Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Kulový kondenzátor
Úloha číslo: 492

Kulový kondenzátor tvoří dvě soustředné vodivé kulové slupky o poloměrech R1 a R2, kde R1 < R2.
a) Určete kapacitu kondenzátoru.
b) Určete kapacitní a influenční koeficienty.
a) Nápověda: Kapacita
Představme si, že kondenzátor nabijeme nábojem Q. Mezi nábojem, napětím na kondenzátoru a kapacitou kondenzátoru platí vztah:
C=QU.Abychom mohli vyjádřit kapacitu kondenzátoru, musíme určit, jaké je napětí mezi deskami.
Uvědomte si, jak souvisí napětí mezi elektrodami, tj. kulovými vrstvami kondenzátoru, s potenciálem a intenzitou elektrického pole mezi nimi.
a) Nápověda: Intenzita pole mezi kulovými vrstvami
Využijte výsledek úlohy Pole rovnoměrně nabité sféry, kde je vypočítaná intenzita v okolí tenké kulové vrstvy.
a) Rozbor
Kulový kondenzátor tvoří dvě soustředné kulové slupky, které jsou nabity stejně velkým nábojem opačného znaménka.
Kapacitu kondenzátoru můžeme určit jako poměr náboje a napětí mezi kulovými vrstvami kondenzátoru.
Napětí mezi kulovými vrstvami, tedy rozdíl potenciálů na elektrodách, bude rovno integrálu intenzity podél spojnice obou elektrod. (Podrobnější vysvětlení naleznete v první nápovědě.)
Intenzita vně nabité kulové vrstvy klesá s druhou mocninou vzdálenosti od středu kulové vrstvy a uvnitř vrstvy je rovna nule (viz úloha Pole rovnoměrně nabité sféry). Mezi kulovými vrstvami tedy intenzita klesá s druhou mocninou vzdálenosti od středu kulových vrstev. Vnější kulová vrstva k intenzitě elektrického pole nepřispívá.
a) Řešení: Kapacita kondenzátoru
Kapacitu C kulového kondenzátoru určíme jako podíl náboje Q na elektrodách a napětí U mezi nimi:
C=QU.Velikost napětí mezi elektrodami je rovna integrálu z intenzity (podrobnější vysvětlení naleznete v nápovědě):
U=∫R2R1Edz,kde z je vzdálenost od středu obou kulových vrstev.
Intenzita elektrického pole mezi kulovými vrstvami je dána intenzitou elektrického pole vnitřní vrstvy. Vnější kulová vrstva k intenzitě elektrického pole mezi elektrodami nepřispívá. Intenzitu elektrického pole v okolí nabité kulové vrstvy jsme vyjádřili v úloze Pole rovnoměrně nabité sféry pomocí vztahu
E=R21σϵ01z2,kde poloměr kulové vrstvy je roven R1. Dosadíme do vztahu pro napětí:
U=∫R2R1R21σϵ01z2dz.Vytkneme konstanty před integrál a integrál vypočítáme:
U=R21σϵ0∫R2R11z2dz=R21σϵ0[−1z]R2R1=R21σϵ0(−1R2+1R1), U=R21σϵ0(1R1−1R2).Protože neznáme plošnou nábojovou hustotu σ, ale celkový náboj Q, vyjádříme σ pomocí povrchu kulové vrstvy:
Q=σS=σ4πR21⇒σ=Q4πR21.Nábojovou hustotu σ dosadíme zpět do vzorce (+) a výraz upravíme:
U=R21ϵ0Q4πR21(1R1−1R2)=Q4πϵ0(1R1−1R2).Výraz v závorce ještě převedeme na společného jmenovatele:
U=Q4πϵ0R2−R1R1R2.Protože kapacita C kondenzátoru je dána podílem C=QU, můžeme ji z posledního vzorce vyjádřit:
C=4πϵ0R1R2R2−R1.b) Nápověda: Jak vyjádřit kapacitní a influenční koeficienty
Jestliže je vnitřní (první) kulová slupka nabita nábojem Q1 a vnější (druhá) slupka nabita nábojem Q2, můžeme kapacitní a influenční koeficienty vyjádřit z těchto rovnic:
Q1=C11φ1+C12φ2, Q2=C21φ1+C22φ2,kde φ1 je potenciál na vnitřní (první) slupce a φ2 je potenciál na vnější (druhé) slupce.
