{pl} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,\oint_{pl} E n\mathrm{d}S\,=\, \oint_{pl} E\mathrm{d}S\,.\]

    Velikost vektoru elektrické intenzity E je ve všech místech pláště Gaussova válce stejná, a proto ji můžeme vyjmout před integrál jako konstantu. Dostáváme tedy vztah

    \[\oint_{pl} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E \oint_{pl} \mathrm{d}S\,=\,E S_{pl}\]

    kde Spl = 2πzh je obsah pláště Gaussova válce (h je výška válce).

    \[\oint_{pl} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E\, 2 \pi z h\]

    Výsledný vztah dosadíme zpět do Gaussovy věty (*).

    \[E 2 \pi z h\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\]

    Vyjádříme velikost intenzity.

    \[E \,=\, \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 z h}\tag{**}\]

    Zbývá vyjádřit náboj Q uvnitř zvolené Gaussovy plochy pomocí zadaných veličin.

    Uvnitř plochy je část nabitého válce, náboj tedy můžeme vyjádřit pomocí jeho objemu V a objemové hustoty náboje ρ.

    \[Q\,=\,V \varrho\,=\, \pi R^2 h \varrho\]

    Dosadíme do vzorce (**) a upravíme.

    \[E \,=\, \frac{\pi R^2 h \varrho}{2 \pi \varepsilon_0 z h}\]

    Ve vzdálenosti z má elektrické pole nabitého válce intenzitu:

    \[E \,=\, \frac{ R^2 \varrho}{2 \varepsilon_0}\,\frac{1}{ z }\]

    Velikost intenzity E vně nabitého válce tedy lineárně klesá se vzdáleností z od osy válce.

  • Řešení: Intenzita uvnitř válce

    V tomto oddíle určíme intenzitu elektrického pole uvnitř nabitého válce, tzn. pro z < R. Postup je podobný jako v předchozím oddíle Intenzita vně válce, proto není komentován tak podrobně.

    Elektrickou intenzitu vypočítáme pomocí Gaussovy věty:

    \[\oint_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\, \frac{Q_1}{\varepsilon_0}\]

    kde Q1 je náboj uvnitř zvolené Gaussovy plochy.

    Za Gaussovu plochu zvolíme plášť válce, jehož osa je totožná s osou nabitého válce a má poloměr z < R.

    Zvolená Gaussova plocha

    Tok intenzity podstavami válce je roven nule a celkový tok je tedy roven toku pláštěm válce.

    Stejnými úvahami o symetrii jako v předchozím oddíle odvodíme, že vektor intenzity má na celé ploše pláště Gaussova válce stejnou velikost a je na něj kolmý, proto platí:

    \[\oint_{pl} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\,\oint_{pl} En \mathrm{d}S\,=\,\oint_{pl} E \mathrm{d}S\,=\,E\oint_{pl} \mathrm{d}S\,=\,E\, 2 \pi z h\,.\]

    Výsledný vztah dosadíme zpět do Gaussovy věty (*).

    \[E 2 \pi z h\,=\, \frac{Q_1}{\varepsilon_0}\]

    Vyjádříme velikost intenzity.

    \[E \,=\, \frac{Q_1}{2 \pi \varepsilon_0 z h}\tag{+}\]

    Zbývá vyjádřit náboj Q1 uvnitř zvolené Gaussovy plochy pomocí zadaných veličin.

    Protože Gaussův válec má menší poloměr než nabitý válec, je v něm uzavřena pouze část náboje. Náboj vyjádříme pomocí objemu Gausova válce V1 a objemové hustoty náboje ρ.

    \[Q_1\,=\,V_1 \varrho\,=\, \pi z^2 h \varrho\]

    Dosadíme do vzorce (+) a upravíme.

    \[E \,=\, \frac{\pi z^2 h \varrho}{2 \pi \varepsilon_0 z h}\]

    Ve vzdálenosti z má elektrické pole uvnitř nabitého válce intenzitu:

    \[E \,=\, \frac{\varrho}{2 \varepsilon_0}\,z\,.\]

    Velikost intenzity E uvnitř nabitého válce tedy lineárně roste se vzdáleností z od osy válce.

