Sbírka řešených úloh

Kulový kondenzátor

Úloha číslo: 492

Kulový kondenzátor tvoří dvě soustředné vodivé kulové slupky o poloměrech R₁ a R₂, kde R₁ < R₂.

a) Určete kapacitu kondenzátoru.

b) Určete kapacitní a influenční koeficienty.

• a) Nápověda: Kapacita

  Představme si, že kondenzátor nabijeme nábojem Q. Mezi nábojem, napětím na kondenzátoru a kapacitou kondenzátoru platí vztah:

  $$C\,=\,\frac{Q}{U}\,.$$

  Abychom mohli vyjádřit kapacitu kondenzátoru, musíme určit, jaké je napětí mezi deskami.

  Uvědomte si, jak souvisí napětí mezi elektrodami, tj. kulovými vrstvami kondenzátoru, s potenciálem a intenzitou elektrického pole mezi nimi.

• Řešení nápovědy

  Napětí na kondenzátoru je dáno rozdílem potenciálů na obou kulových vrstvách. Je tedy rovno práci, kterou je třeba vykonat při přenosu jednotkového náboje z jedné kulové vrstvy na druhou:

  $$U\,=\,\frac{W}{Q}\,=\, \int_\mathrm{R_1}^\mathrm{R_2} \frac{F}{Q} \mathrm{d}z.$$

  Protože intenzita elektrického pole je vlastně síla působící na jednotkový náboj, můžeme zlomek v integrálu nahradit intenzitou:

  $$U\,=\, \int_\mathrm{R_1}^\mathrm{R_2} E \mathrm{d}z.$$

  Pozn.: Vektor síly (a tedy i intenzity) míří od středu kondenzátoru ven, proto při integraci podél úsečky směřující od středu kondenzátoru nemusíme počítat s vektorem intenzity, ale stačí počítat s jeho velikostí.

• a) Nápověda: Intenzita pole mezi kulovými vrstvami

  Využijte výsledek úlohy Pole rovnoměrně nabité sféry, kde je vypočítaná intenzita v okolí tenké kulové vrstvy.

• Řešení nápovědy: Intenzita pole mezi kulovými vrstvami

  V okolí tenké nabité kulové vrstvy je intenzita elektrického pole dána vztahem:

  $$E\,=\,\frac{ \sigma R^2}{\varepsilon_0} \frac{1}{z^2}\,,$$

  kde R je poloměr kulové vrstvy a z vzdálenost od středu vrstvy.

  Uvnitř kulové vrstvy je intenzita rovna nule.

  Vnější vrstva tedy k intenzitě elektrického pole mezi vrstvami nepřispívá a intenzita elektrického pole mezi nimi je dána pouze elektrickým polem vnitřní kulové vrstvy.

• a) Rozbor

  Kulový kondenzátor tvoří dvě soustředné kulové slupky, které jsou nabity stejně velkým nábojem opačného znaménka.

  Kapacitu kondenzátoru můžeme určit jako poměr náboje a napětí mezi kulovými vrstvami kondenzátoru.

  Napětí mezi kulovými vrstvami, tedy rozdíl potenciálů na elektrodách, bude rovno integrálu intenzity podél spojnice obou elektrod. (Podrobnější vysvětlení naleznete v první nápovědě.)

  Intenzita vně nabité kulové vrstvy klesá s druhou mocninou vzdálenosti od středu kulové vrstvy a uvnitř vrstvy je rovna nule (viz úloha Pole rovnoměrně nabité sféry). Mezi kulovými vrstvami tedy intenzita klesá s druhou mocninou vzdálenosti od středu kulových vrstev. Vnější kulová vrstva k intenzitě elektrického pole nepřispívá.

• a) Řešení: Kapacita kondenzátoru

  Kapacitu C kulového kondenzátoru určíme jako podíl náboje Q na elektrodách a napětí U mezi nimi:

  $$C\,=\,\frac{Q}{U}\,.$$

  Velikost napětí mezi elektrodami je rovna integrálu z intenzity (podrobnější vysvětlení naleznete v nápovědě):

  $$U\,=\, \int_\mathrm{R_1}^\mathrm{R_2} E \,\mathrm{d}z\,,$$

  kde z je vzdálenost od středu obou kulových vrstev.

  Intenzita elektrického pole mezi kulovými vrstvami je dána intenzitou elektrického pole vnitřní vrstvy. Vnější kulová vrstva k intenzitě elektrického pole mezi elektrodami nepřispívá. Intenzitu elektrického pole v okolí nabité kulové vrstvy jsme vyjádřili v úloze Pole rovnoměrně nabité sféry pomocí vztahu

  $$E\,=\,\frac{R_1^2 \sigma}{\epsilon_0} \,\frac{1}{z^2}\,,$$

  kde poloměr kulové vrstvy je roven R₁. Dosadíme do vztahu pro napětí:

  $$U\,=\, \int_\mathrm{R_1}^\mathrm{R_2} \frac{R_1^2 \sigma}{\epsilon_0} \,\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z\,.$$

  Vytkneme konstanty před integrál a integrál vypočítáme:

  $$U\,=\, \frac{R_1^2 \sigma}{\epsilon_0} \int_\mathrm{R_1}^\mathrm{R_2} \frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z \,=\, \frac{R_1^2 \sigma}{\epsilon_0} \,\left[-\frac{1}{z}\right]_\mathrm{R_1}^\mathrm{R_2} \,=\, \frac{R_1^2 \sigma}{\epsilon_0} \,\left(-\,\frac{1}{R_2}\,+\,\frac{1}{R_1}\right),$$ $$U\,=\, \frac{R_1^2 \sigma}{\epsilon_0} \,\left(\frac{1}{R_1}\,-\,\frac{1}{R_2}\right).\tag{+}$$

  Protože neznáme plošnou nábojovou hustotu σ, ale celkový náboj Q, vyjádříme σ pomocí povrchu kulové vrstvy:

  $$Q\,=\, \sigma S\,=\, \sigma \,4 \pi R_1^2 \hspace{40px} \Rightarrow \hspace{40px}\sigma\,=\,\frac{Q}{4 \pi R_1^2}.$$

  Nábojovou hustotu σ dosadíme zpět do vzorce (+) a výraz upravíme:

  $$U\,=\, \frac{R_1^2}{\epsilon_0}\,\,\frac{Q}{4 \pi R_1^2} \,\,\left(\frac{1}{R_1}\,-\,\frac{1}{R_2}\right)\,=\,\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \,\left(\frac{1}{R_1}\,-\,\frac{1}{R_2}\right).$$

  Výraz v závorce ještě převedeme na společného jmenovatele:

  $$U\,=\,\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \,\frac{R_2\,-\,R_1}{R_1 R_2}.$$

  Protože kapacita C kondenzátoru je dána podílem $C\,=\,\frac{Q}{U}$, můžeme ji z posledního vzorce vyjádřit:

  $$C\,=\,4 \pi \epsilon_0\,\frac{R_1 R_2}{R_2\,-\,R_1}.$$

• b) Nápověda: Jak vyjádřit kapacitní a influenční koeficienty

  Jestliže je vnitřní (první) kulová slupka nabita nábojem Q₁ a vnější (druhá) slupka nabita nábojem Q₂, můžeme kapacitní a influenční koeficienty vyjádřit z těchto rovnic:

  $$Q_1\,=\,C_{11}\varphi_{1}\,+\,C_{12}\varphi_{2}\,,$$ $$Q_2\,=\,C_{21}\varphi_{1}\,+\,C_{22}\varphi_{2}\,,\tag{*}$$

  kde φ₁ je potenciál na vnitřní (první) slupce a φ₂ je potenciál na vnější (druhé) slupce.

  Koeficienty C₁₁ a C₂₂ se nazývají kapacitní. Koeficienty C₁₂ a C₂₁ se nazývají influenční.

  Protože elektrody kondenzátoru jsou vodivé, je potenciál na celé ploše elektrody stejný. Kapacitní a influenční koeficienty vyjadřujeme za předpokladu, že nulový potenciál jsme zvolili v nekonečnu.

  Uvedené rovnice obvykle není snadné napsat přímo, ale můžeme je vyjádřit z rovnic pro potenciály, které sestavíme pomocí principu superpozice. Označíme si:

  1. $\varphi_{1}^{(1)}$ potenciál elektrického pole vytvořeného prvním nábojem na vnitřní (první) vrstvě a

  2. $\varphi_{1}^{(2)}$ potenciál elektrického pole vytvořeného druhým nábojem na vnitřní (druhé) vrstvě.

  Analogicky pro vnější (druhou) vrstvu bude:

  1. $\varphi_{2}^{(1)}$ potenciál od prvního náboje na vnější (druhé) vrstvě,

  2. $\varphi_{2}^{(2)}$ potenciál od druhého náboje na vnější (druhé) vrstvě.

  Pro celkový potenciál na vnitřní (první) vrstvě φ₁ platí:

  $$\varphi_{1}\,=\,\varphi_{1}^{(1)}\,+\,\varphi_{1}^{(2)}$$

  a na vnější (druhé) vrstvě:

  $$\varphi_{2}\,=\,\varphi_{2}^{(1)}\,+\,\varphi_{2}^{(2)}\,.$$

  Abychom vyjádřili potenciály, představíme si, že nejdříve nabijeme jenom vnitřní kulovou vrstvu nábojem Q₁ a vyjádříme si potenciál $\varphi_{1}^{(1)}$ na vnitřní vrstvě a potenciál $\varphi_{2}^{(1)}$ na vnější vrstvě.

  

  Nyní naopak nabijeme jenom vnější kulovou vrstvu nábojem Q₂ a vyjádříme si potenciál $\varphi_{1}^{(2)}$ na vnitřní vrstvě a potenciál $\varphi_{2}^{(2)}$ na vnější vrstvě.

  

  Tak sestavíme soustavu dvou rovnic, kterou si upravíme do tvaru (*), ze kterého vyjádříme kapacitní a influenční koeficienty.

• b) Řešení: Kapacitní a influenční koeficienty

  Pomocí principu superpozice si sestavíme dvě rovnice pro celkové potenciály na obou elektrodách:

  $$\varphi_{1}\,=\,\varphi_{1}^{(1)}\,+\,\varphi_{1}^{(2)},$$ $$\varphi_{2}\,=\,\varphi_{2}^{(1)}\,+\,\varphi_2^{(2)}.\tag{**}$$

  Pozn.: Značení je podrobněji vysvětleno v nápovědě.

  Nejdříve si představíme, že nabijeme jenom vnitřní kulovou slupku nábojem Q₁ a vyjádříme si potenciál $\varphi_{1}^{(1)}$ na vnitřní slupce a potenciál $\varphi_{2}^{(1)}$ na vnější slupce. Poté naopak budeme uvažovat, že nabijeme jenom vnější kulovou slupku nábojem Q₂ a vyjádříme si potenciál $\varphi_{1}^{(2)}$ na vnitřní slupce a potenciál $\varphi_{2}^{(2)}$ na vnější slupce.

  Potenciál vně tenké kulové slupky je dán vztahem $\varphi (z)\,=\, \,\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 }\,\frac{1}{z}\,=\, k\,\frac{Q}{z}$, kde z je vzdálenost od vrstvy. Uvnitř vrstvy je konstantní a stejný jako na povrchu vrstvy.

  Jestliže nabijeme pouze vnitřní kulovou vrstvu nábojem Q₁, bude na ní elektrický potenciál roven

  $$\varphi_{1}^{(1)}\,=\, k\,\frac{Q_1}{R_1}$$

  a na vnější vrstvě bude potenciál roven

  $$\varphi_{2}^{(1)}\,=\, k\,\frac{Q_1}{R_2}\,.$$

  Jestliže nabijeme pouze vnější kulovou vrstvu nábojem Q₂, bude na ní elektrický potenciál roven

  $$\varphi_{2}^{(2)}\,=\, \,k\,\frac{Q_2}{R_2}\,.$$

  Protože vnitřní vrstva je uvnitř vnější, bude na ní potenciál stejný:

  $$\varphi_{1}^{(2)}\,=\, k\,\frac{Q_2}{R_2}\,.$$

  Vyjádřené vztahy dosadíme do rovnic (**) pro celkový potenciál obou vrstev a dostaneme:

  $$\varphi_{1}\,=\,k\,\frac{Q_1}{R_1}\,+\,\,k\,\frac{Q_2}{R_2},$$ $$\varphi_{2}\,=\,k\,\frac{Q_1}{R_2}\,+\,k\,\frac{Q_2}{R_2}.$$

  Nyní budeme soustavu rovnic upravovat tak, abychom vyjádřili náboje Q₁ a Q₂.

   

  Vyjádření náboje Q₁:

  Nejdříve odečteme druhou rovnici od první. Tím získáme rovnici, ve které bude pouze náboj Q₁:

  $$\varphi_{1}\,-\,\varphi_{2}\,=\,k\,\frac{Q_1}{R_1}\,-\,k\,\frac{Q_1}{R_2}$$

  a ten vyjádříme:

  $$\varphi_{1}\,-\,\varphi_{2}\,=\,kQ_1\,\left(\frac{1}{R_1}\,-\,\frac{1}{R_2}\right),\tag{***}$$ $$\varphi_{1}\,-\,\varphi_{2}\,=\,kQ_1\,\frac{R_2\,-\,R_1}{R_1R_2} \hspace{40px}| \,\cdot \,\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)},$$ $$Q_1\,=\,\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,\varphi_{1}\,-\,\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,\varphi_{2}. \tag{1}$$

   

  Vyjádření náboje Q₂:

  Obě rovnice vynásobíme uvedenými výrazy:

  $$\varphi_{1}\,=\,k\,\frac{Q_1}{R_1}\,+\,k\,\frac{Q_2}{R_2}\hspace{40px}| \,\cdot \left( -R_1\right),$$ $$\varphi_{2}\,=\,k\,\frac{Q_1}{R_2}\,+\,k\,\frac{Q_2}{R_2}\hspace{40px}| \,\cdot R_2.$$

  Rovnice odečteme:

  $$R_2 \varphi_{2} \,-\,R_1\varphi_{1}\,=\,k\, Q_2\,-\,k\,\frac{R_1}{R_2}\,Q_2\,$$

  a vyjádříme náboj Q₂:

  $$R_2 \varphi_{2} \,-\, R_1\varphi_{1}\,=\,kQ_2\,\left(1 \,-\,\frac{R_1}{R_2}\right),$$ $$R_2 \varphi_{2} \,-\, R_1\varphi_{1}\,=\,kQ_2\,\frac{R_2\,-\, R_1}{R_2} \hspace{40px}| \,\cdot\frac{R_2}{k\,\left( R_2\,-\, R_1\right)},$$ $$Q_2\,=\,\frac{R_2^2}{k\,\left( R_2\,-\, R_1 \right)}\,\varphi_2 \,-\, \frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2 \,-\,R_1 \right)}\,\varphi_{01}.\tag{2}$$

   

  Získali jsme tedy dvě rovnice (1) a (2):

  $$Q_1\,=\,\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,\varphi_{1}\,-\,\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,\varphi_{2}\,,$$ $$Q_2\,=\,\,-\, \frac{R_1R_2}{k\,\left( R_2 \,-\, R_1\right)}\,\varphi_{1}\,+\,\frac{R_2^2}{k\,\left(R_2 \,-\, R_1 \right)}\,\varphi_{2}\,,$$

  ve kterých jsou již kapacitní a influenční koeficienty vyjádřeny.

  Pro kapacitní koeficienty platí:

  $$C_{11}\,=\,\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)},$$ $$C_{22}\,=\,\frac{R_2^2}{k\,\left(R_2 \,-\, R_1\right)}\,.$$

  Influenční koeficienty C₁₂ a C₂₁ jsou stejné:

  $$C_{12}\,=\,C_{21}\,=\,-\,\frac{R_1R_2}{k\,\left( R_2\,-\, R_1 \right)}\,.$$

  Pozn.: Obecně platí, že kapacitní koeficienty jsou pro jakoukoli soustavu elektrod kladné a influenční koeficienty záporné. Navíc se influenční koeficienty s „prohozenými“ indexy vždy navzájem rovnají (tj. matice soustavy rovnic pro výpočet potenciálů je symetrická). Tyto obecné vlastnosti splňuje i soustava dvou soustředných kulových elektrod z naší úlohy.

• Komentář: Kapacita kondenzátoru z předchozího oddílu

  Kapacitu kondenzátoru můžeme vyjádřit také z rovnice (***) z předchozího oddílu. Vnitřní elektroda kondenzátoru je nabita nábojem Q:

  $$\varphi_{1}\,-\,\varphi_{2}\,=\,kQ_1\,\left(\frac{1}{R_1}\,-\,\frac{1}{R_2}\right)\,=\,kQ\,\left(\frac{1}{R_1}\,-\,\frac{1}{R_2}\right).$$

  Rovnici upravíme, abychom na jedné straně měli podíl náboje Q a rozdílu potenciálů φ₁ − φ₂:

  $$\varphi_{1}\,-\,\varphi_{2}\,=\,kQ\,\frac{R_2\,-\,R_1}{R_1R_2},$$ $$(\varphi_{1}\,-\,\varphi_{2})\,\frac{R_1R_2}{k\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,=\,Q\,,$$ $$\,\frac{R_1R_2}{k\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,=\,\frac{Q}{\varphi_{1}\,-\,\varphi_{2}}.$$

  Rozdíl potenciálu φ₁ − φ₂ na elektrodách kondenzátoru je roven napětí U na kondenzátoru:

  $$\,\frac{R_1R_2}{k\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,=\,\frac{Q}{U}.$$

  Podíl náboje Q a napětí U nám dává kapacitu kondenzátoru:

  $$C\,=\,\frac{R_1R_2}{k\left(R_2\,-\,R_1\right)}.$$

  Vyšel nám stejný vztah jako při výpočtu s využitím intenzity.

• Odpověď

  Kapacita kulového kondenzátoru je dána vztahem

  $$C\,=\,4 \pi \varepsilon_0 \,\frac{R_1 R_2}{R_2\,-\,R_1}\,.$$

  Pro kapacitní koeficienty C₁₁ a C₂₂ platí vztahy

  $$C_{11}\,=\,\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,,$$ $$C_{22}\,=\,\frac{R_2^2}{k\,\left(R_2 \,-\, R_1\right)}\,.$$

  Influenční koeficienty C₁₂ a C₂₁ jsou stejné a jsou dány vztahem

  $$C_{12}\,=\,C_{21}\,=\,-\,\frac{R_1R_2}{k\,\left( R_2\,-\, R_1 \right)}\,.$$

  Ve všech vztazích platí, že $k\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$.

• Komentář: Kapacita pomocí koeficientů

  V literatuře lze také nalézt vztah mezi kapacitou kondenzátoru a kapacitními a influenčními koeficienty:

  $$C\,=\,\frac{C_{11}C_{22}\,-\,C_{12}^2}{C_{11}\,+\,2C_{12}\,+\,C_{22}}\,.$$

  Tento vztah zde nebudeme odvozovat, ale vyzkoušíme, jestli opravdu „funguje“ v našem případě.

  Dosadíme do uvedeného vztahu koeficienty, které jsme si vyjádřili dříve:

  $$C\,=\,\frac{ \frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)}\, \frac{R_2^2}{k\,\left( R_2\,-\, R_1 \right)}\,-\, \frac{R_1^2R_2^2}{k^2\,\left( R_2\,-\, R_1\right)^2}} {\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2\,-\,R_1\right)}\,-\, 2\frac{R_1R_2}{k\,\left(R_2 \,-\, R_1 \right)}\,+\, \frac{R_2^2}{k\,\left(R_2 \,-\, R_1\right)}}.$$

  Sečteme výrazy v čitateli a ve jmenovateli složeného zlomku:

  $$C\,=\,\frac{ \frac{R_1R_2^3}{k^2\,\left( R_2\,-\, R_1 \right)^2}\,-\, \frac{R_1^2R_2^2}{k^2\,\left( R_2\,-\, R_1\right)^2}} {\frac{+R_1R_2\,-\,2R_1R_2\,+\,R_2^2}{k\,\left(R_2 \,-\, R_1\right)}},$$ $$C\,=\,\frac{ \frac{R_1R_2^3\,-\,R_1^2R_2^2}{k^2\,\left( R_2\,-\, R_1\right)^2}} {\frac{\,-\,R_1R_2\,+\,R_2^2}{k\,\left(R_2 \,-\, R_1\right)}}.$$ Zbavíme se složeného zlomku a zkrátíme stejné výrazy: $$C\,=\, \frac{R_1R_2^3\,-\,R_1^2R_2^2}{k^2\,\left( R_2\,-\, R_1\right)^2}\,\,\cdot\, \frac{k\,\left(R_2 \,-\, R_1\right)}{R_2^2\,-\,R_1R_2},$$ $$C\,=\, \frac{R_1R_2^3\,-\,R_1^2R_2^2}{k\,\left( R_2\,-\, R_1\right)\left(R_2^2-\,R_1R_2\right)}.$$

  V čitateli i ve jmenovateli vytkneme stejné členy a opět zkrátíme:

  $$C\,=\, \frac{R_1R_2^2 \left(R_2\,-\,R_1\right)}{k\,\left( R_2\,-\, R_1\right)\,R_2\,\left(R_2\,-\,R_1\right)},$$ $$C\,=\, \frac{R_1R_2}{k\,\left( R_2\,-\, R_1\right)}.$$

  I pomocí uvedeného vztahu jsme získali pro kapacitu kondenzátoru stejný vztah.