Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Kulový kondenzátor

Úloha číslo: 492

Příčný řez kondenzátorem

Kulový kondenzátor tvoří dvě soustředné vodivé kulové slupky o poloměrech R1 a R2, kde R1 < R2.

a) Určete kapacitu kondenzátoru.

b) Určete kapacitní a influenční koeficienty.

  • a) Nápověda: Kapacita

    Představme si, že kondenzátor nabijeme nábojem Q. Mezi nábojem, napětím na kondenzátoru a kapacitou kondenzátoru platí vztah:

    C=QU.

    Abychom mohli vyjádřit kapacitu kondenzátoru, musíme určit, jaké je napětí mezi deskami.

    Uvědomte si, jak souvisí napětí mezi elektrodami, tj. kulovými vrstvami kondenzátoru, s potenciálem a intenzitou elektrického pole mezi nimi.

  • a) Nápověda: Intenzita pole mezi kulovými vrstvami

    Využijte výsledek úlohy Pole rovnoměrně nabité sféry, kde je vypočítaná intenzita v okolí tenké kulové vrstvy.

  • a) Rozbor

    Kulový kondenzátor tvoří dvě soustředné kulové slupky, které jsou nabity stejně velkým nábojem opačného znaménka.

    Kapacitu kondenzátoru můžeme určit jako poměr náboje a napětí mezi kulovými vrstvami kondenzátoru.

    Napětí mezi kulovými vrstvami, tedy rozdíl potenciálů na elektrodách, bude rovno integrálu intenzity podél spojnice obou elektrod. (Podrobnější vysvětlení naleznete v první nápovědě.)

    Intenzita vně nabité kulové vrstvy klesá s druhou mocninou vzdálenosti od středu kulové vrstvy a uvnitř vrstvy je rovna nule (viz úloha Pole rovnoměrně nabité sféry). Mezi kulovými vrstvami tedy intenzita klesá s druhou mocninou vzdálenosti od středu kulových vrstev. Vnější kulová vrstva k intenzitě elektrického pole nepřispívá.

  • a) Řešení: Kapacita kondenzátoru

    Kapacitu C kulového kondenzátoru určíme jako podíl náboje Q na elektrodách a napětí U mezi nimi:

    C=QU.

    Velikost napětí mezi elektrodami je rovna integrálu z intenzity (podrobnější vysvětlení naleznete v nápovědě):

    U=R2R1Edz,

    kde z je vzdálenost od středu obou kulových vrstev.

    Intenzita elektrického pole mezi kulovými vrstvami je dána intenzitou elektrického pole vnitřní vrstvy. Vnější kulová vrstva k intenzitě elektrického pole mezi elektrodami nepřispívá. Intenzitu elektrického pole v okolí nabité kulové vrstvy jsme vyjádřili v úloze Pole rovnoměrně nabité sféry pomocí vztahu

    E=R21σϵ01z2,

    kde poloměr kulové vrstvy je roven R1. Dosadíme do vztahu pro napětí:

    U=R2R1R21σϵ01z2dz.

    Vytkneme konstanty před integrál a integrál vypočítáme:

    U=R21σϵ0R2R11z2dz=R21σϵ0[1z]R2R1=R21σϵ0(1R2+1R1), U=R21σϵ0(1R11R2).

    Protože neznáme plošnou nábojovou hustotu σ, ale celkový náboj Q, vyjádříme σ pomocí povrchu kulové vrstvy:

    Q=σS=σ4πR21σ=Q4πR21.

    Nábojovou hustotu σ dosadíme zpět do vzorce (+) a výraz upravíme:

    U=R21ϵ0Q4πR21(1R11R2)=Q4πϵ0(1R11R2).

    Výraz v závorce ještě převedeme na společného jmenovatele:

    U=Q4πϵ0R2R1R1R2.

    Protože kapacita C kondenzátoru je dána podílem C=QU, můžeme ji z posledního vzorce vyjádřit:

    C=4πϵ0R1R2R2R1.
  • b) Nápověda: Jak vyjádřit kapacitní a influenční koeficienty

    Jestliže je vnitřní (první) kulová slupka nabita nábojem Q1 a vnější (druhá) slupka nabita nábojem Q2, můžeme kapacitní a influenční koeficienty vyjádřit z těchto rovnic:

    Q1=C11φ1+C12φ2, Q2=C21φ1+C22φ2,

    kde φ1 je potenciál na vnitřní (první) slupce a φ2 je potenciál na vnější (druhé) slupce.

