Elektron na kapce vody

Úloha číslo: 950

Na každé ze dvou stejných kapek vody je umístěn elektron. Jaký je poloměr kapek R, jestliže velikost elektrostatické síly, kterou na sebe působí, se rovná velikosti síly gravitační?

  • Nápověda: Velikost elektrické a gravitační síly

    Velikost elektrické síly je dána Coulombovým zákonen

    \[F_e\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2}\,,\]

    velikost gravitační síly Newtonovým gravitačním zákonem

    \[F_g\,=\,\frac{\kappa m^2}{r^2\,.}\]

    Pozn: Obě kapky mají stejnou hmotnost a náboj.

  • Rozbor

    Velikost elektrické síly, kterou na sebe kapky vody působí, můžeme zjistit Coulombova zákona. Velikost gravitační síly známe z Newtonova gravitačního zákona.

    Jedinou neznámou je hmotnost kapky, kterou vyjádříme z hustoty a objemu kapky, která má tvar koule.

    Velikost elektrické a gravitační síly je dle zadání stejná. Vztahy tedy porovnáme a vyjádříme hledaný poloměr.

  • Řešení

    Pro velikost gravitační síly platí podle Newtonova gravitačního zákona vztah

    \[ F_g \,=\, \frac{\kappa m^2 }{r^2}\,, \tag{*}\]

    kde r je vzdálenost obou kapek.

    Hmotnost kapky určíme z objemu kapky V a hustoty vody \(\varrho\) ze vztahu \( m\,=\,\varrho V\). U kapky předpokládáme kulový tvar.

    Vztah dosadíme do Newtonova gravitačního zákona (*) a upravíme.

    \[F_g\,=\, \frac{\kappa(\varrho V)^2}{r^2}\,=\,\frac{\kappa \varrho^2(\frac{4}{3}\pi R^3)^2 }{r^2} \,=\,\frac{16}{9}\frac{\pi^2 \varrho^2 \kappa R^6 }{r^2} \tag{**}\]

    Podle zadání musí platit

    \[F_e\,=\,F_g\,.\]

    Po dosazení z výše vyvozeného vztahu (**) a z Coulombova zákona \(F_e\,=\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}\) získáváme rovnost, z níž již snadno určíme hledaný poloměr.

    \[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}\,=\, \frac{16}{9}\frac{\pi^2 \varrho^2 \kappa R^6 }{r^2} \] \[ R^6 \,=\,\frac{9}{64}\frac{e^2}{\pi^3 \varrho^2 \kappa \varepsilon_0} \] \[ R\,=\,\sqrt[6]{\frac{9}{64}\frac{e^2}{\pi^3 \varrho^2 \kappa \varepsilon_0}} \]
  • Zápis a číselný výpočet

    R = ? (m)

    Všechny potřebné hodnoty nalezneme v tabulkách:

    e = 1,602·10−19 C velikost náboje jednoho elektronu
    ρ = 1 000 kg m−3 hustota vody
    ε0 = 8,85·10−12 C2N−1m−2 permitivita vakua
    κ = 6,67·10−11 m3kg−1s−2 gravitační konstanta

    \( R\,=\,\sqrt[6]{\frac{9}{64}\frac{e^2}{\pi^3 \varrho^2 \kappa \varepsilon_0}} \,=\,\sqrt[6]{\frac{9}{64}\frac{\left(1{,}602{\cdot}10^{-19}\right)^2}{\pi^3 {\cdot} 1\,000^2 {\cdot} 6{,}67 {\cdot}10^{-11} \cdot 8{,}85 {\cdot} 10^{-12}}}\,\mathrm{m} \) \( R\,\dot{=}\,7{,}6 {\cdot} 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\dot{=}\,76\,\mathrm{\mu m} \)
  • Odpověď

    Kapky mají poloměr

    \[ R\,=\,\sqrt[6]{\frac{9}{64}\frac{e^2}{\pi^3 \rho^2 \kappa \epsilon_0}} \dot{=} 76\,\mathrm{\mu m}\,. \]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Zaslat komentář k úloze