RLC obvod se svorkami

Úloha číslo: 174

schéma

Na obrázku je sériový RLC obvod, ve kterém je odpor rezistoru 15 Ω, kapacita kondenzátoru je 4,7 μF a indukčnost cívky je 25 mH. Generátor dodává efektivní napětí 75 V při frekvenci 550 Hz.

a) Vypočtěte efektivní proud.
b) Vypočtěte efektivní napětí Uab, Ubc, Ucd, Ubd a Uad.
c) Jaká je střední hodnota výkonu v každém ze tří prvků?

  • Zápis

    Ze zadání známe:

    Odpor rezistoru:R = 15 Ω
    Kapacitu kondenzátoru:C = 4,7 μF
    Indukčnost cívky:L = 25 mH
    Napětí zdroje:Uef = 75 V
    Frekvenci napětí zdroje:  f = 550 Hz

    Chceme určit:

    a) Efektivní proud:Ief = ? (A)
    b) Efektivní napětí mezi svorkami ab:Uab = ? (V)
        Efektivní napětí mezi svorkami bc:  Ubc = ? (V)
        Efektivní napětí mezi svorkami cd:Ucd = ? (V)
        Efektivní napětí mezi svorkami bd:Ubd = ? (V)
        Efektivní napětí mezi svorkami ad:Uad = ? (V)
    c) Ztrátový výkon v rezistoru:PR = ? (W)
        Ztrátový výkon v cívce:PL = ? (W)
        Ztrátový výkon v kondenzátoru:PC = ? (W)

  • Nápověda 1

    Použijeme Ohmův zákon pro střídavý proud a vzorec pro výpočet výkonu v obvodu se střídavým proudem, ve kterém dochází k fázovému posunu mezi napětím a proudem.

  • Nápověda 2

    Napětím Uab v zadání jsme označili napětí mezi svorkami ab v obvodu. Stejně tak pro ostatní napětí.

  • Rozbor

    a) Efektivní proud v obvodu získáme pomocí Ohmova zákona. Známe efektivní napětí zdroje a celkovou impedanci vypočteme z induktance, rezistance a kapacitance jednotlivých prvků v obvodu.

    b) Jednotlivá efektivní napětí vypočteme také pomocí Ohmova zákona. Protože se jedná o sériový obvod, protéká všemi prvky stejný proud. Tento efektivní proud protékající obvodem jsme si vypočítali v oddíle a). Impedance do Ohmova zákona vyjádříme vždy pomocí těch součástek, které jsou zařazeny mezi danými dvěma svorkami.

    c) Pro výpočet výkonu na jednotlivých součástkách použijeme vzorec pro výkon v obvodu se střídavým proudem. Ve vyjádření výkonu vystupuje jak efektivní napětí a efektivní proud, tak fázový posun mezi napětím na dané součástce a proudem.

  • a) Řešení

    Efektivní proud vyjádříme pomocí Ohmova zákona:

    \[I_{ef}=\frac{U_{ef}}{Z}=\frac{U_{ef}}{\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2}}=\frac{U_{ef}}{\sqrt{R^2+\left(2 \pi f L-\frac{1}{2 \pi f C}\right)^2}}.\]

    Číselné dosazení:

    \[I_{ef}=\frac{75}{\sqrt{15^2+\left(2\pi \cdot 550 {\cdot} 0{,}025-\frac{1}{2 \pi \cdot 550 {\cdot} 4{,}7 {\cdot} 10^{-6}}\right)^2}}\,\mathrm A \,\dot{=}\,2{,}6\,\mathrm A\]
  • b) Řešení

    Dílčí efektivní napětí vypočteme z Ohmova zákona. Protože se jedná o sériový obvod, všemi součástkami protéká stejně velký proud, který jsme vypočítali v oddíle a).

    Efektivní napětí Uab: zapojen rezistor.

    \[U_{\mathrm{ab}}=I_{\mathrm{ef}}\,Z_{\mathrm{ab}}=I_{\mathrm{ef}}\,R.\]

    Efektivní napětí Ubc: zapojen kondenzátor.

    \[U_{bc}=I_{\mathrm{ef}}\,Z_{bc}=I_{\mathrm{ef}}\,X_C=I_{\mathrm{ef}}\,\frac{1}{2 \pi f C}.\]

    Efektivní napětí Ucd: zapojena cívka.

    \[U_{\mathrm{cd}}=I_{\mathrm{ef}}\,Z_{\mathrm{cd}}=I_{\mathrm{ef}}\,X_L=I_{\mathrm{ef}}\, 2 \pi f L.\]

    Efektivní napětí Ubd: zapojena cívka a kondenzátor.

