Závit v magnetickém poli
Úloha číslo: 803
V magnetickém poli je umístěn závit o ploše 20 cm2 a odporu 5 Ω. Rovina závitu je kolmá na směr magnetických indukčních čar. Určete velikost indukce tohoto magnetického pole, jestliže při rychlém vysunutí závitu z tohoto pole prošel závitem náboj 10-6 C.
Nápověda
Zkuste si nejprve pro jednoduchost představit, že je smyčka obdélníková a z magnetického pole ji vytáhnete rovnoměrně.
Zápis
S = 20 cm2 = 2·10-3 m2 obsah závitu R = 5 Ω odpor závitu Q = 1·10-6 C náboj, který prošel závitem při vysouvání B = ? (T) magnetická indukce pole Zjednodušené řešení
Pro jednoduchost si můžeme představit, že je smyčka obdélníková a z magnetického pole ji vytáhneme rovnoměrně, což nám podstatně zjednoduší výpočet. Indukované napětí Ui spočítáme podle Faradayova zákona elektromagnetické indukce. Protože závit vytahujeme rovnoměrně, můžeme psát \[U_\mathrm{i}=\frac{BS}{t},\] kde B je velikost hledané magnetické indukce, S obsah smyčky a t doba, po kterou smyčku vytahujeme z magnetického pole.
Pro indukované napětí platí Ohmův zákon \[U_\mathrm{i}=RI_\mathrm{i},\] kde R je odpor smyčky a Ii indukovaný proud. Ten je v našem případě konstantní, a proto se dá vyjádřit jako \(I_\mathrm{i}=\frac{Q}{t}\), kde Q je náboj, který projde vodičem za čas t.
Teď už jen dáme do rovnosti oba vztahy pro indukované napětí Ui a vyjádříme hledanou velikost magnetické indukce B: \[\frac{BS}{t}=\frac{QR}{t}\qquad \Rightarrow \qquad B=\frac{QR}{S}.\] Do tohoto vztahu už dosadíme hodnoty ze zadání: \[B=\frac{QR}{S}=\frac{1{\cdot} 10^{-6} \cdot 5}{2{\cdot} 10^{-3}}\,\mathrm T=2{,}5{\cdot} 10^{-3}\,\mathrm T=2{,}5\,\mathrm {mT}.\]
Obecné řešení
Při vysouvání závitu z magnetického pole se mění magnetický indukční tok procházející závitem, a proto se v něm podle Faradayova zákona indukuje napětí, pro jehož velikost platí vztah
\[ U_\mathrm{i}=\frac{B\,\mathrm dS}{\mathrm dt}. \]Závitem poté poteče časově proměnný proud
\[ I_\mathrm{i}=\frac{U_\mathrm{i}}{R}=\frac{B\,\mathrm dS}{R\,\mathrm dt}. \]Uvážíme-li, že proud je časovou změnou elektrického náboje, můžeme psát
\[ I_\mathrm{i}=\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}. \] Odtud vyjádříme náboj:
\[ \mathrm dQ=I_\mathrm{i}\,\mathrm dt \] \[ Q=\int{I_\mathrm{i}}\,\mathrm dt. \]Po dosazení za proud dostáváme integrál, ve kterém se časový úsek dt vykrátí, takže celkový prošlý náboj nezávisí na způsobu vytahování:
\[ Q=\int{I_\mathrm{i}}\,\mathrm dt=\int{\frac{B\,\mathrm dS}{R\,\mathrm dt}\,\mathrm dt}=\frac{B}{R}\int{\mathrm dS}=\frac{BS}{R}. \]Odtud vyjádříme B a dostáváme se ke stejnému vztahu jako v prvním řešení:
\[ B=\frac{QR}{S}. \]Odpověď
Velikost magnetické indukce tohoto pole je 2,5 mT.
Komentář
Asi vám připadá zvláštní, že v obou řešeních docházíme ke stejnému výsledku. Nejde však o žádnou zvláštnost, jen jsme si ukázali, že celkový náboj nezávisí na rychlosti, respektive času vytahování, ani na tvaru smyčky.
To, že tvar smyčky nehraje roli, vidíme také při výpočtu, kde nás po celou dobu zajímá jen obsah smyčky, který nezávisí na tvaru.
Nezávislost na čase vytahování plyne z toho, že časové úseky dt se ve výpočtu vykrátí. Také k tomu lze dospět úvahou. Při rychlém vytažení bude velké indukované napětí, tím i velký indukovaný proud, ale za malý čas. Budete-li vytahovat pomalu, bude to sice trvat dlouho (velký čas), ale indukovat se bude malé napětí, což znamená malý proud. Celkový náboj bude v obou případech shodný.
Odkaz na podobné úlohy
