RLC obvod s nastavitelnou kapacitou kondenzátoru

Úloha číslo: 739

Ke zdroji střídavého napětí o efektivní hodnotě 10 V a frekvenci 50 Hz jsou do série připojeny ideální cívka, rezistor o odporu 5 Ω a kondenzátor s proměnnou kapacitou. Při nastavení kapacity kondenzátoru na C1 = 100 μF teče obvodem stejný proud jako při nastavení kapacity na C2 = 200 μF. Určete indukčnost cívky a spočtete efektivní hodnotu proudu, který teče obvodem při kapacitě C2.

  • Nápověda

    Uvědomte si, co vyplývá z poznatku, že při různých kapacitách kondenzátoru protéká obvodem stále stejný proud. Jaká další veličina musí být pro obě nastavení kapacity kondenzátoru stejná?

  • Nápověda – impedance sériového RLC obvodu

    Připomeňte si, jaký je vztah pro celkovou impedanci sériového RLC obvodu a jak ho lze odvodit z diagramu pro impedance.

  • Rozbor

    Teče-li při obou hodnotách kapacity kondenzátoru obvodem stejný proud, vyplývá z Ohmova zákona pro obvod se střídavým napětím, že v obou případech má obvod stejnou impedanci. Z tohoto poznatku vyjádříme indukčnost cívky zařazené v obvodu.

    Při znalosti indukčnosti cívky jsme již snadno schopni spočítat proud tekoucí obvodem při dané kapacitě pomocí Ohmova zákona pro obvod se střídavým proudem.

  • Řešení

    Platí-li, že proudy při obou hodnotách kapacity kondenzátoru jsou stejné, musí být stejné celkové impedance obvodu (podrobněji v nápovědě):

    \[Z_1=Z_2. \]

    Pro impedance sériově zapojeného RLC obvodu můžeme psát:

    \[\sqrt{R^2 + (X_L - X_{C1})^2}=\sqrt{R^2 + (X_L - X_{C2})^2},\]

    kde R je odpor rezistoru, XL induktance cívky a XC kapacitance kondenzátoru.

    Dosadíme za induktanci a kapacitance:

    \[\sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C_1}\right)^2}=\sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C_2}\right)^2},\]

    kde L je indukčnost cívky a ω je úhlová frekvence napětí zdroje.

    Z této rovnosti postupně vyjádříme hledanou indukčnost cívky L. Nejprve obě strany rovnice umocníme:

    \[R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C_1}\right)^2=R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C_2}\right)^2,\] \[ \left(\omega L - \frac{1}{\omega C_1}\right)^2= \left(\omega L - \frac{1}{\omega C_2}\right)^2.\]

    Nyní obě strany rovnice odmocníme:

    \[ \omega L - \frac{1}{\omega C_1}= \pm \left(\omega L - \frac{1}{\omega C_2}\right).\]

     

    Odmocněním jsme dostali dvě možné rovnice:

    \[ \omega L - \frac{1}{\omega C_1}= \omega L - \frac{1}{\omega C_2},\tag{1}\] \[ \omega L - \frac{1}{\omega C_1}= - \omega L + \frac{1}{\omega C_2}.\tag{2}\]

    Vezmeme-li první z rovnic a upravíme:

    \[ \omega L - \frac{1}{\omega C_1}= \omega L - \frac{1}{\omega C_2}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\omega C_1}= \frac{1}{\omega C_2}\quad\Rightarrow\quad C_1=C_2,\tag{1}\]

    je zřejmé, že tato rovnost nemůže nastat nikdy, protože je stálá frekvence zdroje.

    Zůstává nám tedy druhá rovnice, ze které vyjádříme indukčnost cívky L:

    \[ \omega L - \frac{1}{\omega C_1}= - \omega L + \frac{1}{\omega C_2},\tag{2}\] \[ 2\omega L = \frac{1}{\omega C_1} + \frac{1}{\omega C_2} = \frac{1}{\omega }\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{ C_2}\right),\] \[ L = \frac{1}{2 {\omega}^2 }\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{ C_2}\right) = \frac{1}{2 (2\pi f)^2 }\frac{C_1+C_2}{C_1 C_2} = \frac{1}{8(\pi f)^2 }\frac{C_1+C_2}{C_1 C_2},\]

    kde f je frekvence napětí zdroje.


    Při znalosti indukčnosti cívky jsme již schopni spočítat proud tekoucí obvodem při dané kapacitě C2. Z Ohmova zákona bude platit:

    \[ I = \frac{U}{Z_2},\]

    kde I je efektivní hodnota proudu a U efektivní hodnota napětí.

    Nejdříve si vyjádříme velikost impedance Z2:

    \[ Z_2 = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C_2}\right)^2},\]

    dosadíme za indukčnost L kterou jsme odvodili výše:

    \[ L = \frac{1}{2 {\omega}^2 }\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{ C_2}\right),\] \[ Z_2 = \sqrt{R^2 + \left(\frac{\omega}{2 {\omega}^2 }\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{ C_2}\right) - \frac{1}{\omega C_2}\right)^2}\]

    a upravíme:

    \[ Z_2 = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{2 {\omega} }\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{ C_2}\right) - \frac{1}{\omega C_2}\right)^2}= \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{2 {\omega} C_1 }+\frac{1}{2 {\omega} C_2 } - \frac{1}{\omega C_2}\right)^2}= \] \[=\sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{2 {\omega} C_1 }- \frac{1}{2\omega C_2}\right)^2}=\sqrt{R^2 + \left(\frac{C_2-C_1}{2 {\omega} C_1 C_2}\right)^2}=\sqrt{R^2 + \left(\frac{C_2-C_1}{4 \pi f C_1 C_2}\right)^2}.\]

    Dosadíme zpět do Ohmova zákona:

    \[ I = \frac{U}{Z_2},\] \[ I =\frac{U}{\sqrt{R^2 + \left(\frac{C_2-C_1}{4 \pi f C_1 C_2}\right)^2}}.\]
  • Zápis a číselné dosazení

    U = 10 V efektivní hodnota napětí zdroje
    f = 50 Hz frekvence napětí zdroje
    R = 5 Ω odpor rezistoru
    C1 = 100 μF kapacita kondenzátoru
    C2 = 200 μF kapacita kondenzátoru
    L = ? (H) indukčnost cívky
    I = ? (A) efektivní hodnota proudu v obvodu při nastavení kapacity kondenzátoru C2

    \[ L = \frac{1}{8(\pi f)^2 }\frac{C_1+C_2}{C_1 C_2}= \frac{1}{8(\pi\cdot 50)^2 }\frac{100{\cdot}10^{-6} +200{\cdot}10^{-6}}{100{\cdot}10^{-6} \cdot 200{\cdot}10^{-6} }\,\mathrm{H}\,\dot=\,0{,}76\,\mathrm H \]
    \[ I =\frac{U}{\sqrt{R^2 + \left(\frac{C_2-C_1}{4 \pi f C_1 C_2}\right)^2}} =\frac{10}{\sqrt{5^2 + \left(\frac{200{\cdot}10^{-6}-100{\cdot}10^{-6}}{4\cdot \pi \cdot 50 {\cdot} 100\cdot10^{-6} \cdot 200{\cdot}10^{-6}}\right)^2}}\,\mathrm A\,\dot=\,1{,}06\,\mathrm A \]
  • Odpověď

    Indukčnost cívky je asi 0,076 H a obvodem teče při hodnotě kapacity 200 μF proud přibližně 1,06 A.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Zaslat komentář k úloze