Kulový kondenzátor

Úloha číslo: 492

Příčný řez kondenzátorem

Kulový kondenzátor tvoří dvě soustředné vodivé kulové slupky o poloměrech R1 a R2, kde R1 < R2.

a) Určete kapacitu kondenzátoru.

b) Určete kapacitní a influenční koeficienty.

  • a) Nápověda: Kapacita

    Představme si, že kondenzátor nabijeme nábojem Q. Mezi nábojem, napětím na kondenzátoru a kapacitou kondenzátoru platí vztah:

    \[C\,=\,\frac{Q}{U}\,.\]

    Abychom mohli vyjádřit kapacitu kondenzátoru, musíme tedy určit, jaké je napětí mezi deskami.

    Uvědomte si, jak souvisí napětí mezi elektrodami, tj. kulovými vrstvami kondenzátoru, s potenciálem a intenzitou elektrického pole mezi nimi.

  • a) Nápověda: Intenzita pole mezi kulovými vrstvami

    Využijte výsledek úlohy Pole rovnoměrně nabité sféry, kde je vypočítaná intenzita v okolí tenké kulové vrstvy.

  • a) Rozbor

    Kulový kondenzátor tvoří dvě soustředné kulové slupky, které jsou nabity stejně velkým nábojem opačného znaménka.

    Kapacitu kondenzátoru můžeme určit jako poměr náboje a napětí mezi kulovými vrstvami kondenzátoru.

    Napětí mezi kulovými vrstvami, tedy rozdíl potenciálů na elektrodách, bude rovno integrálu intenzity podél spojnice obou elektrod. (Podrobnější vysvětlení naleznete v první nápovědě.)

    Intenzita vně nabité kulové vrstvy klesá s druhou mocninou vzdálenosti od středu kulové vrstvy a uvnitř vrstvy je rovna nule (viz úloha Pole rovnoměrně nabité sféry). Mezi kulovými vrstvami tedy intenzita klesá s druhou mocninou vzdálenosti od středu kulových vrstev. Vnější kulová vrstva k intenzitě elektrického pole nepřispívá.

  • a) Řešení: Kapacita kondenzátoru

    Kapacitu C kulového kondenzátoru určíme jako podíl náboje Q na elektrodách a napětí U mezi nimi:

    \[C\,=\,\frac{Q}{U}\,.\]

    Velikost napětí mezi elektrodami je rovna integrálu z intenzity. (Podrobnější vysvětlení naleznete v nápovědě.)

    \[U\,=\, \int_{R_1}^{R_2} E \,\mathrm{d}z\,,\]

    kde z je vzdálenost od středu obou kulových vrstev.

    Intenzita elektrického pole mezi kulovými vrstvami je dána intenzitou elektrického pole vnitřní vrstvy. Vnější kulová vrstva k intenzitě elektrického pole mezi elektrodami nepřispívá. Intenzitu elektrického pole v okolí nabité kulové vrstvy jsme vyjádřily v úloze Pole rovnoměrně nabité sféry pomocí vztahu

    \[E\,=\,\frac{R_1^2 \sigma}{\epsilon_0} \,\frac{1}{z^2}\,,\]

    kde poloměr kulové vrstvy je roven R1. Dosadíme do vztahu pro napětí:

    \[U\,=\, \int_{R_1}^{R_2} \frac{R_1^2 \sigma}{\epsilon_0} \,\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z\,.\]

    Vytkneme konstanty před integrál a integrál vypočítáme.

    \[U\,=\, \frac{R_1^2 \sigma}{\epsilon_0} \int_{R_1}^{R_2} \frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z \,=\, \frac{R_1^2 \sigma}{\epsilon_0} \,\left[-\frac{1}{z}\right]_{R_1}^{R_2} \,=\, \frac{R_1^2 \sigma}{\epsilon_0} \,\left(-\,\frac{1}{R_2}\,+\,\frac{1}{R_1}\right)\] \[U\,=\, \frac{R_1^2 \sigma}{\epsilon_0} \,\left(\frac{1}{R_1}\,-\,\frac{1}{R_2}\right)\tag{+}\]

