Potenciál bubliny a kapky

Úloha číslo: 35

Na jaký potenciál byla nabita mýdlová bublina o poloměru rB = 3 cm, jestliže po prasknutí vznikne kapka o průměru dK = 0,8 mm nabitá na potenciál φK = 60 kV.

Potenciál kapky a bubliny
  • Nápověda: Potenciál kapky a bubliny

    Potenciál v okolí a na povrchu kapky (koule) a bubliny (kulové vrstvy) je stejný jako potenciál v okolí a na povrchu bodového náboje.

  • Nápověda: Náboj kapky a bubliny

    Rozmyslete si, zda se změní náboj bubliny, když praskne.

  • Rozbor

    Potenciál v okolí a na povrchu bubliny (kulové vrstvy) a kapky (koule) je stejný jako potenciál v okolí bodového náboje, který by byl v jejich středu. Potenciál bodového náboje závisí přímo úměrně na velikosti náboje a nepřímo úměrně na vzdálenosti náboje a místa, ve které chceme potenciál zjistit.

    Při prasknutí bubliny se náboj nikam neztratí. Kapka proto bude mít stejný celkový náboj jako bublina. Potenciál se ale změní, jelikož kapka má menší poloměr.

    Porovnáním vztahů pro potenciály spočítáme potenciál kapky.

  • Řešení

    Pro potenciál na povrchu bubliny (kulové vrstvy) a kapky (koule) platí stejný vztah jako pro bodový náboj

    \[\varphi\,=\,k \,\frac{Q}{r}\,,\]

    kde r je poloměr bubliny, resp. kapky.

    Když bublina praskne a změní se na kapku, zůstane náboj stejný.

    Potenciál kapky je tedy:

    \[\varphi_k\,=\,k \,\frac{Q}{r_K}\hspace{20px}\Rightarrow \hspace{20px} Q\,=\,\frac{\varphi_K r_K}{k}\tag{1}\]

    a potenciál bubliny:

    \[\varphi_b\,=\,k \,\frac{Q}{r_B} \hspace{20px}\Rightarrow\hspace{20px} Q\,=\,\frac{\varphi_B r_B}{k}\tag{2}\]

    Vztahy pro náboje kapky (1) a bubliny (2) porovnáme.

    \[\frac{\varphi_B r_B}{k}\,=\,\frac{\varphi_K r_K}{k}\]

    Všimněme si, že konstanta k se nám zkrátí a poměr potenciálů tedy závisí jen na poměru jejich poloměrů.

    \[\varphi_B r_B\,=\,\varphi_K r_K\]

    Nyní si vyjádříme neznámý potenciál bubliny.

    \[\varphi_B\,=\,\varphi_K \, \frac{r_K}{r_B}\]
  • Zápis a číselný výpočet

    \[\varphi_K\,=\,60\,\mathrm{kV}\,=\,6{\cdot} 10^4 \, \mathrm{V}\]

    Pozor! U kapky máme zadaný průměr, ale do výsledného vztahu potřebujeme poloměr.

    \[ \begin{eqnarray} d_K\,&=&\,0{,}8 \,\mathrm{mm}\,\Rightarrow \,r_K\,=\,4{\cdot} 10^{-4}\, \mathrm{m}\\ r_B\,&=&\,3 \,\mathrm{cm}\,=\,3{\cdot} 10^{-2}\, \mathrm{m}\\ \varphi_K\,&=&\,?\,\left( \mathrm{V}\right)\end{eqnarray}\]
    \[\varphi_B\,=\,\varphi_K \, \frac{r_K}{r_B}\,=\,6{\cdot} 10^4 \,\cdot \frac{4{\cdot} 10^{-4}}{3{\cdot} 10^{-2}}\, \mathrm{V}\,=\,800 \, \mathrm{V}\]

    Vychází nám tedy, že potenciál bubliny je menší než potenciál kapky, což odpovídá tomu, že bublina je větší než kapka.

  • Odpověď

    Bublina byla nabita na potenciál \(\varphi_B\,=\,\varphi_K \, \frac{r_K}{r_B}\,=\,800 \, \mathrm{V}\).

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Kružík, M. (1984). Sbírka úloh z fyziky pro žáky středních škol
(8. vydání). Praha: SPN. 
Zpracováno v bakalářské práci Lenky Matějíčkové (2007).
×Původní zdroj: Kružík, M. (1984). Sbírka úloh z fyziky pro žáky středních škol (8. vydání). Praha: SPN.
Zpracováno v bakalářské práci Lenky Matějíčkové (2007).
Zaslat komentář k úloze