    \[U_{\mathrm{\mathrm{bc}}}=I_{\mathrm{ef}}\,Z_{\mathrm{\mathrm{bc}}}=I_{\mathrm{ef}}\, \left|X_L-X_C\right|=I_{\mathrm{ef}}\,\left| 2 \pi f L-\frac{1}{2 \pi f C}\right|.\]

    Efektivní napětí Uad: zapojena cívka, kondenzátor a rezistor.

    \[U_{\mathrm{ad}}=I_{\mathrm{ef}}\,Z_{\mathrm{ad}}=I_{\mathrm{ef}}\,\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2}=I_{\mathrm{ef}}\, \sqrt{R^2+\left(2 \pi f L-\frac{1}{2 \pi f C}\right)^2}.\]

    Napětí Uad je napětí na všech prvcích v obvodu, to znamená, že se musí rovnat efektivnímu napětí, které je dodáváno ze zdroje. Ověříme si to dosazením obecného vyjádření efektivního proudu v obvodu, který jsme si vypočítali v oddíle a).

    \[U_{\mathrm{ad}}=I_{\mathrm{ef}}\,\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2}=\frac{U_{\mathrm{ef}}\,\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2}}{\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2}}\] \[U_{\mathrm{ad}}=U_{\mathrm{ef}}\]

    Číselné řešení:

    \[U_{\mathrm{ab}}=2{,}6 {\cdot} 15 \,\mathrm V\,\dot{=}\,40\,\mathrm V\] \[U_{bc}=2{,}6\cdot \frac{1}{2\pi \cdot 550 {\cdot} 4{,}7 {\cdot} 10^{-6} } \,\mathrm{V}\,\dot{=}\,160\,\mathrm{V}\] \[U_{\mathrm{cd}}=2{,}6{\cdot} 2\pi \cdot 550 {\cdot} 25 \cdot 10^{-3} \,\mathrm{V}\,\dot{=}\, 220\,\mathrm V\] \[U_{\mathrm{\mathrm{bd}}}=2{,}6\cdot \left|2\pi \cdot 550 {\cdot} 25 \cdot 10^{-3}-\frac{1}{2\pi \cdot 550 {\cdot} 4{,}7 {\cdot} 10^{-6}}\right| \,\mathrm{ V}\,\dot{=}\,64\,\mathrm V\] \[U_{\mathrm{ad}}=75\,\mathrm V\]
  • c) Řešení

    Pro střední hodnotu výkonu v obvodu se střídavým proudem platí:

    \[P=U_{\mathrm{ef}}\, I_{\mathrm{ef}}\, \cos\varphi\mathrm{,}\]

     kde φ je fázový posun mezi napětím a proudem.

     

    Výkon na rezistoru:

    \[P_R=U_R\,I_{\mathrm{ef}}\,\cos{\varphi}_R=U_{\mathrm{ab}}\,I_{\mathrm{ef}}\,\cos{\varphi}_R\mathrm{,}\]

     kde fázový posun mezi napětím a proudem φR je nulový.

    \[P_R=40{\cdot} 2{,}6\cdot \cos\,0\,\mathrm W\,\dot{=}\,100\,\mathrm W\]

     

    Výkon na kondenzátoru:

    \[P_C=U_C\,I_{\mathrm{ef}}\,\cos{\varphi}_R=U_{bc}\,I_{\mathrm{ef}}\,\cos{\varphi}_C\mathrm{,}\]

     kde fázový posun mezi napětím a proudem φC je π/2.

    \[P_C=160{\cdot} 2{,}6\cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\,\mathrm W=0\,\mathrm W\]

    To, že má střední hodnota výkonu na kondenzátoru nulovou velikost, je způsobeno tím, že se kondenzátor stále vybíjí a nabíjí. Elektrická energie se do něj ukládá a hned zase odebírá.

     

    Výkon na cívce:

    \[P_L=U_L\,I_{\mathrm{ef}}\,\cos{\varphi}_R=U_{\mathrm{cd}}\,I_{\mathrm{ef}}\,\cos{\varphi}_L\mathrm{,}\]

     kde fázový posun mezi napětím a proudem φL je -π/2.

    \[P_L=220{\cdot} 2{,}6\cdot \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\,\mathrm W=0\,\mathrm W\]

    Střední hodnota výkonu na cívce má nulovou velikost, protože se energie uvnitř cívky mění na energii magnetického pole a zase zpět na elektrickou energii.

  • Odpověď

    Efektivní proud protékající obvodem má hodnotu asi 2,6 A.

    Jednotlivá napětí mezi svorkami zakreslenými ve schématu zapojení jsou přibližně: Uab = 40 V; Ubc = 160 V; Ucd = 220 V; Ubd = 64 V a Uad = 75 V.

    Výkon elektrického proudu na rezistoru má hodnotu asi 100 W, výkon na cívce i kondenzátoru je nulový.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze