Elektron nalétávající do elektrického pole
Úloha číslo: 1017
Do prostoru, v němž současně působí horizontální a vertikální homogenní elektrické pole o intenzitách Eh = 400 Vm-1 a Ev =300 Vm-1, vlétne podél siločar elektron. Jeho rychlost se na dráze 2,7 mm dvakrát zvětší. Určete konečnou rychlost elektronu.
Dva způsoby řešení
Příklad se dá vyřešit dvěma způsoby, my si ukážeme oba:
A. Zkoumáním pohybu elektronu,B. Pomocí úvah o energii.Nápověda k oběma způsobům řešení
Máme zadané pole o dvou složkách. Jaké bude celkové pole?
A – Nápověda
Jak se bude pohybovat elektron, který vlétne do homogenního elektrického pole podél siločar?
A – Řešení: Pohyb elektronu
Vzhledem k homogenitě uvažovaného elektrického pole a faktu, že elektron vlétl do pole podél siločar, bude na elektron působit stálá síla ve směru pohybu a ten se začne pohybovat po přímce rovnoměrně zrychleně s nenulovou počáteční rychlostí. To znamená, že výpočet můžeme omezit na jeden rozměr. Pro tento typ pohybu platí vztahy \[v=v_0 + at,\] \[s=v_0 t + \frac{1}{2}at^{2}.\]
Nyní se pustíme do výpočtu konečné rychlosti elektronu vk. Začneme tím, že vypočítáme v0. Protože rychlost se na dané dráze zvětší podle zadání dvakrát, můžeme psát vk = 2v0: \[2v_0 = v_0 + at\qquad \Rightarrow \qquad v_0 = at.\] Toto vyjádření nyní dosadíme do vztahu pro dráhu: \[s=v_0t+\frac{1}{2}at^{2}= at^{2}+\frac{1}{2}at^{2}=\frac{3}{2}at^{2},\] \[t=\sqrt{\frac{2s}{3a}}.\]
Odvodili jsme vztah pro dobu t, za kterou došlo ke zdvojnásobení rychlosti elektronu. K určení počáteční rychlosti v0 použijeme vztah v0 = at a dosadíme za t: \[ v_0 = a \sqrt{\frac{2s}{3a}}=\sqrt{\frac{2sa}{3}}. \] Zrychlení a získáme z 2. Newtonova zákona. K tomu potřebujeme elektrickou sílu Fe, která je dána vztahem \(F_e=Eq\). Tento vztah už je jednorozměrný a q značí náboj. Potom dostáváme rovnici \[m_\mathrm e a = E e\qquad \Rightarrow \qquad a=\frac{E e}{m_\mathrm e},\] kde me je hmotnost elektronu a e náboj elektronu, který je roven elementárnímu náboji. Tyto údaje nalezneme v tabulkách.
Teď dosadíme za zrychlení a máme počáteční rychlost v0: \[v_0 = \sqrt{\frac{2sa}{3}}=\sqrt{\frac{2sE e}{3m_\mathrm e}}.\] Nyní určíme velikost celkové intenzity E, Vzhledem k tomu, že horizontální Eh a vertikální Ev jsou na sebe kolmé, použijeme Pythagorovu větu a píšeme \[E = \sqrt{E^{2}_\mathrm {v}+E^{2}_\mathrm {h}}.\] Podle zadání je konečná rychlost dvojnásobná oproti počáteční rychlosti: \[v_\mathrm k = 2v_0=\sqrt{\frac{8sE e}{3m_\mathrm e}}=\sqrt{\frac{8se\sqrt{E_\mathrm {v}^2+E_\mathrm {h}^2}}{3m_\mathrm e}}.\]
B – Nápověda
Co můžeme říct o kinetické energii na začátku a na konci pohybu, konala se během pohybu nějaká práce?
B – Řešení: Úvahy o energii
Pro kinetickou energii elektronu platí rovnice \[E_\mathrm {k1}+W_\mathrm e=E_\mathrm {k2},\] kde Ek1 je kinetická energie elektronu při vlétnutí, We práce, kterou vykonala elektrická síla Fe na dráze s, a Ek2 je kinetická energie na konci pohybu. Elektrická síla působí ve směru pohybu, proto lze práci, kterou vykoná, počítat jako \(W_\mathrm e=F_\mathrm es\). Energie a práci vyjádříme \[\frac{1}{2}m_\mathrm e{v_0}^2+ F_\mathrm es=\frac{1}{2}m_\mathrm e {v_\mathrm k}^2.\] Elektrickou sílu Fe spočítáme jako \(F_\mathrm e=Ee\), me je hmotnost elektronu a e elementární náboj. Tyto údaje nalezneme v tabulkách. Teď už nám stačí si uvědomit, že konečná rychlost elektronu vk je podle zadání dvojnásobkem počáteční rychlosti v0 (\(v_\mathrm k=2\,v_0\)). Dosadíme a upravíme: \[\frac{1}{2}m_\mathrm e{v_0}^2+Ees=2m_\mathrm e {v_0}^2\] \[Ees=\frac{3}{2}m_\mathrm e {v_0}^2.\] Odtud vyjádříme v0 a získáváme vztah \[v_0 = \sqrt{\frac{2E es}{3m_\mathrm e}}.\] Nyní už jen spočítáme celkovou intenzitu pole E a dopočítáme konečnou rychlost elektronu vk. Vzhledem k tomu, že horizontální Eh a vertikální intenzita Ev jsou na sebe kolmé, použijeme Pythagorovu větu a píšeme \[E = \sqrt{E^{2}_\mathrm {v}+E^{2}_\mathrm {h}}.\] Pro konečnou rychlost vk potom platí \[v_\mathrm k = 2v_0=\sqrt{\frac{8E es}{3m_\mathrm e}}=\sqrt{\frac{8se\sqrt{E_\mathrm v^2+E_\mathrm h^2}}{3m_e}}.\]
Zápis a číselné dosazení
Eh = 400 Vm-1 horizontální intenzita Ev = 300 Vm-1 vertikální intenzita s = 2,7 mm = 2,7·10-3 m dráha elektronu vk = ? (ms-1) konečná rychlost elektronu Z tabulek: e = 1,6·10-19 C elementární náboj me = 9,1·10-31 kg hmotnost elektronu
\[v_\mathrm k=\sqrt{\frac{8se\sqrt{E_\mathrm v^2+E_\mathrm h^2}}{3m_\mathrm e}}= \sqrt{\frac{8{\cdot} 2{,}7{\cdot} 10^{-3}\cdot 1{,}6{\cdot} 10^{-19}\sqrt{300^2+400^2}}{3{\cdot} 9{,}1{\cdot} 10^{-31}}}\,\mathrm{ms^{-1}}\,\dot{=}\,8{\cdot} 10^{5}\,\mathrm{ms^{-1}}\,\dot{=}\,800\,\mathrm {km \cdot s^{-1}}\]Odpověď
Konečná rychlost elektronu je 800 km·s-1.
Jak by to bylo, kdyby elektron nevlétl podél siločar?
Gravitační pole Země je též homogenním polem. Proto můžeme v této úloze použít jako analogii pohybu elektronu podél siločar pád v tíhovém poli. Kdyby elektron vlétl jinak, analogií takového pohybu by byl obecně šikmý vrh.
Odkaz na podobnou úlohu