    Protože neznáme plošnou nábojovou hustotu σ, ale celkový náboj Q, vyjádříme σ pomocí povrchu kulové vrstvy.

    \[Q\,=\, \sigma S\,=\, \sigma \,4 \pi R_1^2 \hspace{40px} \Rightarrow \hspace{40px}\sigma\,=\,\frac{Q}{4 \pi R_1^2}\]

    Nábojovou hustotu σ dosadíme zpět do vzorce (+) a výraz upravíme.

    \[U\,=\, \frac{R_1^2}{\epsilon_0}\,\,\frac{Q}{4 \pi R_1^2} \,\,\left(\frac{1}{R_1}\,-\,\frac{1}{R_2}\right)\,=\,\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \,\left(\frac{1}{R_1}\,-\,\frac{1}{R_2}\right)\]

    Výraz v závorce ještě převedeme na společného jmenovatele.

    \[U\,=\,\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \,\frac{R_2\,-\,R_1}{R_1 R_2}\]

    Protože kapacita C kondenzátoru je dána podílem \(C\,=\,\frac{Q}{U}\), můžeme ji z posledního vzorce vyjádřit.

    \[C\,=\,4 \pi \epsilon_0\,\frac{R_1 R_2}{R_2\,-\,R_1} \]
  • b) Nápověda: Jak vyjádřit kapacitní a influenční koeficienty

    Jestliže je vnitřní (první) kulová slupka nabita nábojem Q1 a vnější (druhá) slupka nabita nábojem Q2 můžeme kapacitní a influenční koeficienty vyjádřit z těchto rovnic.

    \[Q_1\,=\,C_{11}\varphi_{1}\,+\,C_{12}\varphi_{2}\,,\] \[Q_2\,=\,C_{21}\varphi_{1}\,+\,C_{22}\varphi_{2}\,,\tag{*}\]

    kde φ1 je potenciál na vnitřní (první) slupce a φ2 je potenciál na vnější (druhé) slupce.

    Koeficienty C11 a C22 se nazývají kapacitní. Koeficienty C12 a C21 se nazývají influenční.

    Protože elektrody kondenzátoru jsou vodivé, je potenciál na celé ploše elektrody stejný. Kapacitní a influenční koeficienty vyjadřujeme za předpokladu, že nulový potenciál jsme zvolili v nekonečnu.

    Uvedené rovnice obvykle není snadné napsat přímo, ale můžeme je vyjádřit z rovnic pro potenciály, které sestavíme pomocí principu superpozice. Označíme si

    1. \(\varphi_{1}^{(1)}\) potenciál elektrického pole vytvořeného prvním nábojem na vnitřní (první) vrstvě a

    2. \(\varphi_{1}^{(2)}\) potenciál elektrického pole vytvořeného druhým nábojem na vnitřní (druhé) vrstvě.

    Analogicky pro vnější (druhou) vrstvu bude

    1. \(\varphi_{2}^{(1)}\) potenciál od prvního náboje na vnější (druhé) vrstvě,

    2. \(\varphi_{2}^{(2)}\) potenciál od druhého náboje na vnější (druhé) vrstvě.

    Pro celkový potenciál na vnitřní (první) vrstvě φ1 platí

    \[\varphi_{1}\,=\,\varphi_{1}^{(1)}\,+\,\varphi_{1}^{(2)}\]

    a na vnější (druhé) vrstvě

    \[\varphi_{2}\,=\,\varphi_{2}^{(1)}\,+\,\varphi_{2}^{(2)}\,.\]

    Abychom vyjádřili potenciály, představíme si, že nejdříve nabijeme jenom vnitřní kulovou vrstvu nábojem Q1 a vyjádříme si potenciál \(\varphi_{1}^{(1)}\) na vnitřní vrstvě a potenciál \(\varphi_{2}^{(1)}\) na vnější vrstvě.

    Nabitá je pouze vnitřní kulová vrstva

    Nyní naopak nabijeme jenom vnější kulovou vrstvu nábojem Q2 a vyjádříme si potenciál \(\varphi_{1}^{(2)}\) na vnitřní vrstvě a potenciál \(\varphi_{2}^{(2)}\) na vnější vrstvě.

    Nabitá je pouze vnější kulová vrstva

    Tak sestavíme soustavu dvou rovnic, kterou si upravíme do tvaru (*), ze kterého vyjádříme kapacitní a influenční koeficienty.

  • b) Řešení: Kapacitní a influenční koeficienty

    Pomocí principu superpozice si sestavíme dvě rovnice pro celkové potenciály na obou elektrodách.

    \[\varphi_{1}\,=\,\varphi_{1}^{(1)}\,+\,\varphi_{1}^{(2)}\] \[\varphi_{2}\,=\,\varphi_{2}^{(1)}\,+\,\varphi_2^{(2)}\tag{**}\]

    Pozn.: Značení je podrobněji vysvětleno v nápovědě.

    Nejdříve si představíme, že nabijeme jenom vnitřní kulovou slupku nábojem Q1 a vyjádříme si potenciál \(\varphi_{1}^{(1)}\) na vnitřní slupce a potenciál \(\varphi_{2}^{(1)}\) na vnější slupce. Poté naopak budeme uvažovat, že nabijeme jenom vnější kulovou slupku nábojem Q2 a vyjádříme si potenciál \(\varphi_{1}^{(2)}\) na vnitřní slupce a potenciál \(\varphi_{2}^{(2)}\) na vnější slupce.

    Potenciál vně tenké kulové slupky je dán vztahem \(\varphi (z)\,=\, \,\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 }\,\frac{1}{z}\,=\, k\,\frac{Q}{z}\), kde z je vzdálenost od vrstvy. Uvnitř vrstvy je konstantní a stejný jako na povrchu vrstvy.

    Jestliže nabijeme pouze vnitřní kulovou vrstvu nábojem Q1, bude na ní elektrický potenciál roven

    \[\varphi_{1}^{(1)}\,=\, k\,\frac{Q_1}{R_1}\]

    a na vnější vrstvě bude potenciál roven

    \[\varphi_{2}^{(1)}\,=\, k\,\frac{Q_1}{R_2}\,.\]

    Jestliže nabijeme pouze vnější kulovou vrstvu nábojem Q2, bude na ní elektrický potenciál roven

    \[\varphi_{2}^{(2)}\,=\, \,k\,\frac{Q_2}{R_2}\,.\]

    Protože vnitřní vrstva je uvnitř vnější bude na ní potenciál stejný.

    \[\varphi_{1}^{(2)}\,=\, k\,\frac{Q_2}{R_2}\,.\]

    Vyjádřené vztahy dosadíme do rovnic (**) pro celkový potenciál obou vrstev a dostaneme

    \[\varphi_{1}\,=\,k\,\frac{Q_1}{R_1}\,+\,\,k\,\frac{Q_2}{R_2}\] \[\varphi_{2}\,=\,k\,\frac{Q_1}{R_2}\,+\,k\,\frac{Q_2}{R_2}\]

    Nyní budeme soustavu rovnic upravovat tak, abychom vyjádřili náboje Q1 a Q2.

     

    Vyjádření náboje Q1:

    Nejdříve odečteme druhou rovnici od první. Tím získáme rovnici, ve které bude pouze náboj Q1,

    \[\varphi_{1}\,-\,\varphi_{2}\,=\,k\,\frac{Q_1}{R_1}\,-\,k\,\frac{Q_1}{R_2}\]

    a ten vyjádříme.

    \[\varphi_{1}\,-\,\varphi_{2}\,=\,kQ_1\,\left(\frac{1}{R_1}\,-\,\frac{1}{R_2}\right)\tag{***}\] \[\varphi_{1}\,-\,\varphi_{2}\,=\,kQ_1\,\frac{R_2\,-\,R_1}{R_1R_2} \hspace{40px}| \,\cdot \,\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)} \] \[Q_1\,=\,\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,\varphi_{1}\,-\,\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,\varphi_{2} \tag{1}\]

     

    Vyjádření náboje Q2:

