Elektrický odpor vodičů s různým průřezem
Úloha číslo: 723
Drát kruhového průřezu délky 8 m o průměru 0,5 mm má odpor 2 Ω. Jak dlouhý musí být drát z téhož materiálu o dvojnásobném poloměru, aby měl stejný odpor? Určete měrný elektrický odpor materiálu, z něhož je vodič vyroben.
Nápověda
Vyhledejte si vztah pro výpočet odporu homogenního vodiče v závislosti na jeho parametrech (délka vodiče, průřez, materiál).
Rozbor – řešení úvahou
Ze vztahu \(R\,=\,\rho\,\frac{l}{S}\), kde ρ je měrný elektrický odpor materiálu, vidíme, že odpor vodiče R je přímo úměrný jeho délce l a nepřímo úměrný průřezu vodiče S – se zvětšujícím se průřezem vodiče jeho odpor lineárně klesá a se zvětšující se délkou vodiče odpor roste (také lineárně).
Aby se zachoval odpor drátu, platí, že kolikrát zvětšíme průřez drátu, tolikrát musíme zvětšit i jeho délku – díky zvětšení průřezu se odpor drátu zmenšil a tento úbytek musíme „doplnit“ patřičným prodloužením drátu.
Průřez vodiče je přímo úměrný druhé mocnině poloměru (S = πr2), a tudíž i průměru vodiče. Zvětší-li se tedy průměr drátu dvakrát, zvětší se jeho průřez čtyřikrát. Aby měl tento vodič, který je vyroben ze stejného materiálu, stejný odpor jako původní „užší“ drát, musí být jeho délka čtyřikrát větší než délka původního drátu.
Jestliže je tedy původní drát dlouhý 8 m, pak výše popsaný „širší“ drát bude mít délku 32 m.
Výpočet délky drátu
Elektrický odpor vodiče vypočítáme ze vztahu:
\[R\,=\,\rho\,\frac{l}{S}\,,\]kde ρ je měrný elektrický odpor materiálu, l délka vodiče a S plocha jeho průřezu.
Pro dva různé vodiče, které mají stejný odpor, platí:
\[R_1\,=\,R_2.\]Tedy:
\[\rho_1\,\frac{l_1}{S_1}\,=\,\rho_2\,\frac{l_2}{S_2}\,.\]Jestliže jsou oba vodiče navíc ze stejného materiálu, pak mají oba stejný měrný elektrický odpor:
\[\rho_1\,=\,\rho_2\,.\]Délku jednoho vodiče pak můžeme vyjádřit v závislosti na parametrech druhého vodiče:
\[\frac{l_1}{S_1}\,=\,\frac{l_2}{S_2}\] \[l_2\,=\,\frac{S_2}{S_1}\,l_1\,.\tag{1}\]Plochu průřezu vodiče vypočítáme jako obsah kruhu o poloměru r:
\[S\,=\,\pi r^2\,=\,\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2\,,\]kde d je průměr vodiče.
Průřezy obou vodičů tedy vypočítáme ze vztahů:
\[S_1\,=\,\pi \left(\frac{d_1}{2}\right)^2\,;\hspace{15px}S_2\,=\,\pi \left(\frac{d_2}{2}\right)^2.\]Tyto výrazy dosadíme do vztahu (1):
\[l_2\,=\,\frac{\pi \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}{\pi \left(\frac{d_1}{2}\right)^2}\,l_1\] \[l_2\,=\,\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2\,l_1.\]Ze zadání úlohy víme, že průměr druhého vodiče je dvakrát větší než průměr prvního vodiče (d2 = 2d1). Tedy:
\[l_2\,=\,\left(\frac{2d_1}{d_1}\right)^2\,l_1\] \[l_2\,=\,2^2\,l_1\] \[l_2\,=\,4\,l_1.\]Měrný elektrický odpor - řešení
Měrný elektrický odpor materiálu vyjádříme ze vztahu:
\[R\,=\,\rho\,\frac{l}{S}\,,\]kde R je odpor vodiče, l délka vodiče a S plocha jeho průřezu.
Tedy:
\[\rho\,=\,\frac{RS}{l}\,.\]Průřez drátu S je roven obsahu kruhu o poloměru r, resp. průměru d = 2r:
\[S\,=\,\pi r^2\,=\,\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2.\]Takto vyjádřený průřez vodiče dosadíme do předchozího vztahu a získáme tak výsledný vzorec pro výpočet měrného elektrického odporu vodiče:
\[\rho\,=\,\frac{RS}{l}\,=\,\frac{R\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2}{l}\] \[\rho\,=\,\frac{\pi R d^2}{4l}\,.\]Ze zadání úlohy víme, že drát o průměru 0,5 mm a délce 8 m má odpor 2 Ω. Tedy:
d = 0,5 mm = 0,5·10−3 m l = 8 m R = 2 Ω Číselné dosazení:
\[ \rho\,=\,\frac{\pi\cdot2\cdot\left(0{,}5{\cdot}10^{-3}\right)^2}{4{\cdot}8}\,\mathrm{\Omega m}\,=\,\frac{\pi\cdot2{\cdot} 0{,}5^2{\cdot} 10^{-6}}{32}\,\mathrm{\Omega m}\,\dot{=}\,4{,}9{\cdot}10^{-8}\,\mathrm{\Omega m}\,.\]Odpověď
Drát musí mít délku 32 m. Měrný elektrický odpor materiálu je 4,9·10-8 Ωm.
Odkazy na podobné úlohy
Dalšími úlohami zabývajícími se výpočtem odporu homogenního vodiče v závislosti na jeho parametrech jsou Ocelová a uhlíková tyčinka a Elektrický odpor různě dlouhých vodičů.