    Koeficienty C11 a C22 se nazývají kapacitní. Koeficienty C12 a C21 se nazývají influenční.

    Protože elektrody kondenzátoru jsou vodivé, je potenciál na celé ploše elektrody stejný. Kapacitní a influenční koeficienty vyjadřujeme za předpokladu, že nulový potenciál jsme zvolili v nekonečnu.

    Uvedené rovnice obvykle není snadné napsat přímo, ale můžeme je vyjádřit z rovnic pro potenciály, které sestavíme pomocí principu superpozice. Označíme si:

    1. φ(1)1 potenciál elektrického pole vytvořeného prvním nábojem na vnitřní (první) vrstvě a

    2. φ(2)1 potenciál elektrického pole vytvořeného druhým nábojem na vnitřní (druhé) vrstvě.

    Analogicky pro vnější (druhou) vrstvu bude:

    1. φ(1)2 potenciál od prvního náboje na vnější (druhé) vrstvě,

    2. φ(2)2 potenciál od druhého náboje na vnější (druhé) vrstvě.

    Pro celkový potenciál na vnitřní (první) vrstvě φ1 platí:

    φ1=φ(1)1+φ(2)1

    a na vnější (druhé) vrstvě:

    φ2=φ(1)2+φ(2)2.

    Abychom vyjádřili potenciály, představíme si, že nejdříve nabijeme jenom vnitřní kulovou vrstvu nábojem Q1 a vyjádříme si potenciál φ(1)1 na vnitřní vrstvě a potenciál φ(1)2 na vnější vrstvě.

    Nabitá je pouze vnitřní kulová vrstva

    Nyní naopak nabijeme jenom vnější kulovou vrstvu nábojem Q2 a vyjádříme si potenciál φ(2)1 na vnitřní vrstvě a potenciál φ(2)2 na vnější vrstvě.

    Nabitá je pouze vnější kulová vrstva

    Tak sestavíme soustavu dvou rovnic, kterou si upravíme do tvaru (*), ze kterého vyjádříme kapacitní a influenční koeficienty.

  • b) Řešení: Kapacitní a influenční koeficienty

    Pomocí principu superpozice si sestavíme dvě rovnice pro celkové potenciály na obou elektrodách:

    φ1=φ(1)1+φ(2)1, φ2=φ(1)2+φ(2)2.

    Pozn.: Značení je podrobněji vysvětleno v nápovědě.

    Nejdříve si představíme, že nabijeme jenom vnitřní kulovou slupku nábojem Q1 a vyjádříme si potenciál φ(1)1 na vnitřní slupce a potenciál φ(1)2 na vnější slupce. Poté naopak budeme uvažovat, že nabijeme jenom vnější kulovou slupku nábojem Q2 a vyjádříme si potenciál φ(2)1 na vnitřní slupce a potenciál φ(2)2 na vnější slupce.

    Potenciál vně tenké kulové slupky je dán vztahem φ(z)=Q4πε01z=kQz, kde z je vzdálenost od vrstvy. Uvnitř vrstvy je konstantní a stejný jako na povrchu vrstvy.

    Jestliže nabijeme pouze vnitřní kulovou vrstvu nábojem Q1, bude na ní elektrický potenciál roven

    φ(1)1=kQ1R1

    a na vnější vrstvě bude potenciál roven

    φ(1)2=kQ1R2.

    Jestliže nabijeme pouze vnější kulovou vrstvu nábojem Q2, bude na ní elektrický potenciál roven

    φ(2)2=kQ2R2.

    Protože vnitřní vrstva je uvnitř vnější, bude na ní potenciál stejný:

    φ(2)1=kQ2R2.

    Vyjádřené vztahy dosadíme do rovnic (**) pro celkový potenciál obou vrstev a dostaneme:

    φ1=kQ1R1+kQ2R2, φ2=kQ1R2+kQ2R2.

    Nyní budeme soustavu rovnic upravovat tak, abychom vyjádřili náboje Q1 a Q2.

     

    Vyjádření náboje Q1:

    Nejdříve odečteme druhou rovnici od první. Tím získáme rovnici, ve které bude pouze náboj Q1:

    φ1φ2=kQ1R1kQ1R2

    a ten vyjádříme:

    φ1φ2=kQ1(1R11R2), φ1φ2=kQ1R2R1R1R2|R1R2k(R2R1), Q1=R1R2k(R2R1)φ1R1R2k(R2R1)φ2.

