Výkon elektrického motoru

Úloha číslo: 163

Elektrický motor připojený ke zdroji se střídavým efektivním napětím 230 V a frekvencí 50 Hz koná (mechanickou) práci s výstupním výkonem 74,6 W. Jaký je odpor elektrického motoru, protéká-li jím efektivní proud 0,65 A?

  • Zápis

    Ze zadání známe:

    Napětí zdroje: Uef = 230 V
    Frekvence zdroje: f = 50 Hz
    Výstupní výkon: P = 74,6 W
    Efektivní proud: Ief = 0,65 A

    Chceme určit:

    Odpor motoru: R = ? (Ω)

  • Nápověda 1

    Použijeme vzorec pro výpočet výkonu v obvodu se střídavým proudem, který obsahuje také fázové posunutí mezi napětím a proudem.

  • Nápověda 2

    Elektrický motor si můžeme představit jako spojení rezistoru a cívky.

  • Rozbor

    Protože motorem protéká střídavý proud, musíme při výpočtu výkonu vzít v úvahu i fázové posunutí mezi napětím a proudem. Ve vzorci pro výkon vystupuje kosinus fázového posunutí, tzv. účiník.

    Ze zadaného proudu protékajícího motorem, napětí zdroje a výkonu motoru zjistíme fázové posunutí mezi napětím a proudem. Pomocí Ohmova zákona určíme celkovou impedanci a z fázového posunutí potom zjistíme hodnotu odporu.

  • Řešení

    Výkon elektrického motoru v obvodu se střídavým proudem je dán vztahem:

    \[P=I_{\mathrm{ef}} U_{\mathrm{ef}} \cos \varphi.\]

    Vyjádříme si kosinus fázového posunutí:

    \[\cos\varphi= \frac{P}{I_{\mathrm{ef}}U_{\mathrm{ef}}}. \]

    Pomocí Ohmova zákona vyjádříme velikost celkové impedance motoru Z:

    \[Z= \frac{U_{\mathrm{ef}}}{I_{\mathrm{ef}}}.\]

    Nakreslíme si fázorový diagram, do kterého zaneseme již známé hodnoty fázového posunutí a impedance. Velikost odporu vyjádříme ze vzniklého trojúhelníku.

    fázový posun

    Vidíme, že:

    \[R=Z \cos\varphi.\]

    Dosadíme za cosinus fázového posunu a impedanci:

    \[R= \frac{U_{\mathrm{ef}}}{I_{\mathrm{ef}}}\, \frac{P}{I_{\mathrm{ef}} U_{\mathrm{ef}}}= \frac{P}{(I_{\mathrm{ef}})^2}. \]

    Číselné dosazení:

    Fázové posunutí:

    \[\cos \varphi= \frac{74{,}6}{0{,}65{\cdot} 230}\,\dot{=}\,0{,}5 \] \[ \varphi \,\dot{=}\,\frac{\pi}{3}. \]

    Celková impedance motoru:

    \[Z= \frac{230}{0{,}65}\,\mathrm \Omega\,\dot{=}\,353{,}8\,\mathrm \Omega \,\dot{=}\,350\,\mathrm \Omega.\]

    Odpor motoru:

    \[R=\frac{P}{(I_{\mathrm{ef}})^2} = \frac{74{,}6}{0{,}65^2} \,\mathrm \Omega \,\dot{=}\, 177\,\mathrm \Omega \,\dot{=}\, 180\,\mathrm \Omega. \]
  • Odpověď

    Elektrický motor připojený ke zdroji střídavého napětí, který koná práci s výstupním výkonem 74,6 W, má odpor přibližně R = 180 Ω .

  • Komentář: Indukčnost elektrického motoru

    Vzhledem k tomu, že motor obsahuje cívky, můžeme předpokládat, že fázové posunutí mezi napětím a proudem je způsobeno spíše indukčností motoru než kapacitou motoru.

    Indukčnost elektrického motoru vypočteme také z fázorového diagramu:

    \[X_L=Z\sin\varphi\] \[2 \pi f L=Z\sin\varphi\] \[L=\frac{Z\sin\varphi}{2 \pi f}\]

    Dosadíme číselně:

    \[ L\dot=\frac{353{,}8 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{2 \pi \cdot 50}\, \mathrm H\,\dot{=}\,0{,}98\,\mathrm H\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze