Rezonanční frekvence sériovo-paralelního zapojení

Úloha číslo: 792

Určete rezonanční frekvenci obvodu zapojeného podle obrázku.

schéma zapojení
  • Nápověda – obvod v rezonanci

    Uvědomte si, co platí pro obvod v rezonanci a jaký dopad to má na velikost komplexní impedance (admitance).

  • Nápověda – paralelní obvod v rezonanci

    Uvědomte si, zda bude jednodušší vyjádřit celkovou impedanci či admitanci uvedeného obvodu.

  • Rozbor

    Vyjádříme si celkovou admitanci jako součet převrácených hodnot impedancí pro jednotlivé větve. Rezonanční frekvence je taková, při které je proud a napětí v obvodu ve fázi. To znamená, že její hodnotu získáme z nulovosti imaginární složky celkové admitance.

  • Řešení

    Při rezonanční frekvenci musí být napětí a proud obvodem ve fázi. To znamená, že imaginární složka komplexní admitance Y musí být nulová.

    Protože se jedná o paralelní zapojení větve, ve které je zapojen rezistor a cívka, a větve s kondenzátorem, získáme celkovou admitanci Y jako součet jednotlivých admitancí:

    \[ Y = Y_C + Y_{RL}, \]

    kde YC je admitance kondenzátoru a YRL admitance sériového zapojení cívky a rezistoru.


    Odvození velikosti admitance YRL:

    Nejdříve vyjádříme impedanci ZRL větve, ve které je sériově zapojen rezistor a cívka a admitanci YRL této větve určíme jako její převrácenou hodnotu:

    \[ Z_{RL} = R + X_L, \]

    kde R je odpor rezistoru a XL induktance cívky. Dosadíme za induktanci XL cívky:

    \[ Z_{RL} = R + \mathrm{j} \omega L, \]

    kde ω je úhlová frekvence a L indukčnost cívky a j komplexní jednotka.

    Vyjádříme admitanci YRL této větve:

    \[ Y_{RL} = \frac{1}{Z_{RL}} = \frac{1}{R + \mathrm{j} \omega L}. \]

    Odvození velikosti admitance YC:

    Impedance ZC větve, ve které je zapojen kondenátor je rovna kapacitanci kondenátoru XC s kapacitou o velikosti C:

    \[Z_C = X_C = \frac{1}{\mathrm{j} \omega C}. \]

    Pro admitanci lze psát:

    \[ Y_{C} = \frac{1}{X_{C}} = \frac{1}{\frac{1}{\mathrm{j} \omega C}}= \mathrm{j} \omega C. \]

    Do vztahu pro celkovou admitanci Y dosadíme vztahy odvozené výše:

    \[ Y = Y_C + Y_{RL}, \] \[ Y =\mathrm{j} \omega C + \frac{1}{R + \mathrm{j} \omega L}. \]

    Celkovou admitanci obvodu Y upravíme tak, abychom viděli její imaginární složku:

    \[ Y =\mathrm{j} \omega C + \frac{1}{R + \mathrm{j} \omega L} =\mathrm{j} \omega C + \frac{1}{R + \mathrm{j} \omega L} \,\frac{R - \mathrm{j} \omega L}{R - \mathrm{j} \omega L}=\mathrm{j} \omega C +\frac{R - \mathrm{j} \omega L}{R^2 + \omega^2 L^2}=\] \[=\mathrm{j} \omega C +\frac{R }{R^2 + \omega^2 L^2} - \frac{\mathrm{j} \omega L }{R^2 + \omega^2 L^2}=\frac{R }{R^2 + \omega^2 L^2} + \mathrm{j}\, \left(\omega C - \frac{ \omega L }{R^2 + \omega^2 L^2}\right). \]

    Při rezonanční frekvenci f platí, že imaginární složka celkové admitance Y je nulová, tedy platí:

    \[ \omega C - \frac{ \omega L }{R^2 + \omega^2 L^2} = 0,\]

    vyjádříme úhlovou frekvenci zdroje napětí ω:

    \[ \omega C = \frac{ \omega L }{R^2 + \omega^2 L^2} ,\] \[ \omega C (R^2 + \omega^2 L^2) = \omega L ,\] \[ R^2 + \omega^2 L^2= \frac{L}{C} ,\] \[ \omega^2 L^2= \frac{L}{C}- R^2 ,\] \[ \omega = \sqrt{ \frac{1}{C L}- \frac{R^2}{ L^2} } .\]

    Dosadíme za úhlovou frekvenci ω = 2πf a vyjádříme frekvenci zdroje napětí f:

    \[ f= \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{1}{C L}- \frac{R^2}{ L^2} } .\]
  • Odpověď

    Rezonanční frekvence daného obvodu je dána vztahem

    \[ f= \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{1}{C L}- \frac{R^2}{ L^2} } .\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Zaslat komentář k úloze