Kapacita zapojení

Úloha číslo: 769

Najděte kapacitu mezi body A, B.

Přivedeme-li do bodu E náboj 90 µC, jaký bude rozdíl potenciálů mezi body E a F?

Obrázek k zadání úlohy

Kapacity kondenzátorů jsou:
C1 = 6 µF, C2 = 4 µF, C3 = 2 µF, C4 = 3 µF, C5 = 1 µF, C6 = 4 µF, C7 = 2 µF.

  • Nápověda: Paralelní a sériové zapojení

    Při paralelním zapojení kondenzátorů je celková kapacita rovna součtu jednotlivých kapacit.

    \[C\,=\,C_1+C_2+C_3\]

    Při sériovém zapojení je převrácená hodnota celkové kapacity rovna součtu převrácených hodnot jednotlivých kapacit.

    \[\frac{1}{C}\,=\,\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}\]
  • Nápověda: Rozdíl potenciálů

    Rozdíl potenciálů můžeme získat ze vztahu Q = CU.

    Naším úkolem je tedy opět určit kapacitu, tentokrát mezi body E a F.

  • Rozbor

    Kapacitu mezi body A a B určíme tak, že budeme postupně nahrazovat skupiny kondenzátorů zapojených sériově či paralelně jedním kondenzátorem. Kapacitu toho kondenzátoru určíme na základě známých vztahů pro spojování kondenzátorů.

    Při paralelním zapojení kondenzátorů je celková kapacita rovna součtu jednotlivých kapacit. Při sériovém zapojení je převrácená hodnota celkové kapacity rovna součtu převrácených hodnot jednotlivých kapacit.

    Postupnými úpravami budeme síť zjednodušovat, až nakonec zbude jediný kondenzátor, jehož kapacita bude rovna kapacitě mezi uvedenými body.

    Při určování rozdílu potenciálů mezi body E a F budeme postupovat tak, že nejprve spočteme kapacitu mezi těmito body a poté využijeme známý vztahu mezi napětí, kapacitou a nábojem.

  • Řešení: Kapacita

    Kapacitu mezi body A a B určíme tak, že budeme postupně nahrazovat skupiny kondenzátorů zapojených sériově či paralelně jedním kondenzátorem, jehož kapacitu určíme na základě známých vztahů pro spojování kondenzátorů. Postupnými úpravami budeme síť zjednodušovat, až nakonec zbude jediný kondenzátor, jehož kapacita bude rovna kapacitě mezi uvedenými body.

    Nejdříve nahradíme kondenzátory 1, 2 a 3 (v obrázku označeno červeně) novým kondenzátorem CA.

    Vyznačení kondenzátorů 1, 2, 3

    Bude platit:

    \[C_{A}\,=\,C_1\,+\,C_2\,+\,C_3\,.\]

    Dále nahradíme kondenzátory 4 a 5 (označeny modře)kondenzátorem CC a zároveň kondenzátory A a 6 (označeny zeleně) kondenzátorem CB.

    Kondenzátory 1, 2, 3 jsou nahrazené
    \[C_{B}\,=\,\frac{C_{A} C_6}{C_{A}\,+\,C_6}\,=\,\frac{\left(C_1\,+\,C_2\,+\,C_3 \right) C_6}{C_1\,+\,C_2\,+\,C_3\,+\, C_6}\] \[C_{C}\,=\,C_4\,+\,C_5\]

    Nyní nahradíme kondenzátory C a 7 (označeno oranžovou) kondenzátorem CD.

    Nahrazené kondenzátory 4, 5 a A, 6
    \[C_{D}\,=\,\frac{C_{C} C_7}{C_{C}\,+\,C_7}\,=\,\frac{\left(C_4\,+\,C_5 \right) C_7}{C_4\,+\,C_5\,+\,C_7}\]

    Poslední úpravou už získáme obvod s jedním kondenzátorem.

    Nahrazení kondenzátorů C a 7
    \[C_{V}\,=\,C_{B}+C_{D}\]
    Výsledný obvod

    Celková kapacita mezi body A a B je tedy:

    \[C_{V}\,=\,\frac{\left(C_1\,+\,C_2\,+\,C_3 \right) C_6}{C_1\,+\,C_2\,+\,C_3\,+\, C_6}\,+\,\frac{\left(C_4\,+\,C_5 \right) C_7}{C_4\,+\,C_5\,+\,C_7}\,.\]
  • Řešení: Rozdíl potenciálů

    Při určování rozdílu potenciálů mezi body E a F budeme postupovat tak, že nejprve spočteme kapacitu mezi těmito body a poté využijeme známý vztah Q =  CU. Při počítání kapacity budeme používat postup popsaný v první části této úlohy.

    Nejdříve nahradíme kondenzátory 1, 2 a 3 (označeno červeně) kondenzátorem CR.

    Označení kondenzátorů 1, 2, 3

    Bude platit:

    \[C_{R}\,=\,C_1\,+\,C_2\,+\,C_3\,.\]

    Dále nahradíme kondenzátory 4 a 5 (označeno zeleně) kondenzátorem CS a zároveň kondenzátory 6 a 7 (označeno modře) kondenzátorem CT.

    Nahrazení kondenzátorů 4,5 a 6, 7
    \[C_{S}\,=\,C_4\,+\,C_5\] \[C_{T}\,=\,\frac{C_6 C_7}{C_6\,+\,C_7}\]

    Nyní nahradíme kondenzátory R a S (označeno oranžovou) kondenzátorem CU.

    Nahrazení kondenzátoruů R a S
    \[C_{U}\,=\,\frac{C_{R} C_{S}}{C_{R}+ C_{S}}\,=\,\frac{\left(C_1\,+\,C_2\,+\,C_3 \right) \left(C_4\,+\,C_5\right)}{C_1\,+\,C_2\,+\,C_3\,+\, C_4\,+\,C_5}\]

    Poslední úpravou už získáme obvod s jedním kondenzátorem.

    Nahrazení kondenzátoruů R a S
    \[C_{V2}\,=\,C_{T}+C_{U}\]
    Výsledný obvod
    \[C_{V2}\,=\,\frac{\left(C_1\,+\,C_2\,+\,C_3 \right) \left(C_4\,+\,C_5\right)}{C_1\,+\,C_2\,+\,C_3\,+\, C_4\,+\,C_5}\,+\,\frac{C_6 C_7}{C_6\,+\,C_7}\]

    Rozdíl potenciálů mezi body E a F určíme ze vztahu:

    \[U\,=\,\frac{Q}{C}\,.\] \[U\,=\,\frac{Q}{\frac{\left(C_1\,+\,C_2\,+\,C_3 \right) \left(C_4\,+\,C_5\right)}{C_1\,+\,C_2\,+\,C_3\,+\, C_4\,+\,C_5}\,+\,\frac{C_6 C_7}{C_6\,+\,C_7}}\]
  • Zápis a číselný výpočet

    C1 = 6 µF

    C2 = 4 µF

    C3 = 2 µF

    C4 = 3 µF

    C5 = 1 µF

    C6 = 4 µF

    C7 = 2 µF

    Q = 90 µC

    CV1 = ? µF

    U = ? V


    \[C_{V1}\,=\,\frac{\left(C_1\,+\,C_2\,+\,C_3 \right) C_6}{C_1\,+\,C_2\,+\,C_3\,+\, C_6}\,+\,\frac{\left(C_4\,+\,C_5 \right) C_7}{C_4\,+\,C_5\,+\,C_7}\] \[C_{V1}\,=\,\left(\frac{\left(6\,+\,4\,+\,2 \right) 4}{6\,+\,4\,+\,2\,+\, 4}\,+\,\frac{\left(3\,+\,1 \right) 2}{3\,+\,1\,+\,2}\right)\,\mathrm{\mu F}\,\dot=\,4{,}3\,\mathrm{\mu F}\] \[C_{V2}\,=\,\frac{\left(C_1\,+\,C_2\,+\,C_3 \right) \left(C_4\,+\,C_5\right)}{C_1\,+\,C_2\,+\,C_3\,+\, C_4\,+\,C_5}\,+\,\frac{C_6 C_7}{C_6\,+\,C_7}\] \[C_{V2}\,=\,\left(\frac{\left(6\,+\,4\,+\,2 \right) \left(3\,+\,1\right)}{6\,+\,4\,+\,2\,+\, 3\,+\,1}\,+\,\frac{4{\cdot} 2}{4\,+\,2}\right)\mathrm{\mu F}\,\dot=\,4{,}3\,\mathrm{\mu F}\] \[U\,=\,\frac{Q}{\frac{\left(C_1\,+\,C_2\,+\,C_3 \right) \left(C_4\,+\,C_5\right)}{C_1\,+\,C_2\,+\,C_3\,+\, C_4\,+\,C_5}\,+\,\frac{C_6 C_7}{C_6\,+\,C_7}}\] \[U\,=\,\frac{90}{\frac{\left(6\,+\,4\,+\,2 \right) \left(3\,+\,1\right)}{6\,+\,4\,+\,2\,+\, 3\,+\,1}\,+\,\frac{4 {\cdot} 2}{4\,+\,2}}\,\dot=\,21\,\mathrm{V}\]
  • Odpověď

    Kapacita mezi body A a B je

    \[C_{V1}\,=\,\frac{\left(C_1\,+\,C_2\,+\,C_3 \right) C_6}{C_1\,+\,C_2\,+\,C_3\,+\, C_6}\,+\,\frac{\left(C_4\,+\,C_5 \right) C_7}{C_4\,+\,C_5\,+\,C_7}\,\dot=\,4{,}3\,\mathrm{\mu F}\,.\]

    Rozdíl potenciálů mezi body E a F je

    \[U\,=\,\frac{Q}{\frac{\left(C_1\,+\,C_2\,+\,C_3 \right) \left(C_4\,+\,C_5\right)}{C_1\,+\,C_2\,+\,C_3\,+\, C_4\,+\,C_5}\,+\,\frac{C_6 C_7}{C_6\,+\,C_7}}\,\dot=\,21\,\mathrm{V}\,.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na syntézu
Úloha na překlad, transformaci
Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a
magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
×Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
Zaslat komentář k úloze