Elektron a záporný iont

Úloha číslo: 761

Do prostoru mezi deskami kondenzátoru vlétne rovnoběžně s deskami elektron, resp. záporný iont. Počáteční kinetickou energii získávají iont i elektron průchodem stejného elektrického napětí U0. Napětí mezi deskami kondenzátoru je U, vzdálenost desek d.

Která částice urazí do dopadu na desku větší vzdálenost, jestliže obě vlétají doprostřed mezi desky?

  • Zobecnění úlohy

    Záporně nabitý iont a elektron jsou dvě částice, které se liší svou hmotností a nábojem. Je tedy možné vypočítat obecně vzdálenost dopadu pro částici o hmotnosti m a náboji Q a až nakonec dosadit hodnoty pro elektron a záporný iont.

  • Nápověda: Rychlost částice

    Při urychlování vykoná zdroj napětí práci a tím dodá částici kinetickou energii. Vykonaná práce závisí na napětí zdroje a náboji částice.

  • Nápověda: Pohyb částice

    Obrázek celé situace

    Pohyb částice můžeme rozdělit na dvě složky: vodorovný a svislý pohyb.

    Ve vodorovném směru nepůsobí na částici žádná síla, proto je tento pohyb rovnoměrný.

    Ve svislém směru působí na částici síla elektrická, protože je tento pohyb rovnoměrně zrychlený. Zrychlení částice můžeme vyjádřit z druhého Newtonova zákona, do kterého dosadíme elektrickou sílu. Ta je přímo úměrná intenzitě elektrického pole a náboji elektronu.

  • Rozbor

    Při urychlování elektronu vykoná zdroj napětí práci a částice tak získá kinetickou energii. Z této energie můžeme zjistit rychlost, kterou částice vlétne mezi desky kondenzátoru.

    Poté co vlétne částice mezi desky kondenzátoru, začne na něj kolmo na směr pohybu působit elektrická síla.

    Pohyb částice můžeme rozdělit na dvě části:

    1. Rovnoměrný pohyb ve vodorovném směru rychlostí, kterou částice vlétla mezi desky.
    2. Rovnoměrně zrychlený pohyb ve svislém směru způsobený elektrickou silou.

    Jakou dráhu částice uletí zjistíme z vodorovného rovnoměrného pohybu.

    Ve vztahu pro dráhu vystupuje čas, který vyjádříme ze zrychleného pohybu ve svislém směru. Zrychlení částice vyjádříme pomocí elektrické síly a druhého Newtonova zákona.

  • Řešení: Výpočet rychlosti a zrychlení

    Výpočet rychlosti částice

    Práce vykonaná při urychlování částice, musí být stejná jako kinetická energie, kterou částice získala. (Podrobnější postup výpočtu naleznete v úloze Elektron v obrazovce osciloskopu v části Rychlost, kterou elektron vlétne mezi desky.)

    \[W\,=\,E_k\] \[QU_0\,=\,\frac{1}{2}mv^2\] \[v\,=\,\sqrt{\frac{2QU_0}{m}}\tag{1}\]

    Výpočet času dopadu částice na desku

    Směr rychlosti a zrychlení

    Po vlétnutí mezi desky kondenzátoru začne na částici působit elektrická síla, jenž způsobí, že se začne pohybovat ve směru osy y rovnoměrně zrychleně.

    Pro vzdálenost \(\frac{d}{2}\), kterou částice urazí než dopadne na desku, musí platit vztah:

    \[\frac{d}{2}\,=\,\frac{1}{2}at_d^2\,.\]

    Vyjádříme čas dopadu částice na desku td.

    \[d\,=\,a t_d^2\] \[t_d\,=\,\sqrt{\frac{d}{a}}\tag{*}\]

    Zrychlení částice způsobuje elektrická síla. Toto zrychlení můžeme vypočítat z druhého Newtonova zákona.(Podrobnější postup výpočtu zrychlení naleznete opět v úloze Elektron v obrazovce osciloskopu v části Zrychlení elektronu ve svislém směru.)

    \[a\,=\,\frac{F_e}{m}\]

    Elektrickou sílu můžeme vyjádřit pomocí intenzity elektrického pole a náboje částice Fe = QE.

    \[a\,=\,\frac{QE}{m}\]

    Toto zrychlení dosadíme do vzorce (*) pro výpočet času dopadu.

    \[t_d\,=\,\sqrt{\frac{d}{\frac{QE}{m}}}\] \[t_d\,=\,\sqrt{\frac{dm}{QE}}\tag{2}\]
  • Řešení: Výpočet uražené vzdálenosti

    Ve směru osy x nepůsobí na částici žádná síla. Částice se tedy pohybuje rovnoměrně, a proto bude pro vzdálenost uraženou do dopadu:

    \[x\,=\,v t_d\,.\]

    Rychlost a zrychlení jsme vypočítali v samostatném oddílu. Nyní tedy dosadíme vyjádřené vztahy (1) a (2).

    \[x\,=\,\sqrt{\frac{2QU_0}{m}} \sqrt{\frac{dm}{EQ}}\,.\] \[x\,=\,\sqrt{\frac{2d U_0}{E}}\]

    Dosadíme za napětí vztah \(E\,=\,\frac{U}{d}\).

    \[x\,=\,\sqrt{\frac{2d^2 U_0}{U}}\]

    Vidíme, že vzdálenost uražená do dopadu nezávisí na hmotnosti ani na náboji částice, a proto dopadnou iont i elektron do stejné vzdálenosti. Tento výsledek je dán tím, že uvažujeme stejné urychlující napětí, pokud by např. obě částice vlétly mezi desky kondenzátoru se stejnou rychlostí, potom by uražená vzdálenost byla rozdílná.

  • Odpověď

    Elektron i iont dopadnou na stejné místo, protože uražená vzdálenost nezávisí nezávisí na hmotnosti ani na náboji částice.

  • Jednodušší úloha

    Vhodné je nejdříve vyřešit podobnou úlohu Elektron v obrazovce osciloskopu, která má podrobnější komentář k řešení.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a
magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
×Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
Zaslat komentář k úloze