Závit v magnetickém poli

Úloha číslo: 803

V magnetickém poli je umístěn závit o ploše 20 cm2 a odporu 5 Ω. Rovina závitu je kolmá na směr magnetických indukčních čar. Určete velikost indukce tohoto magnetického pole, jestliže při rychlém vysunutí závitu z tohoto pole prošel závitem náboj 10-6 C.

  • Nápověda

    Zkuste si nejprve pro jednoduchost představit, že je smyčka obdélníková a z magnetického pole ji vytáhnete rovnoměrně.

  • Zápis

    S = 20 cm2 = 2·10-3 m2 obsah závitu
    R = 5 Ω odpor závitu
    Q = 1·10-6 C náboj, který prošel závitem při vysouvání
    B = ? (T) magnetická indukce pole
  • Zjednodušené řešení

    Pro jednoduchost si můžeme představit, že je smyčka obdélníková a z magnetického pole ji vytáhneme rovnoměrně, což nám podstatně zjednoduší výpočet. Indukované napětí Ui spočítáme podle Faradayova zákona elektromagnetické indukce, protože závit vytahujeme rovnoměrně můžeme psát \[U_i=\frac{BS}{t},\] kde B je velikost hledané magnetické indukce, S obsah smyčky a t doba, po kterou smyčku vytahujeme z magnetického pole.

    Pro indukované napětí platí Ohmův zákon \[U_i=RI_i,\] kde R je odpor smyčky a Ii indukovaný proud, ten je v našem případě konstantní, a proto se dá vyjádřit jako \(I_i=\frac{Q}{t}\), kde Q je náboj, který projde vodičem za čas t.

    Teď už jen dáme do rovnosti oba vztahy pro indukované napětí Ui a vyjádříme hledanou velikost magnetické indukce B \[\frac{BS}{t}=\frac{QR}{t}\qquad \Rightarrow \qquad B=\frac{QR}{S}.\] Do tohoto vztahu už dosadíme hodnoty ze zadání. \[B=\frac{QR}{S}=\frac{1{\cdot} 10^{-6} \cdot 5}{2{\cdot} 10^{-3}}\,\mathrm T=2{,}5{\cdot} 10^{-3}\,\mathrm T=2{,}5\,\mathrm {mT}\]

  • Obecné řešení

    Při vysouvání závitu z magnetického pole se mění magnetický indukční tok závitem, a proto se v něm podle Faradayova zákona indukuje napětí, pro jehož velikost platí vztah

    \[ U_i=\frac{B\,\mathrm dS}{\mathrm dt}. \]

    Závitem poté poteče časově proměnný proud

    \[ I_i=\frac{U_i}{R}=\frac{B\,\mathrm dS}{R\,\mathrm dt}. \]

    Uvážíme-li, že proud je časovou změnou elektrického náboje, můžeme psát

    \[ I_i=\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}. \] Odtud vyjádříme náboj

    \[ \mathrm dQ=I_i\,\mathrm dt \] \[ Q=\int{I_i}\,\mathrm dt. \]

    Po dosazení za proud dostáváme integrál, ve kterém se časový úsek dt vykrátí, takže celkový prošlý náboj nezávisí na způsobu vytahování

    \[ Q=\int{I_i}\,\mathrm dt=\int{\frac{B\,\mathrm dS}{R\,\mathrm dt}\,\mathrm dt}=\frac{B}{R}\int{\mathrm dS}=\frac{BS}{R}. \]

    Odtud vyjádříme B a dostáváme se ke stejnému vztahu jako v prvním řešení

    \[ B=\frac{QR}{S}. \]
  • Odpověď

    Velikost magnetické indukce tohoto pole je 2,5 mT.

  • Komentář

    Asi vám připadá zvláštní, že v obou řešeních docházíme ke stejnému výsledku. Nejde však o žádnou zvláštnost, jen jsme si ukázali, že celkový náboj nezávisí na rychlosti, respektive času vytahování, ani na tvaru smyčky.

    To, že tvar smyčky nehraje roli, vidíme z toho, že po celou dobu výpočtu nás zajímá akorát obsah smyčky, který nezávisí na tvaru.

    Nezávislost na čase vytahování plyne z toho, že časové úseky dt se ve výpočtu vykrátí. Také k tomu lze dospět úvahou. Při rychlém vytáhnutí, bude velké indukované napětí, tím i velký indukovaný proud, ale za malý čas. Budete-li vytahovat pomalu, bude to sice trvat dlouho (velký čas), ale indukovat se bude malé napětí, což znamená malý proud. Celkový náboj bude v obou případech shodný.

  • Odkaz na podobné úlohy

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Zaslat komentář k úloze