    Obě rovnice vynásobíme uvedenými výrazy,

    \[\varphi_{1}\,=\,k\,\frac{Q_1}{R_1}\,+\,k\,\frac{Q_2}{R_2}\hspace{40px}| \,\cdot \left( -R_1\right)\] \[\varphi_{2}\,=\,k\,\frac{Q_1}{R_2}\,+\,k\,\frac{Q_2}{R_2}\hspace{40px}| \,\cdot R_2 \]

    rovnice odečteme

    \[ R_2 \varphi_{2} \,-\,R_1\varphi_{1}\,=\,k\, Q_2\,-\,k\,\frac{R_1}{R_2}\,Q_2\,\]

    a vyjádříme náboj Q2.

    \[R_2 \varphi_{2} \,-\, R_1\varphi_{1}\,=\,kQ_2\,\left(1 \,-\,\frac{R_1}{R_2}\right) \] \[R_2 \varphi_{2} \,-\, R_1\varphi_{1}\,=\,kQ_2\,\frac{R_2\,-\, R_1}{R_2} \hspace{40px}| \,\cdot\frac{R_2}{k\,\left( R_2\,-\, R_1\right)}\] \[Q_2\,=\,\frac{R_2^2}{k\,\left( R_2\,-\, R_1 \right)}\,\varphi_2 \,-\, \frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2 \,-\,R_1 \right)}\,\varphi_{01}\tag{2}\]

     

    Získali jsme tedy dvě rovnice (1) a (2)

    \[Q_1\,=\,\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,\varphi_{1}\,-\,\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,\varphi_{2}\,, \] \[Q_2\,=\,\,-\, \frac{R_1R_2}{k\,\left( R_2 \,-\, R_1\right)}\,\varphi_{1}\,+\,\frac{R_2^2}{k\,\left(R_2 \,-\, R_1 \right)}\,\varphi_{2}\,, \]

    ve kterých jsou již kapacitní a influenční koeficienty vyjádřeny.

    Pro kapacitní koeficienty platí:

    \[ C_{11}\,=\,\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)}\] \[C_{22}\,=\,\frac{R_2^2}{k\,\left(R_2 \,-\, R_1\right)}\,.\]

    Influenční koeficienty C12 a C21 jsou stejné:

    \[ C_{12}\,=\,C_{21}\,=\,-\,\frac{R_1R_2}{k\,\left( R_2\,-\, R_1 \right)}\,.\]

    Pozn.: Obecně platí, že kapacitní koeficienty jsou pro jakoukoli soustavu elektrod kladné a influenční koeficienty záporné. Navíc se influenční koeficienty s “prohozenými„ indexy vždy navzájem rovnají (tj. matice soustavy rovnic pro výpočet potenciálů je symetrická). Tyto obecné vlastnosti splňuje i soustava dvou soustředných kulových elektrod z naší úlohy.

  • Komentář: Kapacita kondenzátoru z předchozího oddílu

    Kapacitu kondenzátoru můžeme vyjádřit také z rovnice (***) z předchozího oddílu. Vnitřní elektroda kondenzátoru je nabita nábojem Q.

    \[\varphi_{1}\,-\,\varphi_{2}\,=\,kQ_1\,\left(\frac{1}{R_1}\,-\,\frac{1}{R_2}\right)\,=\,kQ\,\left(\frac{1}{R_1}\,-\,\frac{1}{R_2}\right)\]

    Rovnici upravíme, abychom na jedné straně měli podíl náboje Q a rozdílu potenciálů φ1 − φ2.

    \[\varphi_{1}\,-\,\varphi_{2}\,=\,kQ\,\frac{R_2\,-\,R_1}{R_1R_2}\] \[(\varphi_{1}\,-\,\varphi_{2})\,\frac{R_1R_2}{k\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,=\,Q\,\] \[\,\frac{R_1R_2}{k\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,=\,\frac{Q}{\varphi_{1}\,-\,\varphi_{2}}\]

    Rozdíl potenciálu φ1 − φ2 na elektrodách kondenzátoru je roven napětí U na kondenzátoru.

    \[\,\frac{R_1R_2}{k\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,=\,\frac{Q}{U}\]

    Podíl náboje Q a napětí U nám dává kapacitu kondenzátoru.

    \[C\,=\,\frac{R_1R_2}{k\left(R_2\,-\,R_1\right)}\]

    Vyšel nám stejný vztah jako při výpočtu s využitím intenzity.