Koeficienty C11 a C22 se nazývají kapacitní. Koeficienty C12 a C21 se nazývají influenční.
Protože elektrody kondenzátoru jsou vodivé, je potenciál na celé ploše elektrody stejný. Kapacitní a influenční koeficienty vyjadřujeme za předpokladu, že nulový potenciál jsme zvolili v nekonečnu.
Uvedené rovnice obvykle není snadné napsat přímo, ale můžeme je vyjádřit z rovnic pro potenciály, které sestavíme pomocí principu superpozice. Označíme si:
φ(1)1 potenciál elektrického pole vytvořeného prvním nábojem na vnitřní (první) vrstvě a
φ(2)1 potenciál elektrického pole vytvořeného druhým nábojem na vnitřní (druhé) vrstvě.
Analogicky pro vnější (druhou) vrstvu bude:
φ(1)2 potenciál od prvního náboje na vnější (druhé) vrstvě,
φ(2)2 potenciál od druhého náboje na vnější (druhé) vrstvě.
Pro celkový potenciál na vnitřní (první) vrstvě φ1 platí:
φ1=φ(1)1+φ(2)1a na vnější (druhé) vrstvě:
φ2=φ(1)2+φ(2)2.Abychom vyjádřili potenciály, představíme si, že nejdříve nabijeme jenom vnitřní kulovou vrstvu nábojem Q1 a vyjádříme si potenciál φ(1)1 na vnitřní vrstvě a potenciál φ(1)2 na vnější vrstvě.
Nyní naopak nabijeme jenom vnější kulovou vrstvu nábojem Q2 a vyjádříme si potenciál φ(2)1 na vnitřní vrstvě a potenciál φ(2)2 na vnější vrstvě.
Tak sestavíme soustavu dvou rovnic, kterou si upravíme do tvaru (*), ze kterého vyjádříme kapacitní a influenční koeficienty.
b) Řešení: Kapacitní a influenční koeficienty
Pomocí principu superpozice si sestavíme dvě rovnice pro celkové potenciály na obou elektrodách:
φ1=φ(1)1+φ(2)1, φ2=φ(1)2+φ(2)2.Pozn.: Značení je podrobněji vysvětleno v nápovědě.
Nejdříve si představíme, že nabijeme jenom vnitřní kulovou slupku nábojem Q1 a vyjádříme si potenciál φ(1)1 na vnitřní slupce a potenciál φ(1)2 na vnější slupce. Poté naopak budeme uvažovat, že nabijeme jenom vnější kulovou slupku nábojem Q2 a vyjádříme si potenciál φ(2)1 na vnitřní slupce a potenciál φ(2)2 na vnější slupce.
Potenciál vně tenké kulové slupky je dán vztahem φ(z)=Q4πε01z=kQz, kde z je vzdálenost od vrstvy. Uvnitř vrstvy je konstantní a stejný jako na povrchu vrstvy.
Jestliže nabijeme pouze vnitřní kulovou vrstvu nábojem Q1, bude na ní elektrický potenciál roven
φ(1)1=kQ1R1a na vnější vrstvě bude potenciál roven
φ(1)2=kQ1R2.Jestliže nabijeme pouze vnější kulovou vrstvu nábojem Q2, bude na ní elektrický potenciál roven
φ(2)2=kQ2R2.Protože vnitřní vrstva je uvnitř vnější, bude na ní potenciál stejný:
φ(2)1=kQ2R2.Vyjádřené vztahy dosadíme do rovnic (**) pro celkový potenciál obou vrstev a dostaneme:
φ1=kQ1R1+kQ2R2, φ2=kQ1R2+kQ2R2.Nyní budeme soustavu rovnic upravovat tak, abychom vyjádřili náboje Q1 a Q2.
Vyjádření náboje Q1:
Nejdříve odečteme druhou rovnici od první. Tím získáme rovnici, ve které bude pouze náboj Q1:
φ1−φ2=kQ1R1−kQ1R2a ten vyjádříme:
φ1−φ2=kQ1(1R1−1R2), φ1−φ2=kQ1R2−R1R1R2|⋅R1R2k(R2−R1), Q1=R1R2k(R2−R1)φ1−R1R2k(R2−R1)φ2.Vyjádření náboje Q2:
Obě rovnice vynásobíme uvedenými výrazy:
φ1=kQ1R1+kQ2R2|⋅(−R1), φ2=kQ1R2+kQ2R2|⋅R2.Rovnice odečteme:
R2φ2−R1φ1=kQ2−kR1R2Q2a vyjádříme náboj Q2:
R2φ2−R1φ1=kQ2(1−R1R2), R2φ2−R1φ1=kQ2R2−R1R2|⋅R2k(R2−R1), Q2=R22k(R2−R1)φ2−R1R2k(R2−R1)φ01.Získali jsme tedy dvě rovnice (1) a (2):
Q1=R1R2k(R2−R1)φ1−R1R2k(R2−R1)φ2, Q2=−R1R2k(R2−R1)φ1+R22k(R2−R1)φ2,ve kterých jsou již kapacitní a influenční koeficienty vyjádřeny.
Pro kapacitní koeficienty platí:
C11=R1R2k(R2−R1), C22=R22k(R2−R1).Influenční koeficienty C12 a C21 jsou stejné:
C12=C21=−R1R2k(R2−R1).Pozn.: Obecně platí, že kapacitní koeficienty jsou pro jakoukoli soustavu elektrod kladné a influenční koeficienty záporné. Navíc se influenční koeficienty s „prohozenými“ indexy vždy navzájem rovnají (tj. matice soustavy rovnic pro výpočet potenciálů je symetrická). Tyto obecné vlastnosti splňuje i soustava dvou soustředných kulových elektrod z naší úlohy.
Komentář: Kapacita kondenzátoru z předchozího oddílu
Kapacitu kondenzátoru můžeme vyjádřit také z rovnice (***) z předchozího oddílu. Vnitřní elektroda kondenzátoru je nabita nábojem Q:
φ1−φ2=kQ1(1R1−1R2)=kQ(1R1−1R2).Rovnici upravíme, abychom na jedné straně měli podíl náboje Q a rozdílu potenciálů φ1 − φ2:
φ1−φ2=kQR2−R1R1R2, (φ1−φ2)R1R2k(R2−R1)=Q, R1R2k(R2−R1)=Qφ1−φ2.Rozdíl potenciálu φ1 − φ2 na elektrodách kondenzátoru je roven napětí U na kondenzátoru:
R1R2k(R2−R1)=QU.Podíl náboje Q a napětí U nám dává kapacitu kondenzátoru:
C=R1R2k(R2−R1).Vyšel nám stejný vztah jako při výpočtu s využitím intenzity.
Odpověď
Kapacita kulového kondenzátoru je dána vztahem
C=4πε0R1R2R2−R1.Pro kapacitní koeficienty C11 a C22 platí vztahy
C11=R1R2k(R2−R1), C22=R22k(R2−R1).Influenční koeficienty C12 a C21 jsou stejné a jsou dány vztahem
C12=C21=−R1R2k(R2−R1).Ve všech vztazích platí, že k=14πε0.
Komentář: Kapacita pomocí koeficientů
V literatuře lze také nalézt vztah mezi kapacitou kondenzátoru a kapacitními a influenčními koeficienty:
C=C11C22−C212C11+2C12+C22.Tento vztah zde nebudeme odvozovat, ale vyzkoušíme, jestli opravdu „funguje“ v našem případě.
Dosadíme do uvedeného vztahu koeficienty, které jsme si vyjádřili dříve:
C=R1R2k(R2−R1)R22k(R2−R1)−R21R22k2(R2−R1)2R1R2k(R2−R1)−2R1R2k(R2−R1)+R22k(R2−R1).Sečteme výrazy v čitateli a ve jmenovateli složeného zlomku:
C=R1R32k2(R2−R1)2−R21R22k2(R2−R1)2+R1R2−2R1R2+R22k(R2−R1), C=R1R32−R21R22k2(R2−R1)2−R1R2+R22k(R2−R1). Zbavíme se složeného zlomku a zkrátíme stejné výrazy: C=R1R32−R21R22k2(R2−R1)2⋅k(R2−R1)R22−R1R2, C=R1R32−R21R22k(R2−R1)(R22−R1R2).V čitateli i ve jmenovateli vytkneme stejné členy a opět zkrátíme:
C=R1R22(R2−R1)k(R2−R1)R2(R2−R1), C=R1R2k(R2−R1).I pomocí uvedeného vztahu jsme získali pro kapacitu kondenzátoru stejný vztah.