Elektron na kapce vody
Úloha číslo: 950
Na každé ze dvou stejných kapek vody je umístěn elektron. Jaký je poloměr kapek R, jestliže velikost elektrostatické síly, kterou na sebe působí, se rovná velikosti síly gravitační?
Nápověda: Velikost elektrické a gravitační síly
Velikost elektrické síly je dána Coulombovým zákonen
\[F_\mathrm{e}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2}\,,\]velikost gravitační síly Newtonovým gravitačním zákonem
\[F_\mathrm{g}\,=\,\frac{\kappa m^2}{r^2\,}.\]Pozn: Obě kapky mají stejnou hmotnost a náboj.
Rozbor
Velikost elektrické síly, kterou na sebe kapky vody působí, můžeme zjistit pomocí Coulombova zákona. Velikost gravitační síly známe z Newtonova gravitačního zákona.
Jedinou neznámou je hmotnost kapky. Tu vyjádříme z hustoty a objemu kapky, která má tvar koule.
Velikost elektrické a gravitační síly je dle zadání stejná. Vztahy tedy porovnáme a vyjádříme hledaný poloměr.
Řešení
Pro velikost gravitační síly platí podle Newtonova gravitačního zákona vztah
\[ F_\mathrm{g} \,=\, \frac{\kappa m^2 }{r^2}\,, \tag{*}\]kde r je vzdálenost obou kapek.
Hmotnost kapky určíme z objemu kapky V a hustoty vody \(\varrho\) ze vztahu \( m\,=\,\varrho V\). U kapky předpokládáme kulový tvar.
Vztah dosadíme do Newtonova gravitačního zákona (*) a upravíme:
\[F_\mathrm{g}\,=\, \frac{\kappa(\varrho V)^2}{r^2}\,=\,\frac{\kappa \varrho^2(\frac{4}{3}\pi R^3)^2 }{r^2} \,=\,\frac{16}{9}\frac{\pi^2 \varrho^2 \kappa R^6 }{r^2}. \tag{**}\]Podle zadání musí platit
\[F_\mathrm{e}\,=\,F_\mathrm{g}\,.\]Poté, co dosadíme z výše vyvozeného vztahu (**) a z Coulombova zákona \(F_\mathrm{e}\,=\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}\), získáváme rovnost, ze které již snadno určíme hledaný poloměr:
\[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}\,=\, \frac{16}{9}\frac{\pi^2 \varrho^2 \kappa R^6 }{r^2} \] \[ R^6 \,=\,\frac{9}{64}\frac{e^2}{\pi^3 \varrho^2 \kappa \varepsilon_0} \] \[ R\,=\,\sqrt[6]{\frac{9}{64}\frac{e^2}{\pi^3 \varrho^2 \kappa \varepsilon_0}}. \]Zápis a číselný výpočet
R = ? (m)
Všechny potřebné hodnoty nalezneme v tabulkách:
e = 1,602·10−19 C velikost náboje jednoho elektronu ρ = 1 000 kg m−3 hustota vody ε0 = 8,85·10−12 C2N−1m−2 permitivita vakua κ = 6,67·10−11 m3kg−1s−2 gravitační konstanta
\( R\,=\,\sqrt[6]{\frac{9}{64}\frac{e^2}{\pi^3 \varrho^2 \kappa \varepsilon_0}} \,=\,\sqrt[6]{\frac{9}{64}\frac{\left(1{,}602{\cdot}10^{-19}\right)^2}{\pi^3 {\cdot} 1\,000^2 {\cdot} 6{,}67 {\cdot}10^{-11} \cdot 8{,}85 {\cdot} 10^{-12}}}\,\mathrm{m} \) \( R\,\dot{=}\,7{,}6 {\cdot} 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\dot{=}\,76\,\mathrm{\mu m} \)Odpověď
Kapky mají poloměr
\[ R\,=\,\sqrt[6]{\frac{9}{64}\frac{e^2}{\pi^3 \rho^2 \kappa \epsilon_0}} \dot{=} 76\,\mathrm{\mu m}\,. \]