     

    Vyjádření náboje Q2:

    Obě rovnice vynásobíme uvedenými výrazy:

    φ1=kQ1R1+kQ2R2|(R1), φ2=kQ1R2+kQ2R2|R2.

    Rovnice odečteme:

    R2φ2R1φ1=kQ2kR1R2Q2

    a vyjádříme náboj Q2:

    R2φ2R1φ1=kQ2(1R1R2), R2φ2R1φ1=kQ2R2R1R2|R2k(R2R1), Q2=R22k(R2R1)φ2R1R2k(R2R1)φ01.

     

    Získali jsme tedy dvě rovnice (1) a (2):

    Q1=R1R2k(R2R1)φ1R1R2k(R2R1)φ2, Q2=R1R2k(R2R1)φ1+R22k(R2R1)φ2,

    ve kterých jsou již kapacitní a influenční koeficienty vyjádřeny.

    Pro kapacitní koeficienty platí:

    C11=R1R2k(R2R1), C22=R22k(R2R1).

    Influenční koeficienty C12 a C21 jsou stejné:

    C12=C21=R1R2k(R2R1).

    Pozn.: Obecně platí, že kapacitní koeficienty jsou pro jakoukoli soustavu elektrod kladné a influenční koeficienty záporné. Navíc se influenční koeficienty s „prohozenými“ indexy vždy navzájem rovnají (tj. matice soustavy rovnic pro výpočet potenciálů je symetrická). Tyto obecné vlastnosti splňuje i soustava dvou soustředných kulových elektrod z naší úlohy.

  • Komentář: Kapacita kondenzátoru z předchozího oddílu

    Kapacitu kondenzátoru můžeme vyjádřit také z rovnice (***) z předchozího oddílu. Vnitřní elektroda kondenzátoru je nabita nábojem Q:

    φ1φ2=kQ1(1R11R2)=kQ(1R11R2).

    Rovnici upravíme, abychom na jedné straně měli podíl náboje Q a rozdílu potenciálů φ1 − φ2:

    φ1φ2=kQR2R1R1R2, (φ1φ2)R1R2k(R2R1)=Q, R1R2k(R2R1)=Qφ1φ2.

    Rozdíl potenciálu φ1 − φ2 na elektrodách kondenzátoru je roven napětí U na kondenzátoru:

    R1R2k(R2R1)=QU.

    Podíl náboje Q a napětí U nám dává kapacitu kondenzátoru:

    C=R1R2k(R2R1).

    Vyšel nám stejný vztah jako při výpočtu s využitím intenzity.

  • Odpověď

    Kapacita kulového kondenzátoru je dána vztahem

    C=4πε0R1R2R2R1.

    Pro kapacitní koeficienty C11 a C22 platí vztahy

    C11=R1R2k(R2R1), C22=R22k(R2R1).

    Influenční koeficienty C12 a C21 jsou stejné a jsou dány vztahem

    C12=C21=R1R2k(R2R1).

    Ve všech vztazích platí, že k=14πε0.

  • Komentář: Kapacita pomocí koeficientů

    V literatuře lze také nalézt vztah mezi kapacitou kondenzátoru a kapacitními a influenčními koeficienty:

    C=C11C22C212C11+2C12+C22.

    Tento vztah zde nebudeme odvozovat, ale vyzkoušíme, jestli opravdu „funguje“ v našem případě.

    Dosadíme do uvedeného vztahu koeficienty, které jsme si vyjádřili dříve:

    C=R1R2k(R2R1)R22k(R2R1)R21R22k2(R2R1)2R1R2k(R2R1)2R1R2k(R2R1)+R22k(R2R1).

    Sečteme výrazy v čitateli a ve jmenovateli složeného zlomku:

    C=R1R32k2(R2R1)2R21R22k2(R2R1)2+R1R22R1R2+R22k(R2R1), C=R1R32R21R22k2(R2R1)2R1R2+R22k(R2R1). Zbavíme se složeného zlomku a zkrátíme stejné výrazy: C=R1R32R21R22k2(R2R1)2k(R2R1)R22R1R2, C=R1R32R21R22k(R2R1)(R22R1R2).

    V čitateli i ve jmenovateli vytkneme stejné členy a opět zkrátíme:

    C=R1R22(R2R1)k(R2R1)R2(R2R1), C=R1R2k(R2R1).

    I pomocí uvedeného vztahu jsme získali pro kapacitu kondenzátoru stejný vztah.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Diplomová práce Lenky Matějíčkové (2010).
×Původní zdroj: Diplomová práce Lenky Matějíčkové (2010).
Zaslat komentář k úloze