  • Odpověď

    Kapacita kulového kondenzátoru je dána vztahem

    \[C\,=\,4 \pi \varepsilon_0 \,\frac{R_1 R_2}{R_2\,-\,R_1}\,.\]

    Pro kapacitní koeficienty C11 a C22 platí vztahy

    \[ C_{11}\,=\,\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,,\] \[C_{22}\,=\,\frac{R_2^2}{k\,\left(R_2 \,-\, R_1\right)}\,.\]

    Influenční koeficienty C12 a C21 jsou stejné a jsou dány vztahem

    \[ C_{12}\,=\,C_{21}\,=\,-\,\frac{R_1R_2}{k\,\left( R_2\,-\, R_1 \right)}\,.\]

    Ve všech vztazích platí, že \(k\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\).

  • Komentář: Kapacita pomocí koeficientů

    V literatuře lze také nalézt vztah mezi kapacitou kondenzátoru a kapacitními a influenčními koeficienty.

    \[C\,=\,\frac{C_{11}C_{22}\,-\,C_{12}^2}{C_{11}\,+\,2C_{12}\,+\,C_{22}}\,.\]

    Tento vztah zde nebudeme odvozovat, ale vyzkoušíme, jestli opravdu „funguje“ v našem případě.

    Dosadíme do uvedeného vztahu koeficienty, které jsme si vyjádřili dříve.

    \[C\,=\,\frac{ \frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)}\, \frac{R_2^2}{k\,\left( R_2\,-\, R_1 \right)}\,-\, \frac{R_1^2R_2^2}{k^2\,\left( R_2\,-\, R_1\right)^2}} {\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,-\, 2\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2 \,-\, R_1 \right)}\,+\, \frac{R_2^2}{k\,\left(R_2 \,-\, R_1\right)}}\]

    Sečteme výrazy v čitateli a ve jmenovateli složeného zlomku.

    \[C\,=\,\frac{ \frac{R_1R_2^3}{k^2\,\left( R_2\,-\, R_1 \right)^2}\,-\, \frac{R_1^2R_2^2}{k^2\,\left( R_2\,-\, R_1\right)^2}} {\frac{+R_1R_2\,-\,2R_1R_2\,+\,R_2^2}{k\,\left(R_2 \,-\, R_1\right)}}\] \[C\,=\,\frac{ \frac{R_1R_2^3\,-\,R_1^2R_2^2}{k^2\,\left( R_2\,-\, R_1\right)^2}} {\frac{\,-\,R_1R_2\,+\,R_2^2}{k\,\left(R_2 \,-\, R_1\right)}}\] Zbavíme se složeného zlomku a zkrátíme stejné výrazy. \[C\,=\, \frac{R_1R_2^3\,-\,R_1^2R_2^2}{k^2\,\left( R_2\,-\, R_1\right)^2}\,\,\cdot\, \frac{k\,\left(R_2 \,-\, R_1\right)}{R_2^2\,-\,R_1R_2}\] \[C\,=\, \frac{R_1R_2^3\,-\,R_1^2R_2^2}{k\,\left( R_2\,-\, R_1\right)\left(R_2^2-\,R_1R_2\right)}\]

    V čitateli i ve jmenovateli vytkneme stejné členy a opět zkrátíme.

    \[C\,=\, \frac{R_1R_2^2 \left(R_2\,-\,R_1\right)}{k\,\left( R_2\,-\, R_1\right)\,R_2\,\left(R_2\,-\,R_1\right)}\] \[C\,=\, \frac{R_1R_2}{k\,\left( R_2\,-\, R_1\right)}\]

    I pomocí uvedeného vztahu jsme získali pro kapacitu kondenzátoru stejný vztah.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Diplomová práce Lenky Matějíčkové (2010).
×Původní zdroj: Diplomová práce Lenky Matějíčkové (2010).
Zaslat komentář k úloze