Elektron nalétávající do elektrického pole

Úloha číslo: 1017

Do prostoru, v němž současně působí horizontální a vertikální homogenní elektrické pole o intenzitách Eh = 400 Vm-1 a Ev =300 Vm-1 vlétne podél siločar elektron. Jeho rychlost se na dráze 2,7 mm zvětší dvakrát. Určete konečnou rychlost elektronu.

  • Dva způsoby řešení

    Přiklad se dá vyřešit dvěma způsoby, my si ukážeme oba.

    A. Přes zkoumání pohybu elektronu
    B. Pomocí úvah o energii

  • Nápověda k oběma způsobům řešení

    Máte zadané pole o dvou složkách. Jaké bude celkové pole?

  • A – Nápověda

    Jak se bude pohybovat elektron, který vlétne do homogenního elektrického pole podél siločar?

  • A – Řešení: Pohyb elektronu

    Vzhledem k homogennitě uvažovaného elektrického pole a tomu, že elektron vlétl do pole podél siločar, bude na elektron působit stálá síla ve směru pohybu a ten se začne pohybovat po přímce rovnoměrně zrychleně s nenulovou počáteční rychlostí. To znamená, že výpočet můžeme omezit na jeden rozměr. Pro tento typ pohybu platí vztahy \[v=v_0 + at,\] \[s=v_0 t + \frac{1}{2}at^{2}.\]

    Nyní se pustíme do výpočtu konečné rychlosti elektronu vk. Začneme tím, že vypočítáme v0. Protože rychlost se na dané dráze zvětší podle zadaní dvakrát, můžeme psát vk = 2v0 \[2v_0 = v_0 + at\qquad \Rightarrow \qquad v_0 = at.\] Toto vyjádření nyní dosadíme do vztahu pro dráhu \[s=v_0t+\frac{1}{2}at^{2}= at^{2}+\frac{1}{2}at^{2}=\frac{3}{2}at^{2},\] \[t=\sqrt{\frac{2s}{3a}}.\]

    Odvodili jsme vztah pro dobu t, za kterou došlo ke zdvojnásobení rychlosti elektronu. K určení počáteční rychlosti v0, použijeme vztah v0 = at a dosadíme za t \[ v_0 = a \sqrt{\frac{2s}{3a}}=\sqrt{\frac{2sa}{3}}. \] Zrychlení a získáme z 2. Newtonova zákona. K tomu potřebujeme elektrickou sílu Fe, která je dána vztahem \(F_e=Eq\), tento vztah už je jednorozměrný a q značí náboj. Potom dostáváme rovnici \[m_\mathrm e a = E e\qquad \Rightarrow \qquad a=\frac{E e}{m_\mathrm e},\] kde me je hmotnost elektronu a e náboj elektronu, ten je roven elementárnímu náboji, tyto údaje nalezneme v tabulkách.

    Teď dosadíme za zrychlení a máme počáteční rychlost v0 \[v_0 = \sqrt{\frac{2sa}{3}}=\sqrt{\frac{2sE e}{3m_\mathrm e}}.\] Nyní určíme velikost celkové intenzity E, vzhledem k tomu, že horizontální Eh a vertikální intenzita Ev jsou na sebe kolmé použijeme Pythagorovu větu a píšeme \[E = \sqrt{E^{2}_\mathrm {v}+E^{2}_\mathrm {h}}.\] Podle zadání je konečná rychlost dvojnásobná oproti počáteční rychlosti \[v_\mathrm k = 2v_0=\sqrt{\frac{8sE e}{3m_\mathrm e}}=\sqrt{\frac{8se\sqrt{E_\mathrm {v}^2+E_\mathrm {h}^2}}{3m_\mathrm e}}.\]

  • B – Nápověda

    Co můžeme říct o kinetické energii na začátku a na konci pohybu, konala se během pohybu nějaká práce?

  • B – Řešení: Úvahy o energii

    Pro kinetickou energii elektronu platí rovnice \[E_\mathrm {k1}+W_\mathrm e=E_\mathrm {k2},\] Ek1 je kinetická energie elektronu při vlétnutí, We práce, kterou vykonala elektrická síla Fe na dráze s, a Ek2 kinetická enegrie na konci pohybu. Elektrická síla působí ve směru pohybu, proto lze práci, kterou vykoná počítat jako \(W_\mathrm e=F_\mathrm es\). Energie a práci vyjádříme \[\frac{1}{2}m_\mathrm e{v_0}^2+ F_\mathrm es=\frac{1}{2}m_\mathrm e {v_\mathrm k}^2.\] Elektrickou sílu Fe spočítáme jako \(F_\mathrm e=Ee\), me je hmotnost elektronu a e elementární náboj, tyto údaje nalezneme v tabulkách. Teď už nám stačí si uvědomit, že konečná rychlost elektronu vk je podle zadání dvojnásobkem počáteční rychlosti v0 (\(v_\mathrm k=2\,v_0\)) . Dosadíme a upravíme \[\frac{1}{2}m_\mathrm e{v_0}^2+Ees=2m_\mathrm e {v_0}^2\] \[Ees=\frac{3}{2}m_\mathrm e {v_0}^2.\] Odtud vyjádříme v0 a získáváme vztah \[v_0 = \sqrt{\frac{2E es}{3m_\mathrm e}}.\] Nyní už jen spočítáme celkovou intenzitu pole E a dopočítáme konečnou rychlost elektronu vk. Vzhledem k tomu, že horizontální Eh a vertikální intenzita Ev jsou na sebe kolmé použijeme Pythagorovu větu a píšeme \[E = \sqrt{E^{2}_\mathrm {v}+E^{2}_\mathrm {h}}.\] Pro konečnou rychlost vk potom platí \[v_\mathrm k = 2v_0=\sqrt{\frac{8E es}{3m_\mathrm e}}=\sqrt{\frac{8se\sqrt{E_\mathrm v^2+E_\mathrm h^2}}{3m_e}}.\]

  • Zápis a číselné dosazení

    Eh = 400 Vm-1 horizontální intenzita
    Ev = 300 Vm-1 vertikální intenzita
    s = 2,7 mm = 2,7·10-3 m dráha elektronu
    vk = ? (ms-1) konečná rychlost elektronu
    Z tabulek:
    e = 1,6·10-19 C elementární náboj
    me = 9,1·10-31 kg hmotnost elektronu

    \[v_\mathrm k=\sqrt{\frac{8se\sqrt{E_\mathrm v^2+E_\mathrm h^2}}{3m_\mathrm e}}= \sqrt{\frac{8{\cdot} 2{,}7{\cdot} 10^{-3}\cdot 1{,}6{\cdot} 10^{-19}\sqrt{300^2+400^2}}{3{\cdot} 9{,}1{\cdot} 10^{-31}}}\,\mathrm{ms^{-1}}\,\dot{=}\,8{\cdot} 10^{5}\,\mathrm{ms^{-1}}\,\dot{=}\,800\,\mathrm {km \cdot s^{-1}}\]
  • Odpověď

    Konečná rychlost elektronu je 800 km·s-1.

  • Jak by to bylo kdyby elektron nevlétl podél siločar?

    Gravitační pole Země je též homogenním polem. Proto můžeme v této úloze použít jako analogii pohybu elektronu podél siločar pád v tíhovém poli. Kdyby elektron vlétl jinak, analogií takového pohybu by byl obecně šikmý vrh.

  • Odkaz na podobnou úlohu

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha řešená úvahou
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na odvozování (dedukci)
Zaslat komentář k úloze