  • Řešení: Potenciál vně válce

    Potenciál v bodě A se až na znaménko rovná integrálu intenzity z místa s nulovým potenciálem do bodu A. Nulový potenciál zvolíme na povrchu válce pro R = 0. (Podrobnější vysvětlení je uvedeno v nápovědě.)

    \[\varphi (z)\,=\, - \int_{R}^z \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{z}\]

    Pozn.: Pokud bychom volili nulový potenciál v nekonečnu jako u většiny úloh, nemohli bychom integrál dopočítat. Podobně jako v úloze Pole rovnoměrně nabité roviny, viz její oddíl Potenciál.

    Potenciál nezávisí na volbě integrační cesty, proto ji můžeme volit libovolně. V této úloze jako integrační cestu zvolíme část přímky, která směřuje kolmo na osu válce.

    Vektor elektrické intenzity \(\vec{E}\) je rovnoběžný s vektorem \(\vec{z}\), proto můžeme integrál zjednodušit.

    \[ \varphi (z)\,=\, - \int^{z}_{R} E \mathrm{d}z \]

    Nyní musíme úlohu opět rozdělit na dva případy a spočítat zvlášť potenciál vně a uvnitř válce.

    Nejprve vyjádříme potenciál ve vzdálenosti z vně válce.

    \[\varphi (z)\,=\, - \int^{z}_{R} E \mathrm{d}z \]

    Do integrálu dosadíme velikost intenzity, kterou jsme si vyjádřili v oddíle a vytkneme před integrál všechny konstanty

    \[\varphi (z)\,=\, - \int^{z}_{R} \frac{\varrho R^2}{2 \varepsilon_0}\,\frac{1}{z}\, \mathrm{d}z \,=\, - \frac{\varrho R^2}{2 \varepsilon_0} \int^{z}_{R}\frac{1}{z}\, \mathrm{d}z\]

    Vypočítáme určitý integrál

    \[\varphi (z)\,=\,- \,\frac{\varrho R^2}{2\varepsilon_0}\left[\ln z\right]^z_{R}\,.\]

    Dosadíme meze integrálu a vytkneme konstanty:

    \[\varphi (z)\,=\,-\frac{\varrho R^2}{2\varepsilon_0}\, \ln z\,+\,\frac{\varrho R^2}{2\varepsilon_0}\, \ln R\,=\,\frac{\varrho R^2}{2\varepsilon_0}\, \left(\ln R\,-\, \ln z\right)\,.\]

    Rozdíl logaritmů je logaritmus podílu.

    \[\varphi (z)\,=\,\frac{\varrho R^2}{2\varepsilon_0}\, \ln \frac{R}{z}\]

    Získali jsme velikost potenciálu vně válce ve vzdálenosti z.

  • Řešení: Potenciál uvnitř válce

    Při výpočtu potenciálu uvnitř válce budeme postupovat podobně jako v předchozím oddíle. Potenciál vyjádříme ze vztahu:

    \[ \varphi (z)\,=\, - \int^{z}_{R} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{z}\,=\, - \int^{z}_{R} E \mathrm{d}z \,.\]

    Dosadíme velikost intenzity uvnitř válce, kterou jsme si vyjádřili dříve a dostaneme

    \[\varphi (z)\,=\, - \int^{z}_{R} \frac{ \varrho}{2 \varepsilon_0}z\, \mathrm{d}z \,=\, - \,\frac{ \varrho}{2 \varepsilon_0}\int^{z}_{R} z\, \mathrm{d}z \,=\, - \,\frac{ \varrho}{2 \varepsilon_0}\left[\frac{z^2}{2} \right]^z_{R} \,.\]

    Dosadíme meze integrálu a po úpravě získáme potenciál uvnitř válce.

    \[\varphi (z)\,=\,- \,\frac{ \varrho}{2 \varepsilon_0}\,\frac{z^2}{2} \, + \,\frac{ \varrho}{2 \varepsilon_0}\,\frac{R^2}{2} \] \[\varphi (z)\,=\,- \,\frac{ \varrho}{4 \varepsilon_0}\,z^2 \, + \,\frac{ \varrho R^2}{4 \varepsilon_0}\] \[\varphi (z)\,=\,\frac{ \varrho}{4 \varepsilon_0} \,\left(R^2\,-\,z^2 \right)\]
  • Odpověď

    Vně válce platí pro intenzitu elektrického pole vztah

    \[E \,=\, \frac{ R^2 \varrho}{2 \varepsilon_0}\,\frac{1}{ z }\,.\]

    Uvnitř válce platí pro intenzitu elektrického pole vztah

    \[E \,=\, \frac{\varrho}{2 \varepsilon_0}\,z\,.\]

    V obou případech míří vektor elektrické intenzity od osy válce směrem ven (jestliže je náboj válce kladný).

    Elektrický potenciál vně nabitého válce je dán vztahem

    \[\varphi (z)\,=\,\frac{\varrho R^2}{2\varepsilon_0}\, \ln \frac{R}{z}\,.\]

    Elektrický potenciál uvnitř nabitého válce je dán vztahem

    \[\varphi (z)\,=\,\frac{\varrho}{4 \varepsilon_0}\,\left(R^2\,-\,z^2 \right)\,.\]
  • Grafy

    Při kreslení grafů uvažujeme, že je válec nabitý kladným nábojem.

    Graf závislosti velikosti el. intenzity na vzdálenosti od osy válce

    Graf závislosti velikosti el. intenzity na vzdálenosti od osy válce

    Uvnitř válce má intenzita elektrického pole velikost \(E \,=\, \frac{\varrho}{2 \varepsilon_0}\,z\,.\)

    Vně válce má intenzita elektrického pole velikost \(E \,=\, \frac{ R^2 \varrho}{2 \varepsilon_0}\,\frac{1}{ z }\,.\)

    První část grafu (pro hodnoty z od 0 do R) tvoří část přímky, která prochází počátkem. Pro vzdálenost z větší než R pak intenzita klesá (část grafu nepřímé úměrnosti, tj. čst hyperboly).

    Graf funkce je spojitý. Přesvědčíme se o tom, pokud do obou vztahů pro výpočet intenzity dosadíme z = R.

    Pozn.: Intenzita elektrického pole je spojitá s výjimkou bodů, kdy prochází nabitou plochou. Při průchodu nabitou plochou zůstávají spojité pouze tečné složky vektoru. Normálové složky se mění „skokem“, který je úměrný plošné hustotě náboje. V této úloze ale žádné nabité plochy nejsou.

    Graf závislosti el. potenciálu na vzdálenosti od osy válce

    Graf závislosti velikosti potenciálu na vzdálenosti od osy válce

    Elektrický potenciál uvnitř nabitého válce má velikost \(\varphi (z)\,=\,\frac{\varrho}{4 \varepsilon_0}\left(R^2\,-\,z^2 \right) \,.\)

    Elektrický potenciál vně nabitého válce má velikost \(\varphi (z)\,=\,\frac{\varrho R^2}{2\varepsilon_0}\, \ln \frac{R}{z}\, .\)

    První část grafu (pro hodnoty z od 0 do R) tvoří část paraboly s vrcholem na ose y . Pro větší vzdálenost intenzita klesá jako přirozený logaritmus.

    Funkce je opět v bodě z = R spojitá a má navíc v tomto bodě spojité i první derivace a je tedy i hladká.

    Pozn.: Elektrický potenciál je vždy spojitý, protože se jedná vlastně o práci při přenášení jednotkového náboje a ta se nemůže změnit „skokově“. Kromě bodů na nabitých plochách má potenciál spojité také první derivace, tj. je hladký.

  • Odkaz na podobnou úlohu

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Diplomová práce Lenky Matějíčkové (2010).
×Původní zdroj: Diplomová práce Lenky Matějíčkové (2010).
Zaslat komentář k úloze