Rovnováha tří nábojů

Úloha číslo: 36

Mezi dva stejně velké náboje Q1, Q2 (ve vzdálenosti d od sebe) umístíme třetí náboj Q3, který se může pohybovat jen po spojnici prvních 2 nábojů. Všechny náboje mají stejné znaménko (v řešení budeme předpokládat, že náboje jsou kladné).

Kde se ustálí náboj Q3?

Ověřte, zda je tato rovnovážná poloha stabilní nebo labilní?

  • Nápověda: Jak začít

    Nakreslete si síly, které na náboj Q3 působí.

    Jaká je výsledná síla působící na náboj Q3 v místě, kde se ustálí?

  • Nápověda: Coulombův zákon

    Elektrická síla závisí přímo úměrně na velikosti obou nábojů a nepřímo úměrně na kvadrátu jejich vzdálenosti.

  • Obrázek sil působících na náboj Q3

    Náboje se stejným znaménkem

    Síly působící na náboj Q3 jsou odpudivé. Náboj Q1 působí silou \(\vec{F_1}\) a náboj Q2 silou \(\vec{F_2}\). Prohlédněte si obrázek.

  • Rozbor

    Třetí náboj se ustálí v místě, kde je výslednice všech působících sil nulová.

    První a druhý náboj působí na náboj Q3 odpudivou elektrickou silou. Výslednice těchto dvou sil má být rovna nule, proto musí mít síly opačný směr a stejnou velikost.

    Podle Coulombova zákona závisí velikost elektrické síly přímo úměrně na velikosti obou nábojů a nepřímo úměrně na kvadrátu jejich vzdálenosti.

    Porovnáním velikostí obou sil získáme podmínku pro vzdálenost náboje Q3 od náboje Q1.

  • Řešení: Úvahou

    Náboj Q3 se ustálí v místě, kde výslednice elektrických sil od nábojů Q1 a Q2 bude nulová. Všechny náboje se navzájem odpuzují, takže síly od prvního a druhého náboje mají opačný směr (viz obrázek). Aby byla výslednice nulová, musí mít obě síly stejnou velikost.

    Velikost elektrické síly je přímo úměrná velikosti obou nábojů a nepřímo úměrná kvadrátu vzdálenosti.

    Náboje Q1 a Q2 jsou stejně velké. Rozdíl ve velikosti obou elektrických sil může být dán pouze vzdáleností náboje Q3 od nábojů Q1 a Q2 . Jediné místo, kde je tato vzdálenost od obou nábojů stejná, je přesně uprostřed mezi těmito náboji. Třetí náboj se tedy ustálí zde.

  • Řešení: Výpočet, kde se náboj ustálí

    Protože náboje Q1 a Q3 mají stejné znaménko, odpuzují se elektrickou silou, označíme si ji \(\vec{F_1}\). Také náboje Q2 a Q3 se odpuzují silou, tuto sílu si označíme \(\vec{F_2}\).

    Velikost obou sil spočítáme z Coulombova zákona.

    \[F_1=k\frac{Q_1Q_3}{x^2}\] \[F_2=k\frac{Q_2Q_3}{\left(d-x\right)^2}\]

    V místě, kde se náboj Q3 ustálí, musí být výslednice těchto 2 sil nulová. Z toho vyplývá, že síly \(\vec{F_1}\) a \(\vec{F_2}\) mají v tomto místě opačný směr (to je splněno - viz obrázek) a jsou stejně velké.

    \[F_1=F_2\]

    Za obě síly dosadíme jejich vyjádření pomocí Coulombova zákona

    \[k\frac{Q_1Q_3}{x^2}=k\frac{Q_2Q_3}{\left(d-x\right)^2}\]

    a zkrátíme k a Q3:

    \[\frac{Q_1}{x^2}=\frac{Q_2}{\left(d-x\right)^2}\hspace{20px}|\,\cdot x^2{\left(d-x\right)^2}\] \[Q_1\left(d-x\right)^2=Q_2x^2\]

    Z tohoto vztahu bychom mohli spočítat polohu třetího náboje, pro jakkoli velké náboje Q1 a Q2.

    Naše náboje Q1 a Q2 mají stejnou velikost, takže je můžeme také zkrátit:

    \[x^2=\left(d-x\right)^2\]

    Rovnici budeme postupně upravovat. Umocníme závorku, odečteme stejné členy a poté vyjádříme neznámou vzdálenost x:

    \[x^2=d^2 - 2dx + x^2\] \[0=d^2 - 2dx \] \[2dx=d^2 \hspace{20px}|\,:\,d \] \[2x = d \] \[x=\frac{d}{2}\]

    Vidíme, že třetí náboj se ustálí uprostřed.

  • Nápověda: Stabilní a labilní rovnováha

    Jestliže náboj vychýlíme z rovnovážné polohy a výslednice působících sil vrací náboj zpět do původní polohy, je rovnováha stabilní.

    Naopak jestliže po vychýlení výsledná síla „táhne“ náboj stále dále od rovnovážné polohy, je rovnováha labilní.

  • Řešení: Bude rovnováha stabilní nebo labilní?

    Posuneme-li třetí náboj ze středu na jednu stranu, změní se velikost sil, které na něj působí.

    Odpudivá elektrická síla od náboje, který je blíže, se zvětší. Naopak od náboje, který je vzdálenější, bude odpudivá síla menší.

    Stabilní rovnováha
    Vychýlení ze stabilní rovnováhy

    Na obrázku vidíme, že výsledná síla bude směřovat zpět do středu. Vychýlíme-li náboj na druhou stranu, bude výsledná síla opět směřovat do středu.

    Tato rovnovážná poloha je tedy stabilní.

  • Odpověď

    Náboj Q3 se ustálí uprostřed mezi náboji Q1 a Q2.

    Rovnovážná poloha je stabilní.

  • Co by se změnilo, pokud by třetí náboj měl opačné znaménko.

    Pokud by měl náboj Q3 opačné znaménko, měly by síly působící na něj pouze opačný směr. Velikost sil by byla stále stejná. Náboj Q3 by se proto ustálil opět uprostřed.

    Náboje s různými znaménky

    Rovnováha by ale byla labilní, protože při jakémkoli vychýlení náboje ze středu by výsledná síla směřovala od středu ven.

  • Mohl by být náboj Q3 v rovnováze i někde jinde?

    Třetí náboj nemůže být v rovnováze jinde než na úsečce spojující první dva náboje, protože nikdy nedostaneme nulovou výslednici sil od obou nábojů. Prohlédněte si následující obrázky.

    Kladný náboj vně na spojnici prvního a druhého náboje
    Záporný náboj vně na spojnici prvního a druhého náboje
    Náboj na libovolném místě vně
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha řešená úvahou
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Kružík, M. (1984). Sbírka úloh z fyziky pro žáky středních škol
(8. vydání). Praha: SPN. 
Zpracováno v bakalářské práci Lenky Matějíčkové (2007).
×Původní zdroj: Kružík, M. (1984). Sbírka úloh z fyziky pro žáky středních škol (8. vydání). Praha: SPN.
Zpracováno v bakalářské práci Lenky Matějíčkové (2007).
Zaslat komentář k úloze