Elektrický stožár

Úloha číslo: 702

Elektrický stožár vysokého napětí 400 kV je uzemněný vodivou koulí o poloměru 30 cm, jenž je z poloviny zakopána v zemi. Na vedení vznikla porucha tak, že nastal zkrat mezi stožárem a vedením. Určete pod jakým napětím se ocitne člověk, který udělá krok o délce 80 cm ve vzdálenosti 100 m od stožáru směrem k němu.

Elektrický stožár
  • Nápověda 1

    Nejprve vypočítejte odpor země kolem uzemnění. Jak velký bude proud, který poteče do země?

  • Nápověda 2

    Zjistěte, jaká je proudová hustota ve vzdálenosti r od stožáru.

  • Nápověda 3

    Vztah mezi proudem a napětím popisuje Ohmův zákon. Uvědomte si nebo vyhledejte, jak vypadá v diferenciálním tvaru.

  • Nápověda 4

    Pomocí intenzity elektrického pole určete velikost napětí mezi dvěma body tohoto pole.

  • Rozbor

    Pro jednoduchost budeme předpokládat kulovou symetrii situace.

    Zemi kolem stožáru si rozdělíme na polokulové vrstvy a vypočítáme celkový odpor země kolem uzemnění.

    Polokulové vrstvy

    Z kulové symetrie situace vyplývá, že ve všech místech jedné takové vrstvy je konstantní hustota proudu. Tu určíme za pomoci Ohmova zákona ze známého napětí na elektrickém stožáru a z celkového odporu země kolem uzemnění.

    Z Ohmova zákon pro homogenní vodiče v diferenciálním tvaru si vyjádříme intenzitu elektrického pole. Napětí, pod kterým se člověk vyskytne, pak získáme integrací intenzity elektrického pole.

  • Řešení

    Nejprve vypočítáme celkový odpor země kolem uzemnění. Při tom budeme postupovat tak, že si vytkneme polokulovou vrstvu země ve vzdálenosti r > r0 o tloušťce dr a určíme, jak tato vrstva přispívá k celkovému odporu. Platí

    \[ \mathrm{d}R\,=\,\frac{1}{\sigma}\,\frac{\mathrm{d}r}{2\pi r^2}\, , \]

    kde σ je elektrická vodivost země a 2πr2 je povrch polokulové vrstvy.

    Celkový odpor poté určíme integrací přes všechny slupky, tj. od r0 do nekonečna:

    \[ R\,=\,\int{\mathrm{d}R}\,=\,\int_{r_0}^{\infty}{\frac{1}{\sigma}\,\frac{\mathrm{d}r}{2\pi r^2}}\,=\,\frac{1}{2\sigma\pi}\,\int_{r_0}^{\infty}{\frac{\mathrm{d}r}{r^2}}\,=\, \frac{1}{2\sigma\pi}\,\left[-\,\frac{1}{r}\right]_{r_0}^{\infty}\,=\,\frac{1}{2\sigma\pi\,r_0}\,. \]

    Celkový proud tekoucí do země určíme pomocí Ohmova zákona. Bude platit:

    \[ I\,=\,\frac{U}{R}\,=\,2U\sigma\pi r_0\,. \]

    Předpokládejme, že se tento proud roztéká do všech směrů země rovnoměrně. Pro proudovou hustotu ve vzdálenosti r od stožáru platí tedy vztah:

    \[ j\left(r\right)\,=\,\frac{I}{S}\,=\,\frac{I}{2\pi r^2}\,=\,\frac{\sigma U r_0}{r^2}\,. \]

    Užitím Ohmova zákona v diferenciálním tvaru určíme intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti r od stožáru:

    \[ E\left(r\right)\,=\,\frac{j\left(r\right)}{\sigma}\,=\,\frac{Ur_0}{r^2}\, . \]

    Pro hledané napětí Uc poté platí vztah:

    \[ U_c\,=\,\int_{a-l}^{a}{E\left(r\right)}\,\mathrm{d}r\,=\,\int_{a-l}^{a}{\frac{Ur_0}{r^2}}\,\mathrm{d}r\,=\,Ur_0\int_{a-l}^{a}\,{\frac{1}{r^2}}\,\mathrm{d}r\,. \]

    a značí vzdálenost člověka od stožáru a l je délka kroku, kterou člověk udělal směrem ke stožáru.

    Elektrický stožár

    Tedy:

    \[ U_c\,=\,Ur_0\,\left[-\frac{1}{r}\right]_{a-l}^{a}\,=\,Ur_0\,\left(-\frac{1}{a}\,+\,\frac{1}{a-l}\right)=\frac{Ur_0l}{a\,\left(a-l\right)}\,. \]
  • Číselné dosazení

    Ze zadání úlohy známe:

    U = 400 kV = 4·105 V napětí elektrického stožáru
    r0 = 30 cm = 0,3 m poloměr vodivé koule uzemňující elektrický stožár
    a = 100 m vzdálenost člověka od elektrického stožáru
    l = 80 cm = 0,8 m délka kroku, který člověk udělá směrem ke stožáru

    V minulém oddíle jsme získali vztah pro výpočet napětí, pod kterým se ocitne člověk, který udělá krok o délce l ve vzdálenosti a od stožáru směrem k němu:

    \[ U_1=\,=\,\frac{Ur_0l}{a\,\left(a-l\right)}\,=\,\frac{4{\cdot} 10^5{\cdot} 0{,}3{\cdot} 0{,}8}{100\cdot \left(100-0{,}8\right)}\,\mathrm{V}\,=\,9{,}7\,\mathrm{V}\,. \]
  • Odpověď

    Člověk se ocitne pod napětím 9,7 V.

  • Odkazy na podobné úlohy

  • Komentář 1 – zjednodušující podmínky

    V této úloze samozřejmě pracujeme s mnoha zjednodušujícími podmínkami. Předpokládáme například, že země kolem elektrického stožáru je homogenní a proud se tedy do země roztéká rovnoměrně.

    Další idealizaci uvažujeme při výpočtu celkového odporu uzemnění. Vzorec, který jsme použili a integrační meze od r0 do nekonečna předpokládají, že Země je „rovná“ a „nekonečně velká“.

  • Komentář 2 – chyba při přibližném výpočtu napětí

    Protože krok, který člověk udělá, je vzhledem ke vzdálenosti od stožáru malý, podívejme se, jaké chyby bychom se dopustili, kdybychom napětí vypočítali přibližně jako „krok krát intenzita“.

    Z řešení této úlohy víme, že intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti a od stožáru vypočítáme ze vztahu:

    \[ E\left(a\right)\,=\,\frac{Ur_0}{a^2}\,, \]

    kde U je napětí na elektrickém stožáru a r0 je poloměr vodivé koule uzemňující elektrický stožár.

    Napětí, pod kterým se vyskytne člověk, jestliže v této vzdálenosti udělá krok o délce l, vypočítáme jako součin elektrické intenzity pole ve vzdálenosti a od stožáru a délky kroku l:

    \[ U_{2}\,=\,\frac{Ur_0}{a^2}l. \]

    Hodnoty ze zadání úlohy:

    U = 400 kV = 4·105 V napětí elektrického stožáru
    r0 = 30 cm = 0,3 m poloměr vodivé koule uzemňující elektrický stožár
    a = 100 m vzdálenost člověka od elektrického stožáru
    l = 80 cm = 0,8 m délka kroku, který člověk udělá směrem ke stožáru

    Číselný výpočet:

    \[ U_2\,=\,\frac{4{\cdot} 10^5{\cdot} 0{,}3}{100^2}\cdot 0{,}8\,\mathrm{V}\,=\,9{,}6\,\mathrm{V}. \]

    Pokud tuto hodnotu porovnáme s hodnotou získanou v sekci Číselné dosazení, zjistíme, že chyba, které jsme se tímto výpočtem dopustili, činí jen 1 %.

    Se zkracující se vzdáleností člověka od stožáru se bude tato chyba zvětšovat.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a
magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
×Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
Zaslat komentář